淺談命題的幾種形式

吳廷志

命題是判斷一個事實的句子，如“人是會呼吸的”。一個命題由題設和結論兩部分組成的。像上例中的題設是“人”，結論就是“會呼吸的”。對于命題有真命題和假命題兩種。

在數學中命題的一般形式為“若…則…”，簡記為“若A，則B”或用符號表示為“A”，A就是表達命題的條件，B表達命題的結論。而在幾何中最常用的形式為“已知…求證…”。

在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，這兩個命題叫做互逆命題。如果其中的一個為原命題，則另一個叫做它的逆命題。如“人是會呼吸的”的逆命題就是“會呼吸的是人”。對于原命題的真的話，它的逆命題是不是也一定是真的呢？這是不一定的。如“人是會呼吸的”是真命題，但是“會呼吸的是人”卻是個假命題，因為會呼吸的不一定就是人（動植物也會呼吸）。

在數學中如是一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理。這兩個定理叫做互逆命題，其中一個叫做另一個的逆定理。如勾股定理和它的逆定理。但是也不是所有定理都有逆定理，如定理“兩個三角形全等，則它們的三對對應角相等”，這個定理的逆命題是“三對對應角相等的兩個三角形是全等三角形”，顯然，此逆命題并不成立。

如果把一個命題中的題設和結論都予以否定，又可以構造出一個新命題，這個命題叫做原命題的否命題。對于一個真命題的否命題也不一定是真的。如“人是會呼吸的”的否命題為“不是人是不會呼吸的”。這命題顯然是錯誤的。如“若兩條直線平行則內錯角相等”的否命題是“若兩條直線不平行則內錯角不相等”，是對的；而“對頂角相等”的否命題“不是對頂角不相等”都是錯誤的。

把原命題中的結論加以否定作為題設，而把原命題中的題設加以否定作為結論時，還可以構造一個新命題，叫做原問題的逆否命題，邏輯學告訴我們：原命題與它的逆否命題是同真同假的，所以使用一個定理的逆否定理時是不需要重新證明的。如“人是會呼吸的”的逆否命題是：“不會呼吸的就不是人”，這是對的。再如幾何中原命題：“等腰三角形兩底角相等”（真），它的逆否命題是“如果一個三角形的兩底角不相等，那么它不是等腰三角形”（真）。

所以由一個命題可以變出四種形式的命題：原命題，逆命題，否命題，逆否命題。其中原命題與逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假。

充分條件、必要條件及充要條件都是重要的數學概念.它提示了命題的條件和結論的依從關系，由于這三個條件所涉及的抽象思維要求較高.而單純按照定義講授又很難使學生透徹理解各自的本質屬性和內在聯系.學生往往對條件的“充分而不必要”及“必要而不充分”難以判別，對“必要條件”不易接受，而充要條件在數學各分支學科中有著廣泛的應用.因此下面著重談談充分必要條件與命題的關系.這樣做，符合從特殊到一般、從現象到本質、從具體到抽象的認識論的原則.我們知道，判斷的語言形式稱為命題，也就是說，命題是陳述事理的語言.它的結構通常分為兩分部分：一部分是條件，另一部分是結論.

在日常生活中經常會碰到猜東西的情況，那么肯定是在一定條件下進行的，如果要想猜得對，那么所給出的條件既是足夠的（充分的），又是缺一不可的（必要的）。對于一個事實成立或不成立總是有一定條件的，如“若兩個三角形全等，則兩個三角形的對應角相等”，此命題中的條件就足以保證了結論的實現。因此，若當條件A具備時某事件B必然成立，則稱條件A為條件B的充分條件，即“若A則B”是正確的，A為B的充分條件。如上例中“三角形全等”是“三角形對應角相等”的充分條件。對于一個事實其充分條件不一定是唯一的，如“摩擦生熱”，這里摩擦是生熱的充分條件，但是這條件卻不是唯一的充分條件，因為燃燒也可以生熱。

還記得命題的否命題嗎？一般來說，“若不A則不B”這個命題成立時，則把A叫做B的必要條件。比如“一組對應角相等”是“兩個三角形全等”的必要條件，這是因為在兩個三角形中，若有一組對應角不相等，則兩個三角形必然不是全等三角形。對于必要條件不一定能夠保證結論的成立，但又不允許去掉，否則就必然導致結論不能成立，而且必要條件不可以用其他條件來代替。

在幾何學中用得最多的是充分必要條件，簡稱充要條件。如在“若一個三角形頂角平分線是底邊上的中線，則這個三角形是等腰三角形”中，“頂角平分線與底邊中線重合”是“等腰三角形”的充分條件，也是必要條件，所以是充分必要條件。要證明一個命題的條件是充要條件，就需要證明原命題和逆命題都是真的。

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