基于問題式學(xué)習(xí)的《數(shù)值分析》微課設(shè)計(jì)

摘要：針對(duì)我國(guó)高校《數(shù)值分析》課程特點(diǎn)及教學(xué)現(xiàn)狀，將基于問題式學(xué)習(xí)模式應(yīng)用于《數(shù)值分析》課程教學(xué)有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和教學(xué)質(zhì)量。本文針對(duì)基于問題式學(xué)習(xí)的《數(shù)值分析》微課設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了初步探討。

關(guān)鍵詞：基于問題式學(xué)習(xí)；數(shù)值分析；微課

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）46-0176-02

一、《數(shù)值分析》課程特點(diǎn)及教學(xué)現(xiàn)狀[1]

《數(shù)值分析》課程是大、中專院校理、工、農(nóng)、醫(yī)等學(xué)科重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，主要研究運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的方法。主要包含的章節(jié)有：緒論、插值法、數(shù)值逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、非線性方程求根、線性方程組的直接解法、線性方程組的迭代解法、矩陣特征值的計(jì)算、常微分方程初值問題數(shù)值解法。學(xué)好本門課程即要求學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠構(gòu)造數(shù)值方法，并對(duì)它進(jìn)行理論分析和評(píng)價(jià)，又要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用計(jì)算機(jī)編寫程序、數(shù)值計(jì)算，最終得到近似解。通過本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生獨(dú)立思考、綜合分析、動(dòng)手能力和解決問題的能力得到提高。

應(yīng)用性強(qiáng)是該課程的主要特點(diǎn)。課程每個(gè)章節(jié)的內(nèi)容分別是針對(duì)不同的具體問題設(shè)計(jì)的，有很強(qiáng)的應(yīng)用背景。例如：已知物體運(yùn)動(dòng)的速度和加速度函數(shù)，如何得到路程函數(shù)；或已知物體運(yùn)動(dòng)軌跡，如何得到某點(diǎn)處的切線方程；如何求解一元高次方程的解；如何得到含有多個(gè)未知數(shù)線性方程組的近似解等。針對(duì)同一類數(shù)學(xué)問題，課程要求掌握多種數(shù)值求解方法，方法應(yīng)用上有較強(qiáng)的靈活性。理論分析與動(dòng)手能力并重是本門課程的另一特點(diǎn)。針對(duì)一個(gè)具體問題，求解的基本步驟是：首先針對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)值方法，理論分析該方法的精度、穩(wěn)定性、收斂性等；其次，設(shè)計(jì)出該方法對(duì)應(yīng)的計(jì)算機(jī)算法，編寫、調(diào)試程序；最后，將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)合理論分析結(jié)果，對(duì)該方法做出正確評(píng)價(jià)。

理論知識(shí)與具體問題脫節(jié)是目前《數(shù)值分析》課程教學(xué)中存在的主要問題。大部分學(xué)校《數(shù)值分析》教學(xué)仍以傳統(tǒng)教師講授為主，多在普通的沒有多媒體設(shè)備的教室進(jìn)行。對(duì)新方法、新理論很少通過直觀的方法進(jìn)行引入，如圖片、視頻等；教學(xué)過程中更多地注重計(jì)算公式的推導(dǎo)，精度分析，收斂性、穩(wěn)定性的證明，忽視了對(duì)應(yīng)用背景的合理引入，以及對(duì)具體問題的求解過程及數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果的正確分析。

課程結(jié)束后的預(yù)期效果是：要求學(xué)生在處理具體問題時(shí)，首先根據(jù)給定的條件對(duì)問題進(jìn)行分析，找到最適合的數(shù)值方法，對(duì)數(shù)值方法進(jìn)行恰當(dāng)?shù)睦碚摲治雠c證明，然后開展數(shù)值實(shí)驗(yàn)，對(duì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行正確分析，最終得出結(jié)果。而目前傳統(tǒng)教學(xué)方法卻達(dá)不到預(yù)期效果。課程結(jié)束后，針對(duì)個(gè)人不同學(xué)習(xí)情況，許多學(xué)生只是片面地掌握了部分?jǐn)?shù)值方法和技術(shù)，如有的學(xué)生偏重理論證明，有的學(xué)會(huì)應(yīng)用公式計(jì)算，有的掌握了一些編程技術(shù)等，很少學(xué)生能夠完成一個(gè)具體問題的完整求解過程，達(dá)不到提高學(xué)生獨(dú)立思考、綜合分析、解決具體問題的能力的教學(xué)目的。

