有限頻域分析與設計的廣義KYP引理方法綜述

李賢偉 高會軍

有限頻域分析與設計的廣義KYP引理方法綜述

李賢偉1高會軍2

頻域方法是控制理論與工程領域的一種基本研究手段,許多控制問題都可歸結為有限頻域性能指標的分析與綜合問題.廣義Kalman-Yakubovich-Popov(KYP)引理建立了頻域方法(傳遞函數)與時域方法(狀態空間)之間的一座橋梁,成為近年來系統與控制理論領域的研究熱點之一.本文首先從信號和系統兩個角度闡明有限頻域分析與設計的背景和意義,并依次討論三種主要研究方法(經典控制理論方法、頻率加權法和廣義性能指標法)各自的優缺點.然后簡單介紹廣義KYP引理的主體內容,并詳細總結當前基于廣義KYP引理的有限頻域分析與設計的主要方向及研究進展.最后給出在使用廣義KYP引理時很重要但容易忽視的幾點注記,同時指明該領域目前存在并值得未來進一步研究的關鍵問題.

有限頻域,廣義Kalman-Yakubovich-Popov(KYP)引理,控制器設計,濾波,模型降階

控制系統設計的目的是尋找合適的控制器,使閉環系統滿足某些給定的性能指標(穩定性、魯棒性、噪聲抑制度等).從頻域角度講,滿足這些性能指標實際上就是要求整個閉環系統具有適當的頻域響應特性(極點分布、幅頻特性等).對于實際控制問題,考慮到被控對象自身的特點和輸入信號的頻譜特性,通常要求控制系統在不同頻率范圍滿足不同的性能指標.因此,控制工程中的許多問題都可以歸結為有限頻域性能指標的分析和綜合問題.

信號角度. 白噪聲的功率譜在所有頻率處均具有相同大小的幅值.然而許多實際信號,無論是外界擾動[1?3]還是參考跟蹤信號[4?5],其能量往往只集中在某一或者某些有限的頻率范圍,因此不能被簡單地建模成白噪聲.比如文獻[2]通過分析一些典型地震災難中的地震波記錄信號,發現地震波的絕大部分能量均集中在0.3～8Hz的頻率范圍.此外,由于被控對象動力學(如機械轉動[1,3,6])和控制律(如重復學習類控制律[4,7?8])存在往復運動的因素,周期信號也是工程中經常要處理的一類特殊信號.除基波外,周期信號的頻譜還包含許多具有較大能量的高次諧波,容易引起系統諧振.例如,在機械硬盤驅動器中,由于硬盤的高速轉動產生了周期振動信號并引起空氣震蕩,其高次諧波直接導致磁頭定位誤差信號在8kHz和10kHz處分別出現了異常的孤立高頻諧振分量[1].因此,在進行控制器優化時,如果忽略了信號本身的有限頻域特性,得到的設計結果盡管能適應更寬工作頻率范圍的信號輸入,卻未能充分利用信號的頻域信息實現更好的控制性能.相反,如果錯誤地估計了信號各頻率成分對系統的影響,將很難發現限制控制系統性能提升的原因.

系統角度. 任何實際控制系統都有無法突破的性能極限:系統不確定性、執行器的有限輸出能力、被控對象的有限響應帶寬等.由于這些約束的存在,控制系統的設計實際上是尋求不同設計目標之間的合理折衷,頻域內就是要求控制系統在不同的頻率范圍滿足不同的性能指標.經典控制理論中的“回路成形”[9]技術就是基于這種折衷考慮:由于被控對象往往具有低通特性,低頻范圍的高回路增益使系統有較強的抵抗常值和低頻干擾的能力,而高頻范圍需要較低的回路增益以降低建模誤差帶來的影響.有時,如果能夠了解到被控對象本身某些特有的頻域表征并加以利用,就有可能在不明顯犧牲其他性能的情況下顯著地改進控制效果.例如,考慮到人體對外力最敏感的頻率范圍是4～8Hz,在對有人參與的隔離臺、汽車懸架之類的對象進行控制時,有必要針對人的頻率響應特性設計減震控制器,以降低振動對人的傷害[10?11].又如,利用某些被控對象的有限頻域正實性,可以放寬閉環系統在某些頻率范圍的響應要求,而將這部分預留的設計自由度用于改進系統的某些關鍵性能[12?16].

總之,實際工程中的被控對象(系統)及其工作環境(信號)往往具有明顯的有限頻域特性,而控制問題常常又歸結為與這些有限頻域特性相對應的若干有限頻域性能指標的折衷優化問題.因此,根據這些有限頻域特性進行系統分析和設計是必要的,研究控制系統的有限頻域分析和綜合方法具有極其重要的工程意義.隨著現代社會對控制系統的性能要求越來越高,如何充分利用各種有限頻域性質以提高控制系統性能的研究課題就顯得尤為重要.

本文首先回顧系統和控制理論中有限頻域分析與設計的三種主要研究方法(第1節);接著簡要介紹廣義KYP(Kalman-Yakubovich-Popov)引理(第2節)并詳細總結基于廣義KYP引理的有限頻域分析與設計的研究現狀(第3節);最后給出關于廣義KYP引理的一些注記(第4節);并指出值得進一步研究的關鍵問題(第5節).

1 有限頻域分析與設計的主要研究方法

對控制理論、系統理論和信號處理等工程科學領域的研究人員而言,有限頻域分析和綜合問題研究并不是新的主題.從控制理論誕生以來,人們便認識到控制系統的有限頻域特性在工程實踐中的重要性.從以傳遞函數為基礎的經典控制論到以狀態空間為基礎的現代控制理論和以H∞控制為代表的“后現代控制理論”,從頻域角度對系統進行分析和設計一直是一種基本的手段.在控制理論領域,有限頻域分析與設計問題的典型研究方法包括:

1)經典控制理論方法;

2)頻率加權法(間接法);

3)廣義性能指標法(直接法).

下面我們將對上述方法的一般特點進行討論.需要指出的是,上述分類方法并不嚴格,各類方法之間并不完全獨立.同時,限于作者的知識水平,上述分類方法并不能涵蓋針對類似問題的所有研究結果.比如在目標頻率響應已知情況下基于曲線擬合的頻率采樣方法[17?18]、基于非光滑優化技術的控制系統有限頻域性能指標的直接綜合方法[19?20]等.

