“平面圖形的認識（二）”重難點突破

徐仙

“平面圖形的認識（二）”重難點突破

徐仙

本章是“平面圖形的認識（一）”的延續和提高.下面為同學們解讀本章學習中的幾個難點.

難點一：“三線八角”中的識角

兩條直線被第三條直線所截，圖形中共有八個小于180°的角，我們把這個圖形稱為“三線八角”圖，其中沒有公共頂點的兩個角可以分為三類：同位角、內錯角、同旁內角，它們是進一步學習平行線的判定和性質的基礎.同位角：分別在兩條直線的同一側，并且都在第三條直線的同一旁；內錯角：在兩條直線之間，并且分別在第三條直線的兩旁；同旁內角：在兩條直線之間，并且都在第三條直線的同一旁.

識別的關鍵：是在各種圖形中準確地辨別出沒有公共頂點的兩角是由哪兩條直線被哪一條直線所截構成的，即通過兩角如何找準“三線”，找“三線”的難點是找準“截線”.

例1如圖1，按圖中角的位置，判斷正確的是（）.

圖1

A.∠1與∠2是同位角

B.∠1與∠4是內錯角

C.∠5與∠7是同旁內角

D.∠4與∠8是同位角

【分析】首先要辨別出沒有公共頂點的兩角是由哪兩條直線被哪一條直線所截構成的，再對照定義進行判別.

【答案】C.

【點評】在“三線八角”識角中，關鍵要找到截線與被截直線，再對照同位角、內錯角、同旁內角定義進行判別.技巧：將已知的沒有公共頂點的兩角的兩邊用鉛筆重描一下，顯現出形成兩角的直線，既可以看出這兩角是否屬于“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角，也可以看出是由哪兩條直線被哪一條直線所截.

難點二：平行線判定與性質的運用

平行線的判定：同位角相等兩直線平行；內錯角相等兩直線平行；同旁內角互補兩直線平行.平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補.平行線的“判定”和“性質”既緊密聯系又有根本區別，往往容易混淆，學習時應注意以下幾點.1.分清因果關系.平行線的“判定”是由角的相等或互補推出兩直線平行，角相等或互補是前提，是因，兩直線平行是結論，是果；平行線的“性質”是由兩直線的平行推出角相等或互補，兩直線平行是前提，是因，角相等或互補是結論，是果.

例2已知如圖2，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求證：BC平分∠DBE.

圖2

【分析】只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，從而推出AE∥FC，從而推出∠C=∠EBC，而∠A=∠C，從而可得AD∥BC，最后再運用平行線的性質和已知條件便可推出∠EBC=∠DBC.

證明：∵∠BDC+∠2=180°（平角定義）

又∵∠1+∠2=180°（已知）

∴∠1=∠BDC（同角的補角相等）

∴AE∥FC（同位角相等，兩直線平行）

∴∠C=∠EBC（兩直線平行，內錯角相等）

又∵∠A=∠C（已知）

∴∠A=∠EBC（等量代換）

∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）

∴∠ADB=∠CBD（兩直線平行，內錯角相等）

∠ADF=∠C（兩直線平行，同位角相等）

又∵AD平分∠BDF（已知）

∴∠ADB=∠ADF（角平分線的定義）

∴∠EBC=∠DBC（等量代換）

∴BC平分∠DBE（角平分線的定義）

【點評】本題反復應用平行線的判定與性質，見到“平行”應想到有關的角相等，見到有關的角相等，就應想到能否判斷直線間的平行關系.把平行線的判定與性質緊密結合在一起也就是將直線平行與角相等聯系在一起.這樣解題得心應手，靈活自如.

難點三：鈍角三角形高的作法

三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足之間的線段叫作三角形的高.

例3△ABC中，∠A＞90°，圖3為某同學作的AC邊上的高AD，是否正確？為什么？若不正確，請你作出符合條件的高.

圖3

【分析】AC邊上的高應由AC所對的頂點B向AC邊所在的直線作垂線，而不是只保證垂直AC就可以.

解：此作圖不正確，因為AC邊上的高應由AC所對的頂點B向AC邊所在的直線作垂線，而不是過點A作，符合條件的高應為下圖中線段BE.

【點評】正確理解三角形高的定義是作三角形高的關鍵.

圖4

難點四：三角形確定第三邊的取值范圍

“三角形兩邊的和大于第三邊”是這章中的重要定理，從這個定理出發還可以得出一些有用的結論，這些結論在實際生活中可以起到很大的作用.

例4已知△ABC的兩邊AC=5，BC=8，求第三邊AB的取值范圍.

【分析】我們可以從動態的角度來看待這個問題，讓BC不動，而AC繞C點旋轉.我們發現當AC與BC在同一條直線上時AB有最大值，但由于AB是△ABC的一邊，故AB＜AC+BC；當AC與BC重合時，AB有最小值，故AB＞BC-AC.

解：∵BC+AC=13，BC-AC=3，

∴3＜AB＜13.

【點評】“三角形兩邊的和大于第三邊”和由此得出的“三角形兩邊的差小于第三邊”，都是由“兩點之間線段最短”這個定理得出的.在已知三角形兩邊長求第三邊范圍時，不僅要考慮“兩邊的和大于第三邊”，同時也要確保“兩邊的差小于第三邊”.

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗學校）