三尖擺線泵設計中以圓弧代替擺線的可行性及誤差研究

鄭秀華

摘 要：在三尖擺線泵的設計中，由于擺線屬于異形曲線，計算不便。因此文章提出了用圓弧來代替擺線進行設計計算的方法，且通過幾何計算和Auto CAD軟件對其準確性進行了證明。在證明過程中根據圓弧推導出了型腔最大面積的計算公式。

關鍵詞：三尖擺線泵 圓弧 型腔最大面積

中圖分類號：THl37.51 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）07（c）-0028-03

Abstract：In the design of Tritubercular Cycloid Pump， because cycloid was abnormal curve， the calculation became inconvenient. So this paper presented the calculation method of insteading cycloid with circular， its veracity was proved with geometry calculation and the software of Auto CAD. In the course of proving， according to circular arc the formula of cavitys maximal area was deduced.

Key Words：Trtubercular cycloid pump； Circular arc； Cavitys maximal area

目前國內外對三尖擺線泵的研究，正在不斷深入。型腔最大面積是三尖擺線泵排量計算中的關鍵參數，對此雖然也有了一些研究，但還存在著問題。如計算復雜，其結果不便于應用等。基于這一原因，文中對三尖擺線的近似展開了研究。

1 三尖擺線簡介

1.1 擺線的形成及三尖擺線的方程

當動圓與定圓相切，動圓在定圓上做純滾動時，動圓上一點走出的軌跡稱為擺線[1]。根據動圓上的點到動圓中心的距離小于、等于或大于其半徑，擺線分為短幅、等幅或長幅擺線。人們常稱定圓與動圓的半徑之比為整數k的等幅擺線為k尖擺線。

1.2 三尖擺線的性質

（1）定圓與動圓半徑之比為3與其比為3/2時的三尖擺線的形狀大小完全相同。

（2）三尖擺線尖點處兩段曲線相切。

（3）當定動圓半徑之比為時，動圓直徑始終與擺線的某段相切。

（4）當定動圓半徑之比為時，動圓直徑的端點始終在擺線上。

（5）三尖擺線上動徑除在三尖點外，把三尖擺線型腔分為3部分，且隨動徑的轉動3部分的面積由零到最大值之間變化。

1.3 三尖擺線的包絡及三尖擺線泵的原理

如圖2所示，動徑經圓包絡后作為轉子，三尖擺線經圓包絡后形成的型腔作為定子，做平面運動的葉片（轉子）把定子的型腔分為3部分，假設轉子逆時針公轉順時針自轉，即從圖2（a）所示的情形向圖2（b）的情形變化，隨著轉子的轉動，三腔從零到最大值之間變化，如果應用為油泵，隨著轉子的轉動，三腔實現交替吸、排油，且無殘留面積。

2 擺線的近似

2.1 擺線的近似

在Auto CAD中實驗發現，過擺線一支上任意3點所做的圓弧與擺線基本重合，圖3是過P、A、R3點所做的圓弧。那么在設計計算中，設想是否可以用該段圓弧來代替擺線。隨即對這一圓弧進行了研究。

2.2 求解近似圓

設中心距為a=r，由于3段擺線完全相同，所以這里只計算擺線PR段。通過已知條件，可得P，A，R3點的坐標為，A （-r，0），。根據這3點的坐標求出該圓弧所在圓的圓心為（-8r，0），可得該圓方程為，則近似圓半徑R=7r=7a，即是中心距的7倍。

2.3 型腔最大面積近似計算公式

根據近似圓弧推導出未包絡擺線圖形面積、未包絡型腔最大面積、包絡后圖形面積，進而得到包絡后型腔最大面積，即三尖擺線泵型腔最大面積。

（1）未包絡擺線圖形的面積。

3 證明近似的準確性

3.1 從面積上證明近似圓弧的準確性

Auto CAD中無法直接畫出擺線，通過二次開發得到擺線的標準模型[2]，因此由CAD中擺線得出的結果真實可靠。從面積上對近似性進行證明主要是通過對比由公式（5）、（6）、（7）、（8）算出的面積與CAD中測出的標準面積，算出其相對誤差，得到結論。表1是所選取的擺線的原始數據，表中數據均以毫米（mm）為單位。

第1、2、3組數可產生的擺線1、2、3，在CAD里測出它們的各項面積——未包絡擺線圖形面積S1，未包絡型腔最大面積S2，包絡后圖形面積S及型腔最大面積Smax。然后根據公式（5）、（6）、（7）、（8）可分別計算出擺線1、2、3所對應的面積。如表2、3、4所示。

表中誤差為相對誤差。根據表2、3、4將S1、S2、S及Smax的誤差分別繪制成折線圖來分析，如圖6所示。通過誤差圖可發現，各組誤差變化都很平緩，且均在0.007范圍之內。

3.2 誤差補償

因為z2與B都是常數，所以排量只受Smax影響，Smax誤差在0.007范圍之內，為了保險起見，將誤差值擴大搭到0.010，則真實排量為，且最后可在泵容積效率上減去此誤差值，即，以補償近似計算誤差。

4 結語

綜上所述，在三尖擺線泵的設計計算中，可用半徑為擺線中心距7倍的圓弧來代替擺線。經證明圓弧的近似程度高，誤差很小，且誤差可以補償掉。由圓弧推導出的公式（5）、（6）、（7）、（8），只與中心距與包絡圓直徑有關，公式簡潔易用，在三尖擺線的應用中可以使用。

參考文獻

[1] 白海清.三尖擺線的形成及應用[J].機械，2002，29（S1）： 73-74.

[2] 劉林.AUTOCAD 2004高級應用教程[M].2版.華南理工大學出版社，2006.