“平面圖形的認(rèn)識（二）”核心概念解讀

虞仁良

“平面圖形的認(rèn)識（二）”核心概念解讀

虞仁良

一、三線八角

兩條直線被第三條直線所截形成8個角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角.

如圖1，直線a、b被直線l所截

①∠1和∠5分別在被截直線a、b的上方，并且都在截線l的同側(cè)，這樣的一對角稱為同位角.圖1中∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8也是同位角，

圖1

②∠4和∠6分別在被截直線a、b之間，并且在截線l的兩旁，這樣的一對角稱為內(nèi)錯角.圖1中∠3和∠5也是內(nèi)錯角，

③∠4和∠5分別在被截直線a、b之間，并且在截線l的同旁，這樣的一對角稱為同旁內(nèi)角.圖1中∠3和∠6也是同旁內(nèi)角，

正確理解、識別這三類角應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）識別三類角首先要抓住“三條線”，即：哪兩條直線被哪條直線所截.

（2）抓住截線，截線的同側(cè)有哪些角，從中找同位角和同旁內(nèi)角，在截線的兩側(cè)找內(nèi)錯角.

（3）三線八角描述的只是位置關(guān)系，而不是大小關(guān)系，切不可誤認(rèn)為同位角、內(nèi)錯角一定相等，同旁內(nèi)角一定互補(bǔ).

二、平行線的判定

（1）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行.

簡單說成：同位角相等，兩直線平行.

如圖2，若∠1=∠2，則a∥b.

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線平行.

簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

如圖2，若∠3=∠4，則a∥b.

（3）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行.

簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

如圖2，若∠3+∠2=180°，則a∥b.

圖2

圖3

例1如圖3，（1）∵∠1=∠B，

∴_______∥_______（）.

（2）∵∠2=∠3，

∴_______∥_______（）.

（3）∵∠BAD+∠D=180°，

∴_______∥_______（）.

【答案】AD，BC，同位角相等，兩直線平行；AB，DC，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；AB，DC，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

【點(diǎn)評】在運(yùn)用平行線的判定時，一定要看清楚是哪兩條直線被哪一條直線所截而成的同位角相等，或內(nèi)錯角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，只有這樣才能正確判斷是哪兩條直線平行.

三、平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相等.如圖4，若a∥b，則∠1=∠2.

（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等.如圖4，若a∥b，則∠3=∠4.

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).如圖4，若a∥b，則∠2+∠3=180°.

圖4

圖5

例2如圖5，DE∥AC，∠1=∠2，∠ABC=50°，將求∠FAB的過程填寫完整.

∵DE∥AC，

∴∠1=_______（）.

∵∠1=∠2，∴∠2=_______，

∴AF∥_______（），

∴∠ABC+_______=180°（）.

∵∠ABC=50°，∴∠FAB=_______.

【答案】∠C，兩直線平行，同位角相等，∠C，BC，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，∠FAB，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，130°.

【點(diǎn)評】平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來找角的數(shù)量關(guān)系.見到特殊位置的角相等或互補(bǔ)，就應(yīng)該想一想是否有平行線，反之，遇到直線平行就應(yīng)聯(lián)想到角相等或互補(bǔ).

四、圖形的平移

在平面內(nèi)，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動叫作圖形的平移.

（1）圖形平移過程中的不變因素：形狀、大小.

（2）圖形平移的兩個要素：平移的方向、平移的距離.

（3）圖形平移的性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一直線上）且相等.

五、三角形中的有關(guān)概念和性質(zhì)

1.三角形的三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊大于第三邊.

2.三角形的三線

（1）三角形的高：從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫作三角形的高.

①銳角三角形三條高都落在三角形的內(nèi)部；直角三角形有兩條高恰好是它的兩條邊，另一條高在三角形的內(nèi)部；鈍角三角形中，有兩條高在三角形的外部，另一條在三角形的內(nèi)部.

②三角形的三條高或者它們的延長線交于一點(diǎn).

（2）三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點(diǎn)與它的對邊中點(diǎn)的線段，叫作三角形的中線.三角形的三條中線相交于一點(diǎn).

（3）三角形的角平分線：在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫作三角形的角平分線.三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).

例3下列長度的3根小木棒能搭成三角形嗎？

（1）3 cm，5 cm，10 cm（2）5 cm，4 cm，9 cm（3）4 cm，6 cm，9 cm【答案】（1）不能，∵3+5＜10；（2）不能，∵5+4=9；（3）能，∵4+6＞9.

【點(diǎn)評】判定給定三條線段能否構(gòu)成一個三角形，看較小兩邊的和是否大于最長邊.

六、多邊形的內(nèi)角和與外角和

n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°；多邊形的外角和等于360°.

例4小明從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)30°，再沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)30°……照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A，一共走了多少米？

【答案】120米.

【點(diǎn)評】由“多邊形的外角和公式”，可得小明走過的路線為十二邊形的周長，因此小明共走了120米.

江蘇省丹陽市華南實(shí)驗(yàn)學(xué)校）