二、基于問題式學(xué)習(xí)[2]

基于問題式學(xué)習(xí)主要是通過引導(dǎo)學(xué)生合作解決教師設(shè)計(jì)的實(shí)際問題，在解決問題的過程中學(xué)習(xí)問題背后的科學(xué)知識(shí)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、團(tuán)體合作以及解決問題能力的目的。基于問題式學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)以解決具體問題為中心，注重學(xué)生團(tuán)體間的交流與合作，教師在其中的作用是對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)和外部支持。

通過上文對(duì)《數(shù)值分析》課程特點(diǎn)的分析，該課程每個(gè)章節(jié)對(duì)應(yīng)一類具體問題，每一類問題中根據(jù)不同的條件又有不同方法求解，且解決一個(gè)具體問題時(shí)需要進(jìn)行初始數(shù)據(jù)調(diào)研、理論分析、數(shù)值實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)分析這四個(gè)基本步驟，適合團(tuán)體協(xié)作完成。

比對(duì)《數(shù)值分析》課程及基于問題式學(xué)習(xí)模式的特點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)，基于問題式學(xué)習(xí)模式非常適合使用在《數(shù)值分析》課程的教學(xué)中。鑒于此，本文以第二章插值法為例，對(duì)將問題式學(xué)習(xí)模式應(yīng)用于《數(shù)值分析》課程教學(xué)進(jìn)行了初步探索。[3-4]

三、基于問題式學(xué)習(xí)的《數(shù)值分析》微課方案設(shè)計(jì)

微課是教師錄制成的針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)短小而相對(duì)較完整可直接播放的教學(xué)活動(dòng)視頻，其主要特點(diǎn)是“短小精悍”。在“微課”設(shè)計(jì)、制作過程中，教師要緊緊圍繞學(xué)科的某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，比如：重點(diǎn)、難點(diǎn)等，依照教學(xué)目標(biāo)，利用多媒體及其他直觀教學(xué)工具，精心設(shè)計(jì)課程、制作視頻，從而達(dá)到與傳統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間教學(xué)同樣甚至更好的教學(xué)效果。作為一種新型的教學(xué)資源，微課是傳統(tǒng)課堂的有益補(bǔ)充和資源拓展，便于學(xué)習(xí)者隨時(shí)隨地地進(jìn)行線上或線下學(xué)習(xí)。將微課與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合的新型教學(xué)模式有利于提高教學(xué)質(zhì)量。

下面就以《數(shù)值分析》課程第二章插值法為例，初步探討基于問題式學(xué)習(xí)的微課設(shè)計(jì)方案。

插值法研究的是這樣一類問題，通過觀測(cè)、測(cè)量得到曲線上的一些離散點(diǎn)坐標(biāo)，通過插值法得到曲線方程的近似函數(shù)和未知點(diǎn)近似坐標(biāo)值。插值法的應(yīng)用在日常生活中較常見，如空投救援物資時(shí)，根據(jù)物資運(yùn)動(dòng)軌跡，預(yù)測(cè)物資落地點(diǎn)；計(jì)算不規(guī)則形狀湖泊面積；通過觀測(cè)得到的流星出現(xiàn)位置，判斷流星與其他物體相撞的可能性。[5-6]

基于問題式學(xué)習(xí)的微課設(shè)計(jì)方案：

1.分組。首先教師向?qū)W生解釋完成任務(wù)的四個(gè)基本步驟：初始數(shù)據(jù)調(diào)研、理論分析、數(shù)值實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)分析。以30個(gè)學(xué)生的教學(xué)班為例，每5人分為一組，共6組，要求學(xué)生根據(jù)任務(wù)步驟及學(xué)生的特點(diǎn)進(jìn)行自由組合，在教師協(xié)助下完成分組。

