淺談運用導數解決一類特殊不等式的策略

孫建山

【摘 要】本文主要介紹導數中不等式解決的常見幾種方法，并詳細闡述它們在求解高考壓軸題中的重要應用。

【關鍵詞】超越不等式；高考；構造新函數

縱覽近些年來的高考數學試卷，無論是全國卷，還是各省市自主命題，絕大多數省份試卷都是以函數及導數應用綜合題做為壓軸題，而導數及其相關知識作為連接初等數學和高等數學的紐帶，對相當一部分學生來說，接受起來有一定困難，因此要熟練解決這類問題，要求考生必須牢固掌握相關的基礎知識、基本方法和基本技能，證明不等式經常會出現在導數的最后一問，這里筆者和讀者交流一些常見方法。

方法一：直接構造函數

例1：求不等式x-1-（e-1）lnx>0的解集，其中e為自然對數的底。

解：令f（x）=x-1-（e-1）lnx，f′（x）=■，令f′（x）>0解得x>e-1，令f′（x）<0解得x0，所以原不等式的解集為（0，1）∪（e，+∞）。

方法二：先變形，再構造函數

例2：已知函數f（x）=（x+1）lnx-x+1。

（1）若xf？蒺（x）≤x2+ax+1，求a的取值范圍；

（2）證明：（x-1）f（x）≥0。

解：（1）略（2）當x=1時，結論成立；原命題等價于當x∈（0，1）時，f（x）≤0即lnx-■≤0；當x∈（1，+∞）時，f（x）≥0即lnx-■≥0。

令h（x）=lnx-■，h′（x）=■-■=■>0在（0，+∞）上恒成立，所以h（x）在（0，+∞）上單調遞增，而h（1）=0，所以當x∈（0，1）時，lnx-■<0即f（x）<0，

當x∈（1，+∞）時，lnx-■>0即f（x）>0。從而命題得證。

方法三：利用f（x）min>g（x）max（f（x）max

例3：設函數f（x）=aexlnx+■，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=e（x-1）+2。

（1）求a，b；（2）證明：f（x）>1。

解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f？蒺（x）=aexlnx+■ex-■ex-1+■ex-1

由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2。

（2）由（1）知，f（x）=exlnx+■，從而f（x）>1等價于xlnx>xe-x-■

設函數g（x）=xlnx，則g′（x）=x+lnx，所以當x∈（0，■）時，g′（x）<0，當x∈（■，+∞）時，g′（x）>0，故g（x）在（0，■）單調遞減，在（■，+∞）單調遞增，從而g（x）在（0，+∞）的最小值為g（■）=-■。

設函數h（x）=xe-x-■，則h′（x）=e-x（1-x），所以當x∈（0，1）時，h′（x）>0，當x∈（1，+∞）時，h′（x）<0，故h（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，從而h（x）在（0，+∞）的最大值為h（1）=-■而它們等號不在同一處取到。

綜上：當x>0時，g（x）>h（x），即f（x）>1。此方法不具有一般性，在一般情況下我們優先選擇方法一或方法二。