1.1 經典控制理論方法

經典控制理論以傳遞函數為基礎,具有明顯的頻域意義.經典控制理論中的控制器設計方法主要包括PID(Proportion integration differentiation)控制方法、根軌跡法、基于開環頻率特性的校正法等[21].基于經典控制理論的控制設計方法的核心目標是通過引入附加的零極點(即控制器),使反饋控制系統達到期望的頻率響應特性.比如,PID控制器的微分環節能夠增加系統的阻尼系數,從而消除狀態振蕩或加快狀態收斂速度,而積分環節能記憶過去的狀態從而有助于消除系統的穩態誤差.盡管經典控制理論中的設計方法都有各自的設計步驟,但是“回路成形”技術依然具有指導作用.

經典控制理論應用于解決有限頻域分析和綜合問題時具有以下三個方面的局限性:1)經典控制理論以單輸入單輸出的線性定常系統為主要研究對象,很多結果難以直接推廣到多輸入多輸出、時變等復雜情形;2)經典控制理論的設計過程過多地依賴以工程經驗為基礎的圖解法和試湊法,難以處理高階被控對象和/或高階控制器;3)經典控制理論考慮的性能指標以時域的瞬態性能和穩態性能為主,控制器的設計過程未能優化有限頻域性能指標.

1.2 頻率加權法(間接法)

20世紀60年代發展起來的現代控制理論以狀態空間法[22]為主要研究方法,克服了經典控制理論在處理多輸入多輸出對象時的不足.現代控制理論的分支之一,即最優控制理論[23],便是以研究如何使系統在各種指標約束下達到最優為主題.最優控制理論所針對的原始頻域性能指標都定義在全頻域內.為了能夠利用最優控制理論對有限頻域性能指標進行優化,常見的手段是引入頻率加權函數,基本方法是選擇合適的加權函數,將最優控制理論應用于加權后的復合系統并優化相應的全頻域性能指標.該方法本質上是將針對原系統有限頻域性能指標的優化問題轉變為針對復合系統全頻域性能指標的優化問題,從而間接地達到改進有限頻域性能指標的目的.H2混合靈敏度問題和H∞混合靈敏度問題便是典型的基于頻率加權函數的最優控制問題[9].其他大量運用頻率加權函數輔助有限頻域性能指標優化的課題包括模型降階[24?32]與控制器降階[33?34].頻率加權函數法的優勢在于可以直接應用現成的現代控制理論解決有限頻域控制問題;同時,加權函數的選擇還能反映出多維信號各分量的重要性以及實現不同類型信號的量級尺度可比性[9].

頻率加權函數法也有較大的局限性:1)頻率加權函數法歸根結底是一種間接處理有限頻域性能指標的方法,盡管能夠在一定程度上改進控制系統的有限頻域性能,但未能提供關于系統有限頻域性能的定量信息;2)有限階的頻率加權函數不可能具有理想的有限頻域特性,即通帶內的單位增益和阻帶內的零增益,因此不能保證有限頻域性能指標的最優性;3)加權函數的引入增加了實際被控對象(即復合系統)階次,不利于系統分析和綜合,特別是降階控制器/濾波器的設計;4)加權函數的選取主要依靠研究人員的工程經驗,缺乏系統嚴格的指導理論,選取過程中往往需要經過多次嘗試,非常耗時.

1.3 廣義性能指標法(直接法)

鑒于頻率加權函數法是一種間接的設計方法,解決有限頻域控制問題的根本之道在于找到處理有限頻域性能指標的直接方法.具體而言,如果現有成熟的控制理論比如現代控制理論是針對全頻域性能指標的理論體系,那么能否直接建立與有限頻域性能指標相對應的控制系統研究理論呢?基于這種考慮,目前的研究成果主要有以下兩種方法:

有限頻Gramian矩陣法.Gramian矩陣在線性系統理論中具有十分重要的地位[22].對于穩定的線性系統G(s)=C(sI?A)?1B+D,可控性Gramian矩陣和可觀性Gramian矩陣在頻域內的標準定義為[9]

利用Gramian矩陣,可以分析系統的可控性、可觀性、H2性能等.為了使Gramian矩陣適合于處理有限頻域性能指標,文獻[35]將上述定義擴展為

就目前已有的研究成果而言,有限頻Gramian矩陣法仍然缺少系統的理論支撐.相關的基本問題包括:1)與標準Gramian矩陣關聯的系統性能是H2性能[9]和能量–峰值增益[36?37](通常稱為廣義H2性能,注意此“廣義”并不是指有限頻域情形).這兩種性能指標在有限頻域內的物理意義尚不明確,有限頻Gramian矩陣與它們的關系也不清楚.特別地,如果積分區間非常窄,有限頻Gramian矩陣將非常小甚至為零(積分區間只含有單個頻率),此時的H2性能該如何定義、計算和解釋?2)現有的大多數相關研究成果只停留在與Gramian矩陣聯系緊密的平衡截斷模型降階[35,38?40],而且基本沒有考慮有限頻域性能指標的優化.綜上所述,有限頻Gramian矩陣法的理論基礎還有待深入研究.由于本文焦點和興趣并不在此,所以將不會就此展開進一步討論.感興趣的讀者可參考文獻[41]等.

廣義KYP引理法.另一種處理有限頻域分析與設計問題的直接方法是廣義KYP引理法.廣義KYP引理即廣義Kalman-Yakubovich-Popov引理是Iwasaki等在經典的KYP引理基礎上建立的分析線性系統有限頻域性能指標的新理論.廣義KYP引理的初步理論成果發表于2000年左右[42],經過Iwasaki等的發展,完善的基礎理論成果于2005年在IEEE Transactions on Automatic Control以Regular paper發表[43].20世紀60年代建立的KYP引理是控制理論和系統理論里一個非常重要的結果[44],它成功從系統的角度建立起頻域條件(頻域性能指標)和時域條件(線性矩陣不等式)的等價關系.但是標準的KYP引理考察的是系統在全頻域內的整體性能,無法處理系統在某個頻率處或某個頻段內的性能.廣義KYP引理則從根本上克服了標準KYP引理的這個缺點,使人們能夠直接利用等價的線性矩陣不等式條件分析系統的一大類有限頻域性能.

廣義KYP引理是近年來在線性系統理論和魯棒控制理論領域所取得的突破性研究成果之一.與前面的有限頻Gramian矩陣方法相比,廣義KYP引理的優勢體現在:1)基本的廣義KYP引理在有限頻域性能分析方面的結果非常完善,是標準KYP引理在有限頻域內的完美推廣;2)廣義KYP引理得到的線性矩陣不等式條件中直接包含了有限頻域性能指標的參數,使得人們在研究相關的系統分析和綜合問題時,對有限頻域性能指標進行優化成為可能;3)廣義KYP引理針對的性能指標具有非常明確的頻域意義,使得無論是控制理論的研究人員還是工程實踐人員容易理解并接受相關理論.下面將簡要介紹該引理,并詳細回顧其研究現狀.

