加速壽命試驗失效時間的估算方法研究

王耀冬, 俞衛博, 宣兆龍, 姚 愷, 李天鵬

(軍械工程學院,河北 石家莊 050003)

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加速壽命試驗失效時間的估算方法研究

王耀冬, 俞衛博, 宣兆龍, 姚 愷, 李天鵬

(軍械工程學院,河北 石家莊 050003)

在加速壽命試驗失效時間估算的原有方法基礎上,從概念對稱角度出發,提出了區間中位分布估計法和指數均勻分布估計法。通過理論計算分析和蒙特卡洛模擬分析兩方面,對比和檢驗了每種估算方法的特點和準確性。結果表明,提出的方法較原方法在特定條件下具有一定的優越性,當產品的失效率為遞增型時采用指數均勻分布估計法、遞減型采用對數均勻分布估計法或是變化未知時使用等間隔分布估計法和區間中位分布估計法,所得的失效時間估計精度較高。因此,在對加速壽命試驗失效時間進行估算時,應視產品的失效類型選擇估算方法,以提高參數估計的準確性。

加速壽命試驗; 失效時間; 估算方法; 蒙特卡洛

1 引 言

加速壽命試驗是指在不改變失效機理的前提下,對產品加載高于正常條件下的應力水平,檢測并記錄產品的失效時間等失效數據,最后用統計方法對這些數據進行處理,從而獲得產品正常條件下的各項可靠性指標的方法[1]。從中可以看到,若確定的產品失效時間存在偏差,那么所得的各項可靠性指標也必然存在偏差。為了避免這種情況,在整個加速壽命試驗過程中應采用自動監測、連續檢測的方法。但現階段僅對于試驗樣品所處的環境應力能夠實現自動監測,連續檢測不僅在技術上要求高,而且費用昂貴,耗費人力物力。因此,實際應用中通常采用周期檢測的方法[2],即將試驗時間分為若干個檢測區間,在每個區間的端點對樣品進行檢測,并記錄失效數據。但是,這種方法只能得到檢測區間內樣品的失效個數以及失效的發現時間,而無法得到每個失效樣品真正的失效時間。因此,仍需對獲得的失效數據進行估計,以獲取準確有效的失效時間。

2 失效時間的估算方法

失效時間的估算其實就是對失效時間在檢測區間內的再分布,文獻[3]中使用了等間隔分布估計法,文獻[4]中又介紹了對數均勻分布估計法,這兩種為加速壽命試驗中常用的失效時間估算方法。而既然是失效時間的再分布,在對比了兩種常用方法的形式后,由概念對稱角度出發自然提出了兩種新的估算方法,即區間中位分布估計法和指數均勻分布估計法。

假設在檢測區間[tj-1,tj]時間內,測得樣品失效數為rj,估算此間隔內第k個失效樣品的失效時間tjk。

2.1 等間隔分布估計法

將rj個樣品的失效時間均勻分布在[tj-1,tj]內,計算公式如下

(1)

2.2 對數均勻分布估計法

將rj個樣品的失效時間的對數均勻分布在[lntj-1,lntj]內,計算公式如下

(2)

2.3 區間中位分布估計法

將檢測區間[tj-1,tj]均勻分成rj個子區間,則每個樣品的失效時間位于該子區間的中點,計算公式如下

(3)

2.4 指數均勻分布估計法

將rj個樣品的失效時間的指數均勻分布在[exptj-1,exptj]內,計算公式如下

(4)

3 估算方法對比

3.1 等間隔分布估計法與對數均勻分布估計法

由(1)式和(2)式可得

(5)

F(x)=(1-p)x-p+px1-p

(6)

對F(x)求一階導數

(7)

3.2 等間隔分布估計法與區間中位分布估計法

由(1)式和(3)式可得

(8)

3.3 等間隔分布估計法與指數均勻分布估計法

由(1)式和(4)式可得

(9)

令x=tj-tj-1,則

F(x)=(1-p)exp(-px)+pexp[(1-p)x]

(10)

對F(x)求一階導數

(11)

3.4 對比分析

圖1 四種失效時間估算方法對比Fig.1Comparison of four methods of failure time estimation

即與等間隔分布估計法相比,對數均勻分布估計法估算出來的失效時間先密后疏,適合那些失效率隨時間遞減的產品;指數均勻分布估計法估算出來的失效時間先疏后密,適合那些失效率隨時間遞增的產品;而區間中位分布估計法估算出來的失效時間,分別在k=(rj+1)/2兩側先疏后密,適合失效率為“浴盆曲線”,即經歷早期失效、偶然失效和耗損失效階段的產品。

4 實例分析

使用蒙特卡洛法[5]進行隨機變量抽樣,得到模擬試驗數據,然后分別用以上四種方法進行失效時間估計,并進一步得到可靠性參數估計。比較四種失效時間估算方法得到的可靠性參數,說明每種方法的精度和特點。

Weibull分布是可靠性中常用的一種壽命分布[6],在擬合隨機數據時有很大的靈活性和適應性[7]。雙參數Weibull 分布的分布函數和密度函數分別為

F(t)=1-exp[-(t/η)m],t≥0

(12)

f(t)=(m/ηm)tm-1exp[(t/η)m],t≥0

(13)

