梅森素?cái)?shù)為何“火爆”全球

林遠(yuǎn)

梅森素?cái)?shù)為何“火爆”全球

林遠(yuǎn)

目前世界上有190多個(gè)國(guó)家和地區(qū)近70萬人，參加了一個(gè)名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”（GIMPS）的國(guó)際合作項(xiàng)目，并動(dòng)用了超過136萬個(gè)中央處理器（CPU）參與這一項(xiàng)目的計(jì)算。因此，僅從人力、物力方面來說，梅森素?cái)?shù)的探究已足夠“火爆”。這在數(shù)學(xué)史上是前所未有的，在科學(xué)史上也是極為罕見的。

梅森素?cái)?shù)的由來

2300多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在名著《幾何原本》中就已經(jīng)證明素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，如2、3、5、7、11等等；同時(shí)他提出一些素?cái)?shù)可寫成“2^P-1”（其中指數(shù)P也是素?cái)?shù)）的形式。而這種特殊形式的素?cái)?shù)，具有獨(dú)特的性質(zhì)和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)家（包括數(shù)學(xué)大師費(fèi)馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、圖靈等）和無數(shù)的業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者對(duì)它進(jìn)行探究。

17世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家、法蘭西科學(xué)院的奠基人馬林·梅森（Marin Mersenne）對(duì)“2^P-1”型的素?cái)?shù)做過較為系統(tǒng)且深入的探究。為了紀(jì)念他，數(shù)學(xué)界就將這種素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”（Mersenne Prime）。

迄今為止，人類僅發(fā)現(xiàn)49個(gè)梅森素?cái)?shù)。這種素?cái)?shù)稀奇而迷人，故被人們稱為“數(shù)海明珠”。尤其近百年來，人們發(fā)現(xiàn)的“超大素?cái)?shù)”幾乎都是梅森素?cái)?shù)。

難度極大的探究

梅森素?cái)?shù)貌似簡(jiǎn)單，但當(dāng)指數(shù)P值較大時(shí)，其素性檢驗(yàn)的難度就會(huì)很大；它的探究不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進(jìn)行艱巨的計(jì)算。

1772年，享有“數(shù)學(xué)英雄”美譽(yù)的瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉在雙目失明的情況下，利用優(yōu)化的試除法，靠心算證明了2^31-1（即2147483647）是個(gè)素?cái)?shù)。該素?cái)?shù)是第8個(gè)梅森素?cái)?shù)，堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)。歐拉的毅力與技巧都令人贊嘆不已，難怪法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉普拉斯向他的學(xué)生們說：“讀讀歐拉，他是我們每一個(gè)人的老師。”

為了尋找下一個(gè)梅森素?cái)?shù)，俄國(guó)數(shù)學(xué)家伊凡·波佛辛（Ivan Pervushin）花了近20年的時(shí)間和精力，最后利用“盧卡斯定理”，于1883年證明了2^61-1（即2305843009213693951）是第9個(gè)梅森素?cái)?shù)。在“手算筆錄”的年代，人們歷盡艱辛去探究梅森素?cái)?shù)，但只找到12個(gè)。

計(jì)算機(jī)助力尋找

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，大大加快了尋找梅森素?cái)?shù)的步伐。1952年，美國(guó)加州大學(xué)洛杉磯分校的數(shù)學(xué)家拉斐爾·魯賓遜（Raphael Robinson）將著名的“盧卡斯-萊默檢驗(yàn)法”編譯成計(jì)算機(jī)程序，使用大型計(jì)算機(jī)在不到一年內(nèi)就找到了5個(gè)梅森素?cái)?shù)：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。

1963年9月6日晚上8點(diǎn)，當(dāng)?shù)?3個(gè)梅森素?cái)?shù)2^11213-1通過大型計(jì)算機(jī)被找到時(shí)，美國(guó)廣播公司（ABC）中斷了正常的節(jié)目播放，在第一時(shí)間發(fā)布了這一重要消息。而發(fā)現(xiàn)這一素?cái)?shù)的美國(guó)伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系全體師生感到無比驕傲，為讓全世界都分享這一成果，以至把所有從系里發(fā)出的信封都蓋上了“2^11213-1是個(gè)素?cái)?shù)”的郵戳。

隨著指數(shù)P值的增大，每一個(gè)梅森素?cái)?shù)的產(chǎn)生都艱辛無比，而科學(xué)家及業(yè)余研究者們?nèi)詷反瞬黄＃?jìng)爭(zhēng)激烈。例如，在1979年2月23日，當(dāng)美國(guó)克雷研究公司的計(jì)算機(jī)專家戴維·史洛溫斯基（David Slowinski）和哈利·納爾遜（Harry Nelson）宣布他們找到第26個(gè)梅森素?cái)?shù)2^23209-1時(shí)，有人告訴他們：在兩星期前，美國(guó)加州的高中生蘭登·諾爾（Landon Noll）就已經(jīng)給出了同樣結(jié)果。為此他們發(fā)憤忘食，又花了一個(gè)半月的時(shí)間，使用超級(jí)計(jì)算機(jī)找到了新的更大的梅森素?cái)?shù)2^44497-1。

靈機(jī)一動(dòng)見曙光

人們?cè)趯ふ颐飞財(cái)?shù)的同時(shí)，對(duì)其重要性質(zhì)——分布規(guī)律的研究也一直在進(jìn)行著。由于梅森素?cái)?shù)的分布時(shí)疏時(shí)密、極不規(guī)則，因此探究梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素?cái)?shù)更為困難。雖然英、法、德、美等國(guó)的數(shù)學(xué)家曾給出過關(guān)于梅森素?cái)?shù)分布的猜測(cè)，但他們的猜測(cè)都有一個(gè)共同點(diǎn)，就是以近似表達(dá)式給出，其結(jié)果與實(shí)際情況的接近程度難如人意。

