學(xué)好幾何從明晰幾何概念開始
——記“平面圖形的認識（一）”中部分概念

范船良

學(xué)好幾何從明晰幾何概念開始
——記“平面圖形的認識（一）”中部分概念

范船良

幾何是數(shù)學(xué)中的一個分支，它將引領(lǐng)我們正確地識別圖形，進一步了解和掌握圖形的更多性質(zhì)，更重要的是它將提升我們的空間想象能力和嚴密的邏輯推理能力，這是我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中不可或缺的一面.幾何概念是指人們思維中對幾何圖形的認知（它包括定義、公式、結(jié)論等）.有些同學(xué)對幾何問題判斷不準(zhǔn)，思維混亂，推斷說理無根無據(jù)，其根本原因是因為沒有學(xué)好幾何的基本概念.因此要學(xué)好幾何，一開始就要十分重視概念的學(xué)習(xí).接下來，就以“平面圖形的認識（一）”中部分概念為例談?wù)勅绾蚊魑鷰缀胃拍睿云鸬绞痉兜淖饔?

一、學(xué)習(xí)幾何概念首先要能正確地敘述相關(guān)的定義，此時要善于摳字眼、抓主干

1.要摳字眼，抓關(guān)鍵詞.例如，互補角、鄰補角的關(guān)鍵詞是“補”，補成一個平角（只要補成180°即可），而其中的“鄰”則又有了對位置上的要求.又如平角的關(guān)鍵詞是“角”，角是有頂點的.

再如平行的關(guān)鍵詞是“平”，平是指兩條直線在同一個平面內(nèi).

例1下列說法中，正確的是（）.

A.互補的兩個角若相等，則這兩個角都是直角

B.直線是平角

C.不相交的兩條直線互相平行

D.和為180°的兩個角是鄰補角

【正解】A.

2.句子的主干部分就是概念的要點，如“點到直線的距離”可以把句子劃分為：（①從直線外一點到這條直線的）（②垂線段的）長度叫作（③點到直線的）距離.句子的主干部分就是概念的要點，即“長度叫作距離”.再從長度與距離的定語可明確什么樣的（①、②）長度叫作什么樣的（③）距離.

例2判斷：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，把這條垂線段叫作這點到這條直線的距離.（）.

【正解】×.

二、學(xué)習(xí)幾何概念要能用字母和符號表示圖形的名稱、關(guān)系，反映出概念的本質(zhì)

例如，在碰到角平分線時，寫出OC是∠AOB的平分線的式子：∠AOC=∠BOC=而更容易理解和掌握.

例3下列說法中正確的是（）.

A.在∠ABC一邊的延長線上取一點D

B.延長直線a、b交于點C

C.反向延長∠AOB的平分線

D.已知線段AB=10 cm，在AB上取一點C，使AC=7 cm，CB=4 cm

【解析】∠ABC一邊本身就是射線，可向一方無限延伸，不需要延長.而D中的畫圖語句與兩線段的和不相符，不可操作.故選C.

另外，還要善于分類比較.把容易混淆的概念集中在一起研究，分清其區(qū)別和聯(lián)系，做到準(zhǔn)確地理解概念的實質(zhì).例如，在表示線段、射線、直線時，一般應(yīng)在字母的前面注明“線段”“射線”或“直線”.找線段時可找線段的兩個端點，找射線時應(yīng)找一個端點及延伸方向，而任意兩點確定一條直線.

例4圖1中共有_______條線段，_______條直線，能用字母表示的射線有_______條.

圖1

【解析】同一個圖形的符號表達形式可以不同，例如以點A、B為端點的線段可以表示為線段AB，也可以表示為線段BA，表示的是同一條線段，又如射線AB與射線AC算同一條射線，其他類同.正確填法是：3，1，4.

三、學(xué)習(xí)幾何概念一定要能正確地畫出反映概念的圖形，能畫出不同形式、不同位置的圖形

例5如圖2，已知△ABC，

圖2

（1）量取線段BC的中點D，并連結(jié)AD；

（2）過點A畫BC的垂線，垂足為E；

（3）過E畫AB的平行線交AC于點F；

（4）畫∠ABC的平分線，交AC于G.

【解析】“連結(jié)AD”是指畫線段AD；“垂線”在幾何概念中專指“垂直的直線”，而不是指垂線段或垂直的射線；其中的“角平分線”是專指射線，而不是其他線.這說明對概念的理解不能有任何的偏差.

例6判斷：若AC=BC，則點C是線段AB的中點.（）.

【解析】題中的點C可以在線段AB上，也可以在線段AB外，故此判斷為“×”.

例7平面內(nèi)有兩個角∠AOB=50°，∠AOC=20°，OA為兩角的公共邊，則∠BOC為（）.

A.30°B.70° C.30°或70°D.無法確定

【解析】根據(jù)題意可知要分兩種情況，一種是OC在∠AOB內(nèi)部，另一種是OC在∠AOB外部.畫出圖形并結(jié)合圖形計算可得∠BOC等于70°或30°，故選C.

四、學(xué)習(xí)幾何概念要能在復(fù)雜的圖形中正確地識別表示某個概念的那部分基本圖形，也能把幾個簡單的圖形組合成一個較復(fù)雜的圖形

例8如圖3，能表示點到直線（或線段）的距離的線段有（）.

A.2條B.3條C.4條D.5條

圖3

【解析】本題考查的是點到直線的距離的基本圖形，例如圖中有表示點C到線段AB距離的線段CA和點C到線段AD距離的線段CD，其他也可以這樣類似地去找基本圖形，本題答案：D.

五、學(xué)習(xí)幾何概念要能運用概念進行簡單的判斷、推理和計算，要在運用中強化和鞏固概念，進而形成概念系統(tǒng)化

例9在例8圖中∠C與∠DAB相等的理由是___________________.

【解析】在本章中，要學(xué)會用“因為……，所以……”的方式進行簡單推理，關(guān)鍵是弄清“因”與“果”的關(guān)系，逐步形成思維的邏輯性和條理性.例如，這兩個角沒有直接的關(guān)系，但都與∠B互余，因此填的理由應(yīng)為：同角的余角相等.

例10如圖4，已知直線AB與CD相交于點O，OE、OF分別是∠BOD、∠AOD的平分線.

（1）∠DOE的補角有______________；

（2）若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度數(shù)；

（3）判斷射線OE與OF之間有怎樣的位置關(guān)系？并說明理由.

圖4

【解析】本題考查余角與補角、角平分線的定義、角度的計算，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，找出圖中各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.填（1）中的空（求補角而不是求鄰補角），必須概念清晰，才能有條理思考問題，而對于（2）、（3）則要掌握用符號來進行有條理的推理的格式.

答案：（1）∠COE，∠AOE；（2）∠AOE= 149°，∠DOF=59°；（3）互相垂直.

一位清華大學(xué)學(xué)生在學(xué)習(xí)經(jīng)驗交流中就提及數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是從概念的學(xué)習(xí)開始的，要更好地了解和掌握概念有一個辦法就是適量做一些與概念有關(guān)的判斷題和選擇、填空題，這會從各個不同的角度來辨析它.要學(xué)好幾何就讓我們從正確理解幾何概念開始吧.

（作者單位：江蘇省吳江區(qū)實驗初級中學(xué)）