2 廣義KYP引理

本節對廣義KYP引理的核心內容作適當介紹,包括有限頻域的描述方法、廣義KYP引理及其意義.詳細內容請參考文獻[42?43,45].

用符號?表示所考察的有限頻域,定義為

其中和Ψ∈H2為給定矩陣1符號Hn表示所有維數為n×n的Hermite矩陣的集合.,Ψ滿足det(Ψ)＜0.矩陣Φ決定了復數集合Λ刻畫的是連續系統還是離散系統的頻域變量.合適地選擇矩陣Φ和Ψ,集合Λ給出了有限頻域?的一種復頻域描述.根據文獻[43,45],集合Λ和?的對應關系以及矩陣Φ和Ψ的取值見表1,表中ωc=(ω1+ω2)/2,ωr=(ω2?ω1)/2.

表1 集合?與Λ以及矩陣Φ和Ψ的取值Table 1 The values of sets ? and Λ and matrices Φ and Ψ

廣義KYP引理.給定矩陣Θ∈Hn1+n2,F∈C2n1×(n1+n2)以及Φ,Ψ∈H2使得由式(2)定義的集合Λ表示復平面上的曲線.定義

則下面兩種陳述等價:

1)(ΓλF)⊥?Θ(ΓλF)⊥＜0,?λ∈Λ(Φ,Ψ);

2)存在矩陣P,Q∈Hn1,使得Q＞0以及

進一步,如果滿足秩條件rank{ΓλF}=n1,那么下面兩種陳述等價:

1)(ΓλF)⊥?Θ(ΓλF)⊥≤0,?λ∈Λ(Φ,Ψ);

2)存在矩陣P,Q∈Hn1,使得Q≥0以及

上述引理是一般形式下的廣義KYP引理,陳述的僅僅是兩個數學條件的等價關系,常值矩陣F和Θ還沒有賦予系統理論上的意義.為了直觀地與控制系統的有限頻域性能聯系起來,考慮線性定常系統G(λ)=(λI?A)?1B.由于

利用廣義KYP引理,假設系統G(λ)穩定,可以得到如下的等價關系:

1)下面的指標成立:

該條件表示系統G(λ)在有限頻域Λ內的最大奇異值不超過γ(本文稱之為廣義H∞指標,參見第3.3節).即使當集合Λ(Φ,Ψ)表示非常窄的頻帶,條件(5)依然能被很好地定義.特別地,如果Ψ=0,集合Λ(Φ,Ψ)=Λ(Φ,0)描述的就是全頻域.此時,上述等價關系自然地簡化為標準KYP引理[44].

判斷頻域不等式條件(5)成立與否需要對有限頻域集合Λ(Φ,Ψ)內的所有元素進行驗證,這在實際應用中是不可能實現的.不過,由于等價關系中的第二個條件是一個線性矩陣不等式,所以借助廣義KYP引理,驗證第一個條件所面臨的無限維問題就簡化為尋找滿足線性矩陣不等式的矩陣P,Q的有限維問題,而且這種問題的轉化是無損的.因此,廣義KYP引理不僅保持了標準KYP引理形式上的優美,同時保持了有限頻域性能分析問題與線性矩陣不等式可行解存在性問題之間的等價性.相比于標準KYP引理,廣義KYP引理可以直接處理有限頻域性能指標,為控制理論的精細化和實用化提供了堅實的理論基礎.

另一方面,廣義KYP引理的提出也進一步肯定了線性矩陣不等式技術在推動系統和控制理論發展過程中所起的作用.過去20年,在有效地求解凸優化問題的內點算法提出之后[46],線性矩陣不等式技術在控制和系統領域得到了廣泛的應用并取得了前所未有的成功[47?49].借助線性矩陣不等式技術,系統和控制中很多之前難以求解的復雜問題(特別是魯棒控制問題和多目標控制問題)都可以轉化為一個線性矩陣不等式(組)約束下的凸優化問題,從而利用成熟的數值算法進行求解.在實現控制問題向凸優化問題轉化的過程中,KYP引理和廣義KYP引理發揮了非常重要的作用.近年來,各種有效求解半定規劃問題(線性矩陣不等式只是一種特殊的半定規劃問題)的計算機程序和軟件包更是層出不窮[50?51],直接促進了線性矩陣不等式技術在控制工程中的應用,使這項技術也被越來越多的工程技術人員所接納.值得指出的是,作為廣義KYP引理的主要提出者,Iwasaki教授也是推動線性矩陣不等式技術在系統和控制理論中應用的主要學者之一,在應用線性矩陣不等式技術解決魯棒性能分析、控制器設計等問題上做出了許多重要的基礎研究工作[52].廣義KYP引理的提出賦予了線性矩陣不等式在控制和系統中新的生命力,使這項數學工具在今后依然是控制理論和系統理論研究的主流方法之一.

3 廣義KYP引理的研究進展

鑒于經典控制理論和有限頻Gramian矩陣法的局限性,廣義KYP引理在解決系統有限頻域性能分析和綜合問題方面的優勢和易用性很快便突現出來.由于成功統一了標準KYP引理,廣義KYP引理在控制和系統理論中的基礎地位很快就得到了認可,越來越多的學者開始加入到廣義KYP引理及相關控制理論的研究中,并積極地嘗試將獲得的新結果應用于解決工程實際問題,取得了一系列有價值的研究成果,逐漸形成了控制理論中有限頻域分析與設計問題一個新的研究方向.在完整的廣義KYP引理[42?43,45,53]建立起之后,Iwasaki等繼續在廣義KYP引理基礎上進行相關控制理論的研究[54?56],推動廣義KYP引理在系統和控制中的應用[15,57?58].目前,在基于廣義KYP引理的有限頻域分析與設計的新方向上,主要的研究成果包括以下幾個方面.

3.1 保證有限頻域輸入輸出性能的反饋控制

基本問題描述為:設計反饋控制器使閉環系統的某個或某些輸入輸出性能指標在有限頻域內滿足指定的要求.針對KYP引理,具體的控制問題包括有限頻域H∞控制、有限頻域正實控制等.這類問題是一些標準的保證輸入輸出性能的反饋控制問題向有限頻域的拓展.與一般的鎮定問題或保性能控制問題相比,具有有限頻域指標要求的反饋控制問題難度更大,因為在導出的矩陣不等式條件中,控制器增益矩陣與其他未知變量之間存在更強的耦合關系,導致一些常見的算法如錐補線性化[59]失效.

