圖形問題中的數學思想

朱志偉

圖形問題中的數學思想

朱志偉

《義務教育數學課程標準（2011版）》明確了將“數學的基本思想”作為“四基”目標之一，進一步明確了數學思想在數學教育中的地位.數學思想是數學的靈魂和精髓，在學習“平面圖形的認識（一）”這一章時，同學們了解、掌握和運用相關的數學思想方法，有利于提高數學學習的效率，開發智力，培養數學能力，培養解決實際問題的能力.下面通過舉例予以說明.

一、轉化思想

有些數學題目，初看覺得無從下手，但若能轉化解題思路，問題便能順利得到解決.

例1一只蜘蛛在一個正方體的頂點A處，一只蚊子在正方體的頂點B處，如圖1所示，現在蜘蛛想盡快捉到這只蚊子，那么它所走的最短路線是怎樣的，在圖上畫出來.

圖1

圖2

【簡析】將正方體展開，A、B的位置如圖2所示，連接AB，根據“兩點之間，線段最短”，可知線段AB就是符合條件的最短路線，在正方體上這樣的最短路線不止一條.

二、方程思想

在處理有關角的大小、線段大小計算時，借助方程來求出未知量是一種重要策略.

例2如果一個角的補角是150°，求這個角的余角.

【簡析】若設這個角的大小為x，則這個角的余角是90°-x，于是由這個角的補角是150°可列出方程求解.

解：設這個角的大小為x，則這個角的余角是90°-x，根據題意，得

180°-x=150°，解得：x=30°，

即90°-x=60°.

故這個角的余角是60°.

例3已知線段AC∶AB∶BC=3∶5∶7，且AC+AB=16 cm，求線段BC的長.

【簡析】在本題中，可設AC=3x cm，則AB=5x cm，BC=7x cm.因為AC+AB=16 cm，所以3x+5x=16 cm，解得x=2，因此BC=7x= 14 cm.

例4如圖3，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOC，OF⊥CD，若∠EOB∶∠BOD=3∶2，求∠AOF的度數.

圖3

【簡析】在本題中，可設∠EOB=3x，∠BOD=2x，因為OE平分∠BOC，所以∠EOC= 3x，因直線CD，則3x+2x+3x=180°，解得x= 22.5°，所以∠BOD=2x=45°.因為OF⊥CD，直線AB，所以∠AOF=45°.

三、數形結合思想

數形結合，由數思形，以形思數，使某些抽象的數學問題直觀化、生動化、簡單化，變抽象思維為形象思維，有助于同學們把握數學問題的本質.

例5已知線段AB，在BA的延長線上取一點C，使CA=3AB.

（1）線段CB是線段AB的幾倍？

（2）線段AC是線段CB的幾分之幾？

【簡析】本題的呈現方式是圖形式，而設問內容卻是一個數量問題.如果同學們不畫出圖形就不容易發現其數量關系，而一旦將畫圖視為自覺行為，其數量關系就會一目了然.這正是數形結合思想的具體體現.

四、分類討論思想

物以類聚，人以群分，數學中的問題也是一樣，在許多情況下，通過分類既可以避免出錯，又可以訓練我們的思維.

例6在一條直線上有A、B、C三點，M為線段AB的中點，N為線段BC的中點，若AB=3，BC=2，試求線段MN的長.

【簡析】根據題意只能確定A、B、C三點在同一條直線上，但不能確定它們的順序，因此要分情況討論.

圖4

圖5

解：（1）當點C在線段AB外時，如圖4所示，

（2）當點C在線段AB上時，如圖5所示，

例7已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度數.

【簡析】根據題意∠AOB與∠BOC有一公共邊OB，邊OA與邊OC的位置不能確定，因此要分情況討論.

圖6

解：（1）當邊OC在∠AOB外時，如圖6所示，

圖7

（2）當邊OC在∠AOB內時，如圖7所示，

例8有四個點A、B、C、D，經過其中每兩個點畫直線，可以畫出幾條？

【簡析】條件中沒有明確4個點或其中3個點是否在同一條直線上，因此應分情況進行討論.

解：（1）當A、B、C、D四個點在同一條直線上時，只可以畫出1條直線，如圖8所示.

圖8

（2）當A、B、C、D四個點中有3個點在同一條直線上時，可以畫出4條直線，如圖9所示.

圖9

（3）當A、B、C、D四個點中任意3個點都不在同一條直線上時，可以畫出6條直線，如圖10所示.

圖10

【簡析】根據題意可知，線段AB、AC是同一條直線上的兩條線段，但是線段AB、AC的位置不確定，也就是說A、B、C三點的位置不確定，因此應分B、C在A點的同側和B、C在A點的兩側兩種情況討論.

解：BC=3MN，理由如下：

（1）當B、C在A點同側時，如圖11所示，

即BC=3MN.

圖11

（1）當B、C在A點兩側時，如圖12所示，

即BC=3MN.

圖12

因此線段BC的長度是MN的3倍.

以上介紹了4種常見的數學思想方法，數學思想方法還有很多，限于篇幅，這里不再一一贅述，但需要提醒同學們的是，數學思想方法不是靠老師灌輸的，而是由自己不斷反思、體悟出來的，脫離了問題來談數學思想方法是毫無意義的.另外，各種思想方法并不是相互孤立地發揮作用，有時需要多種思想方法共同起作用才能解決問題.筆者認為，從初一開始就注重數學思想方法的學習，將為今后的學習打下堅實的基礎，從而受益終生.

（作者單位：江蘇省吳江區實驗中學）