中國(guó)數(shù)學(xué)家、語言學(xué)家周海中1976年在廣東雷州半島當(dāng)“下鄉(xiāng)知青”時(shí)就開始探究梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律。因當(dāng)時(shí)這方面的資料十分匱乏，加之沒有計(jì)算機(jī)，所以其探究在初期就困難重重，有過無數(shù)次的失敗，但他并不氣餒。有一天，他在閱讀一本關(guān)于法國(guó)數(shù)學(xué)大師費(fèi)馬的書時(shí)，突然想到了“費(fèi)馬數(shù)”的形式，這為他日后解決難題找到了突破口。

經(jīng)過多年的不懈努力，周海中終于在1992年發(fā)現(xiàn)梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律，并給出了它的精確表達(dá)式。后來這項(xiàng)重要成果被國(guó)際上命名為“周氏猜測(cè)”。美籍挪威數(shù)論大師、菲爾茨獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)得主阿特勒·塞爾伯格（Atle Selberg）認(rèn)為：周氏猜測(cè)具有創(chuàng)新性，開創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法；其創(chuàng)新性還表現(xiàn)在揭示新的規(guī)律上。

網(wǎng)格技術(shù)顯身手

1996年初，美國(guó)數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)專家喬治·沃特曼（George Woltman）編寫了一個(gè)尋找梅森素?cái)?shù)的計(jì)算程序，并把它放在網(wǎng)上供數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者免費(fèi)使用。它就是舉世聞名的GIMPS項(xiàng)目，也是全世界第一個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)格計(jì)算項(xiàng)目。人們只要從該項(xiàng)目下載開放源代碼的Prime95或MPrime軟件，就可以馬上尋找梅森素?cái)?shù)了。

為了激勵(lì)人們尋找梅森素?cái)?shù)和促進(jìn)網(wǎng)格技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國(guó)的“電子前沿基金會(huì)”（EFF）于1999年3月向全世界宣布了為通過GIMPS項(xiàng)目來尋找梅森素?cái)?shù)而設(shè)立的“協(xié)同計(jì)算獎(jiǎng)”。它規(guī)定向第一個(gè)找到超過1000萬位數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)15萬美元。其實(shí)，絕大多數(shù)研究者參與該項(xiàng)目不是為了金錢而是出于好奇心、求知欲和榮譽(yù)感。

2008年8月23日，美國(guó)加州大學(xué)洛杉磯分校的計(jì)算機(jī)專家埃德森·史密斯（Edson Smith）首先發(fā)現(xiàn)超過1000萬位的梅森素?cái)?shù)——2^43112609-1，該素?cái)?shù)有12978189位；他也因此獲得了EFF頒出的大獎(jiǎng)。這一重大成就，被著名的《時(shí)代》周刊評(píng)為“2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)明”之一。

今年1月7日，美國(guó)密蘇里中央大學(xué)的數(shù)學(xué)家柯蒂斯·庫(kù)珀（Curtis Cooper）通過參與GIMPS項(xiàng)目，找到了目前人類已知的最大素?cái)?shù)2^74207281-1。該素?cái)?shù)是第49個(gè)梅森素?cái)?shù)，有22338618位數(shù)，如果用普通字號(hào)將它連續(xù)打印下來，其長(zhǎng)度可達(dá)100公里！

20年來人們通過GIMPS項(xiàng)目找到了15個(gè)梅森素?cái)?shù)，其發(fā)現(xiàn)者來自美國(guó)（9個(gè)）、德國(guó)（2個(gè)）、英國(guó)（1個(gè)）、法國(guó)（1個(gè)）、挪威（1個(gè)）和加拿大（1個(gè)）。

梅森素?cái)?shù)的意義

梅森素?cái)?shù)在當(dāng)代具有重大的意義。它是發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的最有效途徑，其探究推動(dòng)了“數(shù)學(xué)皇后”——數(shù)論的研究，促進(jìn)了計(jì)算技術(shù)、密碼技術(shù)和程序設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展。

此外，梅森素?cái)?shù)還有實(shí)用價(jià)值，它可以用來發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或程序中存在的問題。早在上世紀(jì)90年代，克雷公司、蘋果公司、英特爾公司等就利用梅森素?cái)?shù)來測(cè)試計(jì)算機(jī)的功能。最近德國(guó)一名GIMPS項(xiàng)目參與者發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)诹鶦ore處理器Intel Skylake在執(zhí)行Prime95應(yīng)用來搜索梅森素?cái)?shù)時(shí)，運(yùn)算到指數(shù)P=14942209就出現(xiàn)了觸發(fā)系統(tǒng)死機(jī)的漏洞（bug）。

難怪許多科學(xué)家認(rèn)為，梅森素?cái)?shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個(gè)國(guó)家的科技水平。英國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主席馬科斯·索托伊（Marcus Sautoy）甚至認(rèn)為，它的研究進(jìn)展不但是人類智力發(fā)展在數(shù)學(xué)上的一種標(biāo)志，而且是整個(gè)科技發(fā)展的里程碑之一。也許這也是梅森素?cái)?shù)的探究極為“火爆”的原因之一吧。

編輯 / 錢敏rmzkqm@163.com