初中數學教學中的數形結合思想

湯昆

摘 要在解決初中數學問題過程中，運用數形結合的思想，根據問題的具體情形，把圖形性質問題轉化成數量關系來研究。或者把數量關系問題轉化成圖形性質來研究，以便以“數”助“形”或以“形”助“數”，使問題簡單化、具體化，促進“數”與“形”的相互滲透，這種轉換不但能提高教學質量，同時也能有效地培養學生思維素質，所以“數形結合”是初中數學的重要思想，也是學好初中數學的關鍵所在。本文就數形結合的思想談一點自己的認識。

【關鍵詞】初中數學；數形結合思想

1 數形結合思想的地位和重要性

數與形是數學研究的兩類基本對象。“數”是指數與式，“形”是指圖形與圖像。數形結合的思想可以變抽象思維為形象思維，揭示數學本質的東西。在初中數學教學過程中，我們可以利用平面直角坐標系將代數和幾何問題緊密地聯系起來，為許多實際問題的解決提供了新的思路和策略，對問題的解決產生事半功倍的效果。

通過培養學生“數形結合”的思想，可以檢測出他們掌握數學基礎知識的程度、理解知識的深度及對數學知識的綜合運用能力。在初中階段訓練學生利用“數形結合”的方法觀察、分析問題，有助于學生學習抽象的知識，對鍛煉相應的數學思維也有極大的幫助。

2 數形結合的思想在初中數學中的應用主要體現在以下兩個方面

2.1 有數思形數形結合，用形來解決數的問題和解決一些運算公式；把代數關系（數量關系）與幾何圖形的直觀形象有機的結合起來，使抽象的問題形象化復雜的問題簡單化。如：

（1）利用數軸來講解絕對值的概念、相反數的概念、有理數的加、減、乘、除運算等。

（2）用幾何圖形來推導平方差、平方和、完全平方公式以及多邊形外角和定理。

（3）用函數的圖像解決函數的最值問題、值域問題。

（4）用圖形比較不等式的大小問題。解這種類型題的關鍵是根據數（量）結構特征構造出相的幾何圖形，將概念形象化，復雜計算的問題簡單化。

2.2 由形思數數形結合。解決這類問題的關鍵是運用數的精確性來闡明形的某些屬性；將圖形信息轉化為代數信息，利用數（量）特征將圖形問題轉化為代數問題來解決。這類問題在初中數學中運用的也比較多，如：

（1）用數（量）表示角的大小和線段的大小，用數（量）的大小比較角的大小 和線段的大小。

（2）用有序實數對描述點在平面直角坐標系內的位置。

（3）用方程、不等式或者函數解決幾何量的問題。

（4）用數來描述點與圓的位置關系，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，直線與直線的位置關系。

2.3 其實在解有關的數形結合問題并不是單純的由數思形或者有形思數的問題，一般都是綜合運用題。利用數形結合解有關的問題時要注意一下幾個問題：

（1）注意數與形轉化前后的一致性；

（2）要注意用數的精確性準確的去描述圖形的特征；

（3）把數轉化成形時要注意圖形的全面形。因為有的數學問題對應的問題不唯一就必須根不同的情況作出相應的圖形，再進行討論求解。

3 數形結合的實踐教學

在有關“數形結合”知識點的教授過程中，必須掌握等價轉換、數形互補的原則。著重培養學生的如下能力：

（1）根據學生的年齡特點在學習的不同的階段的認識水平和知識特點，采取循序漸進，由易到難逐步深入不斷提高學生的認識水平和解題能力

（2）選擇典型的例題進行講解并指導學生進行有真對性的練習。讓學生通過解題明白用數形結合解決有關的問題可以避免復雜的運算和推理大大的簡化了解題的過程；使學生從感性認識到理性的認識在實踐中得到鍛煉。使其在解決問題的同時感到自身的成就感，從而激發其學習的興趣。使學生能夠體會到用數形結合解決有關問題的簡便性，從而使其養成自覺的用數形結合的思想解決有關的問題習慣。

（3）學會形中覓數，善于觀察圖形，找出圖形中蘊含的代數關系 ，如果在一個幾何問題中，條件和結論都容易用代數中的式子表示出來，那么，我們就可以把解決這個問題的過程轉化為代數中的演算來完成。

（4）善于數中思形，正確構造圖形，通過幾何模型反映相應代數信息 有些許多代數問題利用幾何方法可以很容易的解決，然而由于代數關系比較抽象，因此，若能結合問題中代數關系賦予幾何意義，那么往往就能借助直觀形象對問題做出透徹分析，從而探求出解決問題的途徑.在數形轉化中，必須遵循等價轉換原則和數形互補原則，在教學中有意識地進行訓練，不惜從點滴做起，堅持實踐，學生思維素質便得到提高，從而為今后的學習打下堅實的基礎。

（5）任何一種解題的思想方法都不是孤立的，在教學中還應根據具體的問題利用現有的教材注意幾種思想方法的綜合運用。同時要充分發揮學生在學習中的主觀能動性，因勢利導會收到很好的教學效果。

總之，數形結合的思想是一種重要的數學思想，有助于把握數學問題的本質，它是數學規律性和靈活性的由機結合。運用數形結合的思想解決數學題的關鍵是找準數與形的契合，與形巧妙的結合起來，根據不同的問題相互轉化，使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化；利用數形結合的思想解決有關的問題不僅可以增強解決問題的靈活性，還可以提高分析問題和解決問題的效率，從而在解題中可以產生事半功倍的效果；同時也利于學生理解和接受。數形結合的思想方法，不象一般的數學知識那樣，學生易于理解和接受，通過幾節課的講解學生就可以掌握。

作者單位

江蘇省淮安市徐楊中學 江蘇省淮安市 223010