Iwasaki等在提出了廣義KYP引理之后進一步研究了一般有限頻域指標下的靜態輸出反饋控制問題[54]和動態輸出反饋控制問題[55],借助Finsler引理和變量替換,獲得了一些特殊情形下保證控制器存在的線性矩陣不等式條件.在應用廣義KYP引理解決系統綜合問題方面,他們的方法也成為尋找系統綜合結果的統一思路,后來亦被其他大部分研究人員所遵循.遺憾的是,盡管他們給出了滿足給定有限頻域指標的控制器存在條件,但是針對一般輸出反饋控制器特別是靜態輸出反饋控制器的設計問題,這些條件并不是線性矩陣不等式,而他們并未提供有效的求解方法.鑒于此,Li等通過矩陣分離技術引入松弛矩陣,獲得了新的控制器存在充要條件,并在此基礎上根據“兩步法”的思想提出了新穎的啟發式迭代求解算法[60].他們還在理論上揭示了一些已有的同類靜態輸出反饋器設計結果[61?63]之間的聯系.此外,他們還研究了具有多面體不確定性的魯棒有限頻域控制問題[64?65]和二維FM(Fornasini-Marchesini)狀態空間模型的有限頻域正實控制問題[66?67].受文獻[60]啟發,Hao等分別研究了具有控制器結構約束的有限頻域控制問題和時滯系統的有限頻域輸出反饋控制問題[68?69].在Iwasaki等取得的控制器設計結果基礎上,Zhang等考察了混合頻域小增益要求下線性連續系統的動態輸出反饋控制問題[70];梅平等基于廣義KYP引理研究了奇異攝動系統的分頻控制設計問題[71];董全超研究了時滯系統的基于觀測器的有限頻域狀態反饋容錯控制問題[72].關于廣義KYP引理框架下有限頻域控制方法的應用,請參考第3.7節的文獻回顧.

3.2 回路成形理論的精確量化

如前所述,回路成形理論是控制器設計的一種準則.按回路成形的思想進行控制器設計的問題是典型的有限頻域問題[43].在經典控制理論中,當使用PID控制等控制方法對系統回路進行“整形”時,由于缺乏精確易用的理論工具,往往采用作圖或者試湊法,但是其設計結果很難保證有限頻域指標的最優化.借助廣義KYP引理,Iwasaki等將“整形”所需要的有限頻域指標轉化為線性矩陣不等式形式的凸約束,使性能指標和PID控制器的參數成為凸優化問題的決策變量,實現了控制系統設計的最優化[43,57].而且他們指出,如果得到的線性矩陣不等式條件無解,那么將不存在滿足相應性能要求的PID控制器.該結論對檢驗系統指標要求的合理性是有益的.在取得的回路成形理論結果基礎上,他們還開發了相應的基于Matlab的計算機輔助控制設計軟件[58].受Iwasaki等提出的PID控制器設計方法啟發,Li等研究了多面體不確定系統的“回路成形”問題,并獲得了參數依賴魯棒PID控制器設計方法[73];Lim等則研究了單輸入單輸出系統的“閉環敏感函數成形”問題[3,74],并將提出的設計方法應用于光盤驅動器的磁道跟蹤控制器設計,取得了良好的控制效果[3];Ishizaki等采用回路成形技術研究了電磁鑄模機的控制問題,結合廣義KYP引理給出了PI控制器的凸優化設計方法[75].

3.3 廣義H∞濾波

估計問題是系統和控制理論中一類非常重要的問題.狀態估計的目的是利用可以測量的系統輸出信號對不可測量但是有用的信號進行估計.考慮連續系統,假設從噪聲到估計誤差的系統模型為G(s),其標準H∞性能和廣義H∞性能分別定義為

其中,σ[·]表示矩陣奇異值,?為如式(1)所示的頻率集合.傳統H∞濾波理論以標準H∞性能作為濾波器性能的評價標準,未能利用噪聲可能具有的有限頻域特性.廣義H∞濾波(或有限頻域H∞濾波)對濾波誤差系統的廣義H∞性能進行優化,針對特定頻率范圍的噪聲,實現更好的濾波性能.作為標準H∞濾波向有限頻域的擴展,廣義H∞濾波問題也成為有限頻域分析和設計研究中的一個熱點課題.

Wang和Yang基于廣義KYP引理研究了離散線性定常系統的H∞濾波問題,獲得了線性矩陣不等式形式的濾波器設計方法[76].Zhang等研究了具有狀態時滯的離散系統的廣義H∞濾波問題,獲得了時滯相關的濾波器設計方法[77].Gao等結合廣義KYP引理和時滯分割思想,不僅分別針對連續時滯系統和離散時滯系統提出了具有更低保守性的廣義H∞濾波器設計方法[77?79],還分別從時域角度和頻域角度給出了時滯相關條件的推導方法[79?81],為在廣義KYP引理框架下處理復雜系統的有限頻域性能提供了一種有效的研究思路.應用二維廣義KYP引理,他們還分別得到了Roesser模型和FM 模型下二維系統的魯棒廣義H∞濾波器的參數依賴設計方法[82?84].特別地,即便針對標準H∞濾波問題,文獻[82]的設計方法依然具有較低保守性.上述結果僅僅考慮了全階濾波器的設計問題.最近,受到有限頻域控制器設計的“兩步法”啟發, Li等研究了離散線性定常系統的降階廣義H∞濾波問題,提出了一種新穎的降階濾波器迭代設計方法,并將結果應用于信道均衡問題[85].此外,基于廣義KYP引理,人們還研究了離散切換系統[86]、T-S (Takogi-Sugeno)模糊非線性系統[87]、LPV(Linear parameter-varying)系統[88]等多種系統模型下的廣義H∞濾波問題.

3.4 廣義H∞模型近似

基于頻率加權函數和有限頻Gramian矩陣的模型降階問題是一類典型的有限頻域綜合問題.廣義KYP引理的提出為解決這類問題提供了新的工具.考慮連續系統,令G(s)和Gr(s)分別表示原系統模型及其近似系統模型,廣義H∞模型近似的目標是使誤差系統的廣義H∞指標上界γ盡可能小:

特別地,當頻率集合?包含所有頻率時,廣義H∞模型近似問題即退化為標準H∞模型近似問題[89].需要注意的是,這里的模型近似問題并不特指模型降階問題—后者只是前者在近似模型階次小于原始模型階次時的特殊情況.這一點請具體參考第4節關于廣義KYP引理的一些注記.

