在浪漫中精確，在精確中浪漫
——以《最短路徑》教學為例

●李玲

在浪漫中精確，在精確中浪漫
——以《最短路徑》教學為例

●李玲

英國哲學家、數學家、教育家懷特海把人的認知過程分為三個階段，即浪漫、精確、綜合。浪漫階段積累感官經驗，精確階段將感性認識上升到理性的概念層面，綜合階段就是運用知識。在靈活運用所學的過程中，人的視野不同了，就會產生新的好奇、新的浪漫，所以筆者認為，綜合階段是更“自由”的浪漫，它是新一輪“浪漫—精確—浪漫”的起點。

在教學時，筆者通過不斷地制造“浪漫—精確—浪漫”的“認知漩渦”，將一個點的學習拉伸為一段旅程，讓學生沉浸在知識發生、發現、發展的過程中。下面以《最短路徑》的教學為例。

一、在浪漫中逐步精確

首先，將實際生活中的問題抽象成數學問題。

課前，筆者布置相關作業，給出了三個生活中的問題，要求學生理解并分析問題情境。

第一問為“將軍飲馬”，即將軍凱旋而歸，牽著他的戰馬去河邊飲水，然后回營房休息，問馬兒在何處飲水所走的路程之和最短？

第二問為“氣泵選址”，即在天然氣主管道的同側有兩個小區，要在主管道上安裝一個氣泵向兩個小區輸送天然氣，氣泵安裝在何處能使鋪設的管道用料最省？

第三問為“碼頭選址”，即湖中央有兩個景點，游客要乘船游覽兩個景點，問碼頭修在何處，最能節省游船的燃料？

筆者要求學生將以上實際問題抽象成數學問題，并談談會有怎樣的發現。去掉情境，學生們抽象出了同一個數學問題：在直線1上確定一點P，求到點A和點B的最小的距離之和。如圖：

解決了這個數學問題就一并解決了這三個乃至生活中出現的這一類的問題。這里，觀察關注生活，對生活中三個問題情境的理解與分析就是浪漫，抽象出其中的數學問題就是一次精確。

能夠用數學的眼光觀察生活，發現有價值的問題，這是解決問題的前提，更妙的是解決這一問題的意義感和挑戰感又將激起學生進一步去探究，開啟新一輪的浪漫。

其次，探究問題。

筆者請學生在直線上例舉一些位置，經過測量和比較，得出結論：當P點選取的位置不同，PA+PB的值就不同。通過進一步舉例、測量、比較后，學生就會發現，當P點在直線1上從左向右取時，PA+PB的值由大變小，然后又由小變大。此環節可以在學生動手的基礎上用幾何畫板輔助，通過動態測量來演示。在演示過程中，學生斷言，直線1上會有一點使PA+PB的值最小，并且探明了P點的大致位置。

“如果A、B分別在直線1的兩側就好了”，因為“兩點之間線段最短”，部分學生產生這樣的猜想，于是，他們就有了將其中一點“搬到”直線另一側的想法。

而這只能是假想的“搬”，點B的位置是不會改變的，于是假想的那一點就不能在直線1的另一側隨意取，經過矯正與調控，便選定在點B關于直線1的對稱的位置處。

解決問題的過程就是推理的過程，這個環節學生經歷了推理和證明兩個過程，得到并證明了如下結論：在直線上確定一點到同側的兩定點距離之和最短，即作其中任意一點的對稱點，連接直線異側的兩點與直線的焦點即為所求。如圖：

舉例、測量、比較、猜想、聯想、類比、矯正等一系列探究過程就是在充分的浪漫，最后得出的結論便是浪漫后的精確。

二、在精確中走向浪漫

首先，通過歸納相關類型題，建立模型。

在得出結論后，筆者變換出題背景，給出例題1：正方形ABCD中，M是DC上一定點，P是對角線AC上一動點，P在何處時到點D和點M的距離之和最小。如圖：

接著，筆者變換出題背景，給出例題2，等腰△ABC中（∠BAC為銳角），AH⊥BC于H，M是AC上一動點，AH上是否存在點P，使PC+PM最小。若存在找出P點的位置；若不存在，說明理由。如圖：