2.布置與分配任務(wù)。由教師設(shè)計(jì)6個(gè)具體任務(wù)，任務(wù)設(shè)置難易適當(dāng)，各個(gè)任務(wù)要求各有特點(diǎn)，解決這些問題應(yīng)盡量用到課程所介紹的各種不同方法。并由各小組抽簽分配任務(wù)。

插值法任務(wù)：（1）已知鉛球運(yùn)動(dòng)軌跡圖，預(yù)測(cè)鉛球落地點(diǎn)；（2）已知足球射門視頻片段，預(yù)測(cè)是否命中；（3）空投救援物資時(shí)，根據(jù)物資運(yùn)動(dòng)軌跡圖，預(yù)測(cè)物資落地點(diǎn)；（4）已知形狀不規(guī)則湖泊圖片，計(jì)算湖泊邊界曲線方程；（5）已知沙漠綠州圖片，計(jì)算綠州邊界曲線方程；（6）根據(jù)流星出現(xiàn)位置圖片，判斷流星與地球相撞的可能性。

3.制定、公布任務(wù)評(píng)價(jià)細(xì)則。在完成要求的四個(gè)基本步驟后，根據(jù)完成情況分成以下四個(gè)等級(jí)：不能完成、基本完成（一次性輸入3個(gè)固定點(diǎn)作插值）、較好完成（一次性輸入3個(gè)以上固定點(diǎn)作插值）、優(yōu)秀（可自由選擇和增加插值點(diǎn)個(gè)數(shù)）。

4.教師制作微課視頻，供學(xué)生自由在線或下載學(xué)習(xí)，視頻時(shí)長(zhǎng)不超過二十分鐘。每節(jié)微課介紹一種插值方法，分別為：插值法基本原理、拉格朗日插值、牛頓插值、埃爾米特插值、分段低次插值。

5.活動(dòng)匯報(bào)及答辯：學(xué)生利用PPT匯報(bào)小組解決具體問題過程及結(jié)論展示，并針對(duì)教師、其他組學(xué)生的提問進(jìn)行答辯。

6.總結(jié)評(píng)價(jià)與查漏補(bǔ)缺：由教師完成總結(jié)與評(píng)價(jià)，并對(duì)學(xué)生掌握不好的問題，章節(jié)中沒有用到的方法和內(nèi)容進(jìn)行講解和分析。

在以上六個(gè)任務(wù)中，首先要求學(xué)生將任務(wù)圖片或視頻定位在直角坐標(biāo)系下，測(cè)量出若干離散點(diǎn)坐標(biāo)，在測(cè)量的過程中，可采用等距測(cè)量的方法，也可采用不等距的方法，不同的測(cè)量方法所使用的插值法不同；第二步，要求學(xué)生學(xué)習(xí)微課內(nèi)容，選擇最適合的插值方法，如已知等距節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可選擇牛頓插值法；已知不等距節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可選擇拉格朗日插值法；已知不等距節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值及節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值（節(jié)點(diǎn)切線斜率）可選擇埃爾米特插值法；節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)固定可選擇牛頓插值、分段低次插值、拉格朗日插值、埃爾米特插值法；能夠隨時(shí)增加節(jié)點(diǎn)可選擇牛頓插值法；節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)超過8個(gè)選擇分段低次插值法。其中，各種插值方法的特點(diǎn)及構(gòu)造原理、使用方法等均可在微課中學(xué)習(xí)到，學(xué)生選擇的方法越靈活，精度越好，則得到的分值越高。第三步，編寫、調(diào)試程序。要求程序首先能完成所要求的基本任務(wù)，其次程序要與用戶有較好的交互性、可讀性；第四步，分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并與理論分析結(jié)果進(jìn)行比較。通過理論分析，得到該插值方法的估計(jì)誤差；將數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際問題結(jié)果比較，得到實(shí)驗(yàn)誤差，將實(shí)驗(yàn)誤差與理論估計(jì)誤差進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證理論分析結(jié)果。

基于問題式學(xué)習(xí)的《數(shù)值分析》微課設(shè)計(jì)方案，通過組織學(xué)生合作解決教師設(shè)計(jì)的實(shí)際問題，在解決問題的過程中利用教師錄制的微課進(jìn)行靈活、自主學(xué)習(xí)，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、團(tuán)體合作、動(dòng)力能力以及解決實(shí)際問題等綜合能力的目的。

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