借助廣義KYP引理,Du等研究了線性系統的有限頻域模型降階問題[90?91]和線性狀態時滯系統的有限頻域模型降階問題[92?93].針對原系統是由離散傳遞函數給出的單輸入單輸出模型,文獻[94–95]借助廣義KYP引理導出了矩陣不等式形式的近似模型系數參數化條件,并應用上界約束技術進行線性化處理,進而提出一種計算近似模型的迭代算法.相比直接使用狀態空間模型所得到的結果,針對傳遞函數得到的條件能極大地減少變量數量,有利于構建更高效的求解算法.此模型近似方法在文獻[95]中被進一步用于求解無限脈沖響應(Infinite impulse response,IIR)數字濾波器的設計問題,所得結果較一些最新的數字濾波器設計方法也具有一定優勢.利用廣義KYP引理,文獻[96–97]分別研究了降階模型具有無源性和降階模型為正系統的廣義H∞模型降階問題,給出了一種能夠減小感興趣頻率范圍內逼近誤差的迭代優化算法,計算結果明顯優于文獻[90]的方法.此外,借助二維廣義KYP引理[67,98],Li等構建了二維系統廣義H∞模型近似問題的線性矩陣不等式求解方法[99].該方法與基于有限頻Gramian矩陣的平衡截斷方法[39]相比,能更有效地增強給定有限頻率范圍內的逼近效果.其他相關研究結果見文獻[100?101]等.

3.5 基于廣義KYP引理的故障檢測

故障信號和噪聲擾動往往具有不同的頻率特性,比如常值故障可以看作低頻信號,而噪聲則可能是周期擾動信號.因此,就需要故障檢測機制能夠適應并利用故障信號和噪聲擾動各自的頻譜特點,以正確、快速地識別故障發生的情況并提高對噪聲擾動的魯棒性.利用廣義KYP引理,Wang等研究了線性系統的故障觀測器和故障估計器設計問題,提高了殘差信號對有限頻域擾動的魯棒性以及故障信號的敏感度[102?104],而且他們還應用廣義KYP引理研究了故障檢測器與控制器的集成設計問題[105?106];Yang等分別研究了T-S模糊系統的故障觀測器設計問題[107]和線性系統的有限頻域故障觀測器在δ域的設計問題[108];Zhang等借助廣義KYP引理給出了單一頻率故障信號檢測問題的最優狀態空間解[109];Long等則研究了網絡環境下有限頻域故障的檢測和隔離問題[110?111];Zhang等考慮了殘差系統滿足給定極點分布和廣義H∞擾動抑制水平的故障估計問題[112?114].

3.6 廣義KYP引理的推廣

在廣義KYP引理提出之后,許多學者亦分別從引理的適用模型、引理的變形和引理的時域解釋三方面對其進行推廣.在模型范圍方面,文獻[98]和[67]分別導出了Roesser模型和FM模型下的二維廣義KYP引理,將原始的一維廣義KYP引理推廣到了二維系統.雖然得到的二維廣義KYP引理的線性矩陣不等式條件僅僅是充分的,但是很好地保持了一維版本簡潔的形式及其易用性,對研究二維系統的有限頻域性能分析和綜合問題具有重要的價值.借助二維廣義KYP引理,Li等進一步研究了二維系統的廣義正實控制[67]、廣義H∞濾波[82,84]和廣義H∞模型降階[99]等有限頻域分析與設計問題.文獻[115]推導了線性時間–空間模型的二維廣義KYP引理,能夠處理空間維度的非因果性.文獻[79–80]得到了具有狀態常時滯的線性時滯系統的廣義有界實引理(有界實引理即Bounded real lemma是KYP引理針對H∞性能的特定形式).該引理能夠處理時滯系統的廣義H∞性能,并結合了時滯分割思想以降低保守性,被進一步用于求解時滯系統的廣義H∞濾波問題[79?80]和主動懸架系統具有時滯輸入的控制器設計問題[116].

在引理的變形方面,Xiong等討論了有限頻域負虛性質與有限頻域正實性質之間的關系,并給出了分析有限頻域負虛性質的充要條件[117].針對單輸入單輸出線性定常系統,Hoang等得到了一種特殊形式的廣義KYP引理[118?119].由于新結果不包含Lyapuanov矩陣,所以特別適合于高階系統的分析和綜合.針對具有實狀態空間矩陣的系統, Pipeleers等研究了廣義KYP引理的簡化問題,得到了限定Lyapuanov為實對稱矩陣不會帶來保守性的結論[120].Pipeleers等進一步將廣義KYP引理推廣到多頻率區間的情形[121].注意式(5)中的矩陣Θ不含任何頻率信息,Graham等修訂了連續系統的廣義KYP引理[122?123].新形式下的廣義KYP引理允許Θ仿射依賴于頻率變量,對于某些特殊的問題很有益.Tanaka等從KYP引理的對稱性角度重新考察了S-procedure的無損性,給出了一種基于Mutual losslessness概念的系統適定性分析方法,為認識和理解多類系統的KYP引理結果提供了一種新的統一工具[124].

廣義KYP引理的時域意義也受到了人們的關注.針對廣義KYP引理中的頻域不等式,Iwasaki等從信號角度出發推導出了等價的時域不等式條件,為從時域角度研究系統的有限頻域性能提供了一種可能[125].特別地,他們得到式(5)在低頻情形的等價時域關系為下述不等式

3.7 廣義KYP引理的應用

保證有限頻域輸入輸出性能的反饋控制方法最重要和最直接的應用領域就是振動抑制.這種控制器設計方法對于具有有限帶寬的擾動和振動的抑制效果尤為突出.根據地震產生的破壞力主要集中在0.3～8Hz頻帶內的事實,Chen等將廣義KYP引理應用于建筑物的振動控制,直接優化狀態反饋控制器使閉環系統在0.3～8Hz頻率范圍的廣義H∞擾動抑制水平盡可能小,從而獲得了能夠更好抑制建筑物震動的控制器[2].在為懸架系統和座椅系統設計主動控制器時,針對人體敏感頻率為4～8Hz的事實,Sun等將減小擾動對平臺加速度輸出影響的目標轉化為廣義H∞性能約束,利用廣義KYP引理有效地提升了控制器對該段頻率擾動的隔離能力,獲得不錯的控制效果[10,116,129].Du等觀察到機械磁盤磁頭定位誤差信號在8kHz和10kHz周圍具有非常強烈的窄帶頻率成分.根據這一事實,他們利用廣義KYP引理對這兩個頻率帶的系統敏感函數進行優化,實驗結果驗證了所提設計方法比傳統的頻率加權方法更加簡單有效[1].應用文獻[60]提出的基于廣義KYP引理的控制器設計方法,Li等研究了海上浮式風機的主動結構控制問題,通過分析風機的振動模態信息并引入額外的有限頻域約束,獲得了控制器增益與風機抗擾性能(抵抗海浪擾動)的一種折衷設計,減小了風機在常規工作模式下的結構振動及其承受的載荷[130].