學生在探究的過程中會發現，復雜幾何背景下，例1進一步揭示了模型中的直線起對稱軸的作用，因此這一類題通常以軸對稱圖形為出題背景。例2是動態問題中的最值，綜合用到“兩點之間線段最短”和“垂線段最短”，完整體現了“最短路徑”問題的解題模型。通過變換不同的問題背景，引導學生用模型解釋并解答問題，促使他們進一步認識到數學就是對生活的抽象，模型就是用數學的語言講述現實世界的故事。

最后，請學生自主編題。這個環節便是到了入腦融合、明法慧生的“浪漫的自由”階段，它能促使學生在不同情境中、不同的圖形背景中牢牢抓住模型本質，從而實現知識的辨識和應用。模型溝通了數學與現實，于是這一環節又從抽象回歸了現實，從精確走向了新的浪漫。可見，精確之后的應用會掀起新的浪漫。

其次，通過展開主題研討，進一步拓展延伸。

在建立模型、學會運用后，筆者引導學生展開主題研討：展示圖片（公園里小道為什么修成彎道，上山的公路為什么不修成直的，高速公路為什么每隔一段會刻意修一個彎道或是起伏），請學生思考并舉例，生活中有沒有不走最短路徑，刻意繞道走的情形？然后發起一個研討：結合生活中這些現象談談你對捷徑與彎路的理解。

如果前面抽象、建模環節都是體現知識的科學性的話，那么最后一個環節“主題研討”則用來實現知識的人文性，達成情感、態度、價值觀的三維目標。這個環節體現了對本節課的哲學思考，自然而又深刻地進行了價值觀的引領。

精確之后的應用與思考掀起了新的浪漫，它讓學生進入一個自由王國，這里可以有獨立的思想、批判性的思維，不斷迸發智慧的火花。學生們列舉了盤山公路、河流遇阻時的繞道等等，說明彎曲才是人生的常態，面對挫折該有怎樣的態度；有學生想到物理學中光的反射，找到知識間的聯系……對這個話題學生很有話說，他們的認識角度很多，有的生動有創意，有的深刻有哲理。還有個學生說：“地球本是圓的，哪有直線給我們走？”學生的視角已經突破了平面的歐式幾何范疇，進入到了宇宙空間。精確后的浪漫，力量是無窮的，它促使學生繼續思考，研究感興趣的方面，不停掀起“浪漫—精確—浪漫”的認知漩渦，生成新的智慧。

三、精確、浪漫之后的反思

在浪漫中精確，精確中浪漫是實現新課程標準的有效途徑。修訂后的《義務教育階段數學課程標準》將過去的“雙基”擴充為“四基”，“雙基”指的是基本知識和基本技能，新增的“兩基”即基本活動經驗、基本數學思想，這個修訂充分表達了專家組對知識獲取過程和知識應用過程的重視。

本節課從浪漫到精確，從精確到浪漫，滲透了從特殊到一般再從一般到特殊的數學思想，經歷了“問題情境——建立模型——解釋與應用”和“實驗——猜想——證明”的過程，學生積累下的是探索的活動性經驗。

在浪漫中精確，精確中浪漫是對知識能動的掌握。本節課學習的知識在生活中固然重要，但對于學習者來說也可能終身都不會用到，然而在知識獲取過程中，抽象能力、建模能力、推理能力卻會相伴一生。知識是載體，獲取的過程是重點，學生能動的參與建構是關鍵，獲得的便是受益終身的智慧。

一切學問都是從生活中來的，是對自然和社會的觀察中歸納出來的，書本大多呈現的是歸納的結果，而知識和原始觀察有著什么聯系，歸納證明的過程是怎樣的，這才是學生最需要的東西。在“浪漫—精確—浪漫”的認知漩渦中，知識在增長，更重要的是認知的過程在被感知被認知，終將有一天，學生會走向自主發展的道路。

（作者單位：武漢經濟技術開發區第一初級中學）

責任編輯 嚴芳