函數思想在求參數取值范圍問題中的應用

王勝軍

【關鍵詞】函數思想 中學數學思想 參數取值范圍

【摘要】數學思想是數學教學的立足點，是數學問題考察的核心。求參數取值范圍問題是歷年高考的重點、難點問題，如何化解該難點是很多老師研究的問題，本文就如何利用函數思想化解該難點提供一種方法供大家參考。

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）7（b）-0000-00

數學教學的目的是向學生傳授系統的數學知識，在學習理解應用知識的過程中，發展學生的能力，培養他們良好的個性品質，這其中最重要的是解決問題，獲取新知識。因此，在教學過程中不僅要重視知識的教學，使學生掌握好基礎知識和基本技能，而且要加強數學思想方法的有機滲透，增強學生利用數學思想解題的能力，使學生充分認識數學思想是教學的靈魂所在。

函數思想是中學數學的基本思想方法。函數的思想，就是運用運動和變化的觀點，集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的等量關系，建立或構造函數關系，再運用函數的圖象和性質去分析問題，轉化問題，從而使問題獲得解決.求參數取值范圍的題型在近幾年的高考以及各省市的模擬測試中頻頻出現，這也是高中數學學習的重點及難點，本文給出一些靈活應用數學思想方法解這一類題的例子，以供同仁參考。函數是高中數學的一條主線，數學教學在適當的問題情境下，靈活地在解決問題中有意識地培養學生的函數思想，對啟迪學生思維，培養學生能力，優化思維品質，提高教學質量大有稗益。在解題時通常把題目中的參數和未知量分離開來，利用函數有界性解題常能使問題簡單化。函數思想在解題中的應用，主要體現在通過建立函數關系式或構造函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的。

對在某區間恒成立的不等式問題、方程有解問題，用函數思想指導求解，主要基于以下顯然成立的命題：

命題：記函數y=f（x）的定義域為D，值域為Z，最小值為Y ，最大值為Y ，則f（x） m恒成立 y m，f（x） m恒成立 y m，f（x）=m有解 m的取值范圍為Z。

例1.（1）對任意實數x，不等式 恒成立，則k的取值范圍是 ；

（2）對任意實數x，不等式 恒成立，則k的取值范圍是 ；

（3）方程 有解，則k的取值范圍是 ；

分析：記y= ，即y= 易得y =3，y =-3，Z= ，故

（1）所求k的取值范圍是k<-3

（2）所求k的取值范圍是k 3，

（3）所求k的取值范圍是-3 k 3

例2.不等式 >b-1對x∈R恒成立，求證：a>b

證明： 原不等式在 ∈R恒成立，即

在 ∈R恒成立，即 在 ∈R恒成立，記y=- ，顯然 ，故a-b>0，即a>b成立。

例3.（1）關于x的方程 有解，求a的取值范圍；

（2）關于x的方程 有解，求a的取值范圍.

解析：（1）由原方程可得：a= ，記y= ，可求得其值域Z= ，于是a的取值范圍是 .

（2）由原方程可得：-（4+a）= ，記y= ，易得y 4， -（4+a） 4，從而所求a的取值范圍是：a -8.

例4.（1）若不等式 對 ∈ 的所有實數x都成立，求m的取值范圍。

（2）若不等式 對 ∈ 的所有實數m都成立，求x的取值范圍。

解析：記y= [1]，則對（1）（2）均需且只需

（1）此時[1]可視為關于x的二次函數，其圖像的對稱軸為x=m，

①當m<-3時，在 ∈ 上，[1]為增函數，當x=-3時，y =10+8m，由10+8m>0，得 ，又 ，故這時m的取值范圍為 ；

②當 時，當x=m時， 得 ；

③當m>3時，在 ∈ 上，[1]為減函數，當x=3時， ，由10-4m>0得m< ，又m>3，故這種情況下m的取值范圍為

（2）把[1]整理為y=（2-2x）m+ ，m∈ [2]

①當x=1時[2]即y=2，m∈ ，此時 成立，故x=1可取；

②當x不為1，[2]可視為關于m的一次函數，記g（m）=（2-2x）m+ ，m∈ 上y=g（m）為單調函數，要g（m）>0在m∈ 上恒成立，要且只要g（3）>0與g（-3）>0同時成立，即 解之得x>3+ ，或x<-3-

綜上所得x=1或x>x>3+ ，或x<-3- 即為所求x的取值范圍

例5.函數f（x）= 其中a>0，求a的取值范圍，使函數在區間[0，+∞）上是單調函數。

解析：設 則f（x ）-f（x ）= = ，

要使函數在區間[0，+∞）上是單調函數，須且只需f（x ）-f（x ） 0對滿足 的 的任意值恒成立，或f（x ）-f（x ） 0對滿足 的 的任意值恒成立，又 <0，記y= [1]則須且只需y a對滿足 的 的任意值恒成立。視[1]為關于 的二元函數，對 時，由 可得y的值域為（-∞，1），故只可能有y a對滿足 的 的任意值恒成立，這只要a 1即可。當a 1時，f（x ）-f（x ） 0對滿足 的 的任意值恒成立，f（x）在[0，+∞）上是單調減函數。當a<1時，在[0，+∞）上f（x）不可能是單調函數。故所求a的取值范圍是：a 1.

由上述各例可看出，在不等式恒成立或方程有解時求參數取值范圍問題，轉化為求函數的值域或最值問題。在分離變量的過程中，常采用移項或兩邊同除以某個式子，但是除之前一定要注意分析被除的符號，從而確定變形后不等號“保向”還是“反向”，求解思路自然，過程簡明。對思維過程從思想方法的高度進行提煉總結，有利于學生對函數思想意識的滲透。經過多次提煉、總結即可強化函數思想應用的意識，也使學生對應用函數思想處理問題的具體操作方式得到深刻的理解。

參考文獻：

1. 數學思想方法在求參數取值范圍中的應用 蔣暉琳《懷化師專學報》2000年05期

2. 已知函數的單調性怎樣求參數的取值范圍 劉朝暉 《試題與研究》 2013年34期

3. 函數思想在解含參數三角問題中的應用 陸斌 《中學數學月刊》 1998年04期

http：//www.cnki.com.cn/Journal/H-H3-ZOXE-1998-04.htm