廣義KYP引理也適合于處理具有某種周期特性的控制問題.文獻[3,74]和[75]結合回路成形技術和廣義KYP引理分別研究了光盤驅動器的磁道伺服跟蹤控制問題和電磁鑄模機的控制問題,給出了相應控制器的凸優化設計方法.Pipeleers等研究了具有周期輸入信號的最優前饋控制問題和重復控制中的最優控制問題,應用廣義KYP引理將設計條件轉化為凸優化問題[5,8].利用自行車踏板周期運動特性,文獻[6]應用廣義KYP引理為助力裝置設計重復控制器以提高能量利用效率.

除了系統和控制領域,廣義KYP引理也是處理如通信、信號處理等其他領域中相關有限頻域分析和綜合問題的一種重要工具.在經典文獻[43]中, Iwasaki等將數字濾波器設計列為廣義KYP引理的一個典型的應用領域,并給出了相應的有限脈沖響應(Finite impulse response,FIR)數字濾波器設計例子.Nagahara等考察了Delta-sigma(D-S)調制器中噪聲傳遞函數的整形問題,獲得了FIR回路濾波器存在的充要條件[131].需要指出的是,對于FIR濾波器,現成的廣義KYP引理不需要任何變換就直接給出了濾波器參數的線性矩陣不等式條件.對于更一般的IIR濾波器,直接應用廣義KYP引理只能獲得非線性的矩陣不等式.鑒于此,基于廣義KYP引理,Li等結合矩陣分離技術和上界約束技術提出了一種迭代算法來設計IIR數字濾波器,每一步只需求解一個凸優化問題[95].該迭代方法被進一步用于求解D-S調制器中具有IIR回路濾波器的噪聲傳遞函數整形問題[132?133].

廣義KYP引理的另外一個應用方向是復雜系統的分析與設計.針對線性時滯系統和二維系統,文獻[134–135]提出了基于頻率分割技術的穩定性分析方法,采用依賴于頻率的分段常值Lyapunov函數獲得了這些復雜系統穩定性的充要條件,并進一步應用廣義KYP引理將分析條件轉化為等價的線性矩陣不等式條件.頻率分割方法不僅能降低已有充分條件的保守性,同時與已有的充要條件相比,易于進一步擴展到其他系統綜合問題.

4 廣義KYP引理的一些注記

4.1 “水床效應”

實際控制系統的性能不可能無限制地提高.控制系統的性能極限既取決于系統各環節的物理約束(如執行器的輸出能力、控制器的計算速度等),同時也取決于被控對象自身的特點.特別地,由Bode靈敏度積分不等式可知[9],控制系統的設計極限直接依賴于被控對象的開環不穩定零點和極點.因此,如我們在本文開始提到的,一種控制方法在提高某些頻率范圍內控制系統性能的同時,有可能也伴隨著感興趣頻率范圍之外系統性能的退化.這就是控制系統設計中著名的“水床效應”(Waterbed effect)[136].在用廣義KYP引理對系統的有限頻域性能進行優化時,很容易出現這種現象.比如文獻[65]的圖3給出了一個汽車懸架主動控制例子的閉環頻率響應曲線,可以看出廣義H∞控制器能明顯地壓低4～8Hz頻率范圍的閉環系統幅值,同時相應閉環系統在全頻域的幅頻響應峰值卻高于一般H∞控制器下的情形.“水床效應”的存在意味著在應用廣義KYP引理時需要注意以下兩點:

1)實際問題中很少只優化單一的有限頻域性能指標,通常需要加入其他約束條件,以保證系統的其他性能滿足指定要求或至少不會太差.比如,為了獲得文獻[65]的圖3汽車懸架例子的廣義H∞控制器,除了一個4～8Hz范圍的廣義H∞性能指標,其設計條件還包括一個全頻域的標準H∞性能約束.另外一個考慮多重有限頻域指標條件的典型例子是數字濾波器,需要分別針對通帶、阻帶和過渡帶的濾波器性能引入相應的有限頻域性能約束條件[95].

2)如何選取有限頻域性能指標并構建相應的優化問題需要具體問題具體分析.廣義KYP引理只是提供了一種處理有限頻域性能指標的理論和工具,該結果本身并不能保證其求解的問題一定有解,即不能保證問題中所選取的性能指標的合理性.在具體應用時,很可能需要反復修改指標條件并重新求解才能找到有限頻域分析和設計問題的合理描述,從而利用廣義KYP引理找到滿意的答案.

上述兩點表明,控制系統設計的過程實質上是在尋找各種指標約束下令人滿意的折衷方法.除了廣義KYP引理,上述兩點事實上也是應用其他有限頻域分析與設計方法需要注意的地方.

4.2 從光滑到分段光滑

盡管廣義KYP引理在形式和內容上只是標準KYP引理向有限頻域性能指標的擴展,但是其應用外延要超過標準KYP引理.與某些傳統的解決方案相比,基于廣義KYP引理的方法甚至會有深層觀念上不同.針對模型降階問題,為了增強降階模型在某個頻率范圍的逼近性能,傳統的方法如平衡截斷[25,27]、H∞模型降階[26,137]等均采用頻率加權函數的方案.不管頻率加權函數如何選擇,其原始模型和降階模型主要是以頻率為變量的全局連續光滑的有限階有理函數模型.另一方面,對于第3.4節討論的廣義H∞模型降階問題,其被逼近的原始模型并不要求滿足全局光滑特性.具體地說,假設頻率集合?由若干頻率子區間組成,即則由式(8)定義的廣義H∞誤差指標可寫為

這里只要求Gi在每個頻率子區間內是一個關于頻率的有理函數或多項式函數.值得注意的是,式中的Gi和γi在不同頻率區間可以不同.換句話說,被逼近的原始模型G(s)=Gi(s),i=1,2,···,n可以是一個以頻率為變量的分段光滑函數.這也是第3.4節的標題使用了更一般的“模型逼近”而非“模型降階”的原因:近似模型Gr(s)的階次并不一定比原始模型G(s)的階次小.傳統的平衡截斷、H∞模型降階等模型降階方法并不適用于這類逼近問題.