式中:m為形狀參數,m> 0;η為特征壽命,η>0。

則Weibull 分布的失效率函數為

(14)

可以看到,λ(t)是時間t的冪函數,當m> 1時,λ(t)是增函數,失效率隨時間遞增;當m<1時,λ(t)是減函數,失效率隨時間遞減;當m= 1時,λ(t)是常數,失效率恒定,可視為指數分布。因此,可以根據m的數值區分不同的失效類型。

設容量為rj的全子樣數據為t1

(15)

似然方程為

整理化簡后得

(16)

(17)

令η=100,分別取m1=0.6、m2=1、m3=2,通過蒙特卡洛模擬得到三種失效類型的Weibull分布隨機變量共三組,再將每組隨機變量代入上述四種失效時間估算方法中,分別得到檢測區間[tj-1,tj]上的四組容量為rj的全子樣數據t1,t2,…,trj,即估算后的失效時間tjk。將tjk代入上述參數估計的方法中,由(17)式用迭代法[8]求出m的極大似然估計,再由(16)式得到η的極大似然估計。經過大量的模擬,將得到的m和η的估計值取平均值,具體數值如表1所示。

由表可以看出,當m<1時,對數均勻分布估計法得到的結果與真值最為接近,指數均勻分布估計法誤差最大;當m=1時,等間隔分布估計法和區間中位分布估計法得到的結果與真值較為接近;當m>1時,指數均勻分布估計法得到的結果與真值最為接近,對數均勻分布估計法誤差最大。

表1 參數的極大似然估計Tab.1 Maximum likelihood estimation of parameters

5 結 論

通過理論計算分析和蒙特卡洛模擬分析兩方面,對比并檢驗了四種方法的準確性。結果表明,在對失效時間進行估算時,應視產品的失效類型選擇估算方法。若產品的失效率為遞增型,則采用指數均勻分布估計法得到的結果精度較高;若產品的失效率為遞減型,則采用對數均勻分布估計法得到的結果精度較高;若產品的失效率變化未知,則采用等間隔分布估計法和區間中位分布估計法得到的結果精度較高。為加速壽命試驗統計分析中對失效時間的估計,提供了方法和思路,提高了參數估計的準確性。

[1] 陳循,張春華,汪亞順,等.加速壽命試驗技術與應用[M].北京:國防工業出版社,2013.

CHEN Xun,ZHANG Chunhua,WANG Yashun,et al.Accelerated Life Testing Technology and Application[M].Beijing:National Defense Industry Press,2013.

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ZHANG Chunhua.Theory and Method of Step-謙down-謙stress Accelerated Life Testing[D].National University of Defense Technology,2003.

[3] GJB736.13-91.火工品試驗方法 加速壽命試驗 恒定溫度應力試驗法[S].

GJB736.13-91.The test sensitivity method.Accelerated Life Test.Constant temperature stress test method[S].

[4] 茆詩松,王玲玲.加速壽命試驗[M].北京:科學出版社,1997.

MAO Shisong,WANG Lingling.Accelerated Life Test[M].Beijing:Science Press,1997.

[5] 張德豐,周燕.詳解MATLAB在統計與工程數據分析中的應用[M].北京:電子工業出版社,2010.

ZHANG Defeng,ZHOU Yan.The application of MATLAB in statistics and engineering data analysis[M].Beijing:Electronic Industry Press,2010.

[6] Saad J.Almalki,Saralees Nadarajah.Modifications of the Weibull distribution:A review[J].Reliability Engineering & System Safety,2014,124(9):32-55.

[7] 熊華鋒.復合材料疲勞分散性與強度分散性的關系[D].南京航空航天大學,2009.

XIONG Huafeng.A Relationship of Dispersity between Fatigue Life and Strength of Composites[D].Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,2009.

[8] 張軍.數值計算[M].北京:清華大學出版社,2008.

王耀冬 男(1991-),黑龍江賓縣人,碩士研究生,主要研究方向為彈藥系統設計與試驗評估。

Research on the Estimation Method of Accelerated Life Test Failure Time

WANG Yaodong, YU Weibo, XUAN Zhaolong, YAO Kai, LI Tianpeng

(Ordnance Engineering College,Shijiazhuang 050003,China)

This paper presents the interval median distribution estimation and exponential uniform distribution estimation,which is based on the original method of estimating the accelerated life test failure time from the conception of symmetry.We examined the characteristics and accuracy of each estimation method by theoretical analysis and Monte Carlo simulation.The results show that the new method has superiority in certain conditions.When the failure rate of the product is increasing,we use the exponential uniform distribution estimation.When the failure rate is decreasing,we use the logarithmic uniform distribution estimation.When the change is unknown,we use the equal interval estimation and interval estimation.These methods have high estimation precision.Therefore,in order to improve the accuracy of parameter estimation,we should choose the estimation method in failure time estimation of accelerated life test depending on products estimating failure types.

accelerated life test; failure time; estimation method; Monte Carlo

俞衛博 男(1976-),山西永濟人,副教授,主要研究方向為彈藥系統設計與試驗評估。

TB 114

A