頻率加權函數本身就是一種濾波器,任何有限階次的濾波器都不可能提供理想的高通/低通/帶通/帶阻特性(通帶單位幅值、阻帶零幅值).以廣義H∞性能為例,其效果就像是經過具有理想帶通特性的無限階頻率函數加權的標準H∞性能.廣義KYP引理可以將這種具有無限階頻率加權函數的系統性能轉化為等價的線性矩陣不等式.特別地,廣義KYP引理甚至可以用于濾波器(頻率加權函數)的設計[95],而標準KYP引理對此卻無能為力.這種關于廣義KYP引理與頻率加權函數之間區別的思考也可以延伸至其他有限頻域分析與綜合問題.

在模型逼近問題中,待求目標是有限階的連續光滑數學模型.就一些問題而言,盡管人們知道存在且期望找到某些連續光滑的參數依賴函數,但是直接求解這類問題可能很困難.常用方法是將待求函數限定為某類特別簡單的函數(比如常值函數),從而將問題化簡.但這種方法往往僅能得到充分條件.為了減小甚至克服這種方法的保守性,可以采用分段光滑的特殊函數將原問題化簡為若干子問題.如果分段內的子問題容易求解,原問題就相應地得以解決.廣義KYP引理提供了尋找分段光滑函數特別是分段頻率依賴函數非常有用的工具.正是基于該思路,文獻[134–135]提出了使用分段常值矩陣逼近未知的連續光滑Lyapunov矩陣的想法,進而利用廣義KYP引理將復雜的原問題簡化為一系列簡單的小問題.廣義KYP引理處理非光滑分析問題的能力對于求解其他復雜的系統和控制問題非常有用.

4.3 有限頻域vs全頻域

前文提到,目前在獲取基于廣義KYP引理的系統綜合結果時所采用的思路大多都來自于Iwasaki等較早提出的反饋控制器實現方法[54?55].基本步驟是利用Finsler引理或投影定理引入額外的松弛矩陣,從而解除系統矩陣與Lyapunov矩陣的乘積,進而通過選取具有合適結構的松弛矩陣實現控制器或濾波器存在條件的線性化.盡管他們已經采用一些分析手段使選取的松弛矩陣盡量“合理”,但是一般情況下,松弛矩陣的結構特殊化必然會減小所求問題的解空間,從而導致系統綜合結果具有較大的保守性,很難使系統性能達到最優.雖然沒有統一的標準去衡量不同取值的優劣,但是取值合理與否需要考慮一個最基本的原則:當標準KYP引理適用于條件相同或條件更強的問題時,以優化的有限頻域性能指標為準,基于廣義KYP引理的設計結果不能差于基于標準KYP引理的情形.如果該基本要求得不到滿足,即廣義KYP引理產生的結果甚至比標準KYP引理更差,那么人們自然會懷疑在該問題中使用廣義KYP引理的合理性.需要指出的是,這一點似乎并未引起研究人員的足夠重視.使用或研究廣義KYP引理的不少文獻在對不同方法進行數值比較時未設置全頻域方法的對照組,導致數值結果缺乏說服力和可靠性.

5 展望與結語

綜上所述,廣義KYP引理是近年來魯棒控制領域最為重要和令人激動的發現之一.由于在理論方面的創新性、重要性和易用性,就在發表的次年, Iwasaki等的論文即獲得IEEE控制系統協會頒發的“最佳論文獎”,基于廣義KYP引理的有限頻域分析與設計研究也成為近年來的研究熱點,受到許多研究人員的關注.通過第3、4節對現有研究成果的梳理,可以看出廣義KYP引理的研究范圍不僅包括應用傳統控制理論只能得到非常保守結果的老問題(比如應用魯棒控制理論分析時滯系統和多維系統穩定性[134?138]),也有傳統控制理論無法處理而由廣義KYP引理衍生出的新方向(比如數字濾波器的直接設計[43,95]),同時其學科范疇也不僅限于系統和控制理論.盡管如此,現有結果仍有一些不足,或保守性太大,或缺乏充分的工程解釋.許多與廣義KYP引理有關的關鍵問題亟待解決或值得進一步研究.這些問題包括但不限于:

如何選擇或優化松弛矩陣?在第4.3節我們指出松弛矩陣的結構化處理使現有大多數基于廣義KYP引理的系統綜合結果具有一定保守性,而該問題之所以關鍵是因為松弛矩陣的取值直接關系到使用廣義KYP引理的合理性.如何合理地選取松弛矩陣是應用廣義KYP引理進行系統綜合的一個難題.注意到松弛矩陣本身是魯棒控制理論中將經典結果如標準KYP引理變形為參數依賴形式的一種手段[80,138].受此啟發,滿足第4.3節所提基本要求的一個選取方案就是直接采用與標準KYP引理情形一樣的松弛矩陣.盡管這種取法不是最優的,但是非常簡單易行.一個更好的途徑是另外構造算法對這些松弛矩陣進行優化.目前沿著該思路的大多數研究結果都是基于線性矩陣不等式的啟發式迭代算法[60,65,85,95,97],難以進行最優性分析.如何利用數學上的先進優化理論或技術構造松弛矩陣優化算法并進行最優性分析是值得研究的課題.

如何得到有限頻域性能指標的充要條件?文獻[43]給出的廣義KYP引理建立了常規一維線性系統的有限頻域性能指標與線性矩陣不等式之間的等價關系.遺憾的是,文獻[67,98]給出的二維廣義KYP引理僅僅提供了二維系統有限頻域性能指標的線性矩陣不等式充分條件.同樣的問題也存在于文獻[115]中線性時間–空間模型的廣義KYP引理以及文獻[79,81]中線性時滯系統的有限頻域有界實引理.目前為止,關于這些比一般線性系統更加復雜的動態系統的有限頻域性能指標,還未見易于處理的廣義KYP引理充要條件報道.如何得到復雜動態系統保守性更低或無保守性的廣義KYP引理是重要且具有挑戰性的課題(即便考察全頻域性能指標,如何獲得相應的充要條件也是開放問題).在該問題上取得的基礎理論成果不僅能豐富廣義KYP引理的內容,也將促進相關領域的發展.

如何更好地解釋非線性/時變系統的有限頻域性能指標?注意前面介紹的大多數結果的研究對象都是線性時不變系統(盡管可能是多維系統或含有定常時滯等).線性時不變系統可以用傳遞函數進行描述,其頻域意義顯而易見,進而能夠非常直觀地理解由式(5)定義的有限頻域性能指標的系統意義.由于一般情況下傳遞函數并不適用于處理非線性/時變系統,所以就不能在非線性/時變系統中直接套用類似式(5)的有限頻域描述.前面指出,Iwasaki等在文獻[125]中推導出了頻域不等式(5)的時域等價關系(參見式(9)和(10))并從信號角度提供了式(10)一種直觀的物理解釋(系統狀態變化“快慢”).對于線性時不變系統,狀態變化的“快慢”可以簡單地認為由輸入信號變化的“快慢”決定—對于三角函數形式的輸入信號,當系統穩定時,狀態的變化頻率與輸入的變化頻率相同.對于非線性/時變系統,狀態的變化和輸入的變化之間不再有這種簡單的決定關系.因此,就非線性/時變系統而言,很難直觀地回答究竟怎樣的輸入信號才能使式(10)成立.鑒于此,盡管已有不少文獻直接使用與式(10)類似的時域不等式進行非線性/時變系統的有限頻域分析與設計,但是所得結果的物理意義并不明確.未來的工作有必要進一步理清有限頻域性能指標在非線性/時變系統中的定義、使用和解釋等一系列基礎問題.

如何擴展廣義KYP引理的應用外延?開發一項工具的終極目標都是將其用于解決所面臨的問題.拓展廣義KYP引理的應用外延是一個寬泛和開放的提問,全面地回答該問題超過了筆者知識所能及的范圍.下面簡單地從兩個方面進行說明.1)正如我們在第4.2節指出的,廣義KYP引理事實上提供了一種非光滑分析的工具.基于這種理解,有可能將廣義KYP引理用于處理其他更加復雜的理論問題,此為其在理論方面的作用.這些復雜的理論問題既有可能來自于系統和控制領域某些復雜系統的分析與設計問題(比如時滯無關穩定性分析和鎮定問題[134?135]),也有可能來自于其他工程學科中的理論問題(比如信號處理中D-S調制器的優化設計問題[131,133]),還有可能是應用數學中的優化問題(比如偏應用數學的原子分解的半定規劃方法[139])等.2)另一方面,我們在第4.1節指出,廣義KYP引理僅僅是提供了一種解決問題的工具.如果不考慮問題的具體工程背景,就不清楚也很難保證在工程問題中使用廣義KYP引理的合理性.盡管已有研究成果很好地展現了廣義KYP引理在解決一些實際有限頻域問題方面的良好效果,但是如何將更多復雜的工程實際問題轉化為有限頻域分析與設計問題并最大限度地發揮廣義KYP引理的實用性值得深入研究.這不僅僅是理論研究人員的責任,也需要工程技術人員的參與,從而最終為工程界提供實用且易于理解接受的控制系統分析和設計方法.

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李賢偉 新加坡南洋理工大學博士后. 2015年獲得哈爾濱工業大學工學博士學位.主要研究方向為多智能體系統,魯棒控制,有限頻域方法及其應用.

E-mail:lixianwei1985@gmail.com

(LI Xian-Wei Postdoctor at Nanyang Technological University, Singapore. He received his Ph.D. degree from Harbin Institute of Technology in 2015. His research interest covers multi-agent systems,robust control,finite frequency methods and their applications.)

高會軍 哈爾濱工業大學教授,IEEE會士.2005年獲哈爾濱工業大學工學博士學位.主要研究方向為網絡化控制,魯棒控制與濾波,時滯系統及其工程應用.本文通信作者.

E-mail:hjgao@hit.edu.cn

(GAO Hui-Jun Professor at Harbin Institute of Technology.He is a Fellow of IEEE.He received his Ph.D.degree from Harbin Institute of Technology in 2005.His research interest covers network-based control,robust control/filter theory,timedelay systems and their engineering applications.Corresponding author of this paper.)

An Overview of Generalized KYP Lemma Based Methods for Finite Frequency Analysis and Design

LI Xian-Wei1GAO Hui-Jun2

Frequency-domain methods are a fundamental research approach in control theory and engineering.Many control problems can be viewed as analysis and design issues of finite frequency specifications.The generalized Kalman-Yakubovich-Popov(KYP)lemma,which bridges frequency-domain methods(transfer functions)and time-domain methods (state-space models),has been one of the hotspots in systems and control theory in recent years.In this paper,the background and significance of finite frequency analysis and design are first introduced from signal and system perspectives, respectively.Three main research methods(classical control theory,frequency-weighting strategy and generalized system specification based methodology)are discussed with respect to their individual advantages and disadvantages.The body of the generalized KYP lemma is then introduced briefly,which is followed by a detailed summary of main directions and recent progresses in finite frequency analysis and design based on the generalized KYP lemma.Finally,a few notes are presented,which are important but commonly overlooked in applying the generalized KYP lemma,and a few critical problems in the field are also pointed out,which are worth future investigation.

Finite frequency,generalized Kalman-Yakubovich-Popov(KYP)lemma,controller design,filtering,model reduction

李賢偉,高會軍.有限頻域分析與設計的廣義KYP引理方法綜述.自動化學報,2016,42(11):1605?1619

Li Xian-Wei,Gao Hui-Jun.An overview of generalized KYP lemma based methods for finite frequency analysis and design.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1605?1619

2016-04-01 錄用日期2016-08-15

Manuscript received April 1,2016;accepted August 15,2016

國家自然科學基金(61333012,61329301),東北大學流程工業綜合自動化國家重點實驗室資助

Supported by National Natural Science Foundation of China (61333012,61329301),Key Laboratory of Integrated Automation for the Process Industry,Northeast University

本文責任編委張衛東

Recommended by Associate Editor ZHANG Wei-Dong

1.南洋理工大學電氣與電子工程學院新加坡639798新加坡 2.哈爾濱工業大學智能控制與系統研究所哈爾濱150080中國

1.School of Electrical and Electronic Engineering,Nanyang Technological University,Singapore 639798,Singapore 2.Research Institute of Intelligent Control and Systems,Harbin Institute of Technology,Harbin 150080,China

DOI 10.16383/j.aas.2016.c160303