求解一類投資組合問(wèn)題的半光滑New ton法

鄭華，姚智麗，周潔

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

求解一類投資組合問(wèn)題的半光滑New ton法

鄭華，姚智麗，周潔

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

給出求解一類投資組合問(wèn)題的半光滑New ton法，并對(duì)算法進(jìn)行收斂性分析，數(shù)值例子表明新方法的高效率.

投資組合問(wèn)題；半光滑New ton法；線性互補(bǔ)問(wèn)題

著名的Markowitz投資組合優(yōu)化理論是金融統(tǒng)計(jì)分析中的重要內(nèi)容，該理論表明，在收益和風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)衡中，投資者采用如下策略：在期望收益相同的條件下，選擇風(fēng)險(xiǎn)最小的證券.即是在給定預(yù)期收益水平的情況下，對(duì)期望風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行最小化.

1　預(yù)備知識(shí)

在不允許賣空的假設(shè)下，Markowitz投資組合優(yōu)化理論可以轉(zhuǎn)化為以下二次規(guī)劃問(wèn)題：

這里C表示投資組合中的資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣，w表示投資組合的權(quán)重向量，代表的是各資產(chǎn)中投資的資本量，r表示不同資產(chǎn)的預(yù)期收益率向量，ρ表示給定的總回報(bào)，e表示全1的列向量.設(shè)w是該二次規(guī)劃的局部最優(yōu)解，根據(jù)Karush-Kuhn-Tucker最優(yōu)性定理，存在Lagrange乘子向量y，滿足K-K-T條件：

其中B=(e r)T,d=(-1 1)T定義：

就得到了線性互補(bǔ)問(wèn)題(Linear Complementarity Problem)，記為L(zhǎng)CP(q,A).

對(duì)給定的A∈Rn,求解z∈Rn滿足:

這是一個(gè)特殊的優(yōu)化問(wèn)題，許多學(xué)者給出了求解LCP(q,A)的各種數(shù)值算法，這方面的綜述參看文獻(xiàn)[1].本文充分利用投資組合問(wèn)題中系統(tǒng)矩陣的特殊性，設(shè)計(jì)新的數(shù)值算法.

2　半光滑New ton法

其中I為單位矩陣.基于上述模方程，Zheng和Li在文獻(xiàn)[3]中引入廣義導(dǎo)數(shù)構(gòu)建了求解LCP(q,A)的半光滑Newton法：

算法1(求解F(x)的半光滑Newton法)給定初始向量x(0),進(jìn)行以下迭代直至收斂：

其中Vk是F(x)的一個(gè)廣義導(dǎo)數(shù),定義如下：

定義1如果n階方陣A的所有主子陣非奇異，稱A為P-矩陣［4］.

引理1如果n階方陣A是正定矩陣，那么A為P-矩陣［2］.

引理2如果A是P-矩陣，那么求解(2)的算法1局部平方收斂的.特別地,如果F(x)=0的真實(shí)解沒(méi)有0分量，那么對(duì)任給的初值，算法1二步收斂［3］.

考慮用算法1求解投資組合問(wèn)題轉(zhuǎn)化得到的LCP(q,A)，就有如下定理.

定理1在不允許賣空的規(guī)定下，如果資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣C為正定矩陣，那么利用算法1求解(2)是局部平方收斂,特別地，如果投資者在證券市場(chǎng)中對(duì)所有證券都保持持有，那么算法1求解(2)二步收斂.

如果投資者在證券市場(chǎng)中對(duì)所有證券都保持持有，根據(jù)相關(guān)的符號(hào)約定，這意味著(2)的解中沒(méi)有0分量，由引理2可知，此時(shí)算法1是二步收斂的.

證畢.

注1定理1表明，利用算法1求解投資組合問(wèn)題轉(zhuǎn)換得到的LCP(q,A)是可行的并具有高效性.

3　數(shù)值試驗(yàn)

接下來(lái)通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)展現(xiàn)算法1的高效性.從國(guó)泰君安數(shù)據(jù)庫(kù)中提取清華紫光、蘇寧電器、中國(guó)船舶、招商地產(chǎn)、五糧液這5支股票3年共151個(gè)星期的個(gè)股回報(bào)率數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)計(jì)算所得的協(xié)方差矩陣和平均收益率向量分別為：

設(shè)定預(yù)期收益率為1.2%,我們分別利用算法1和經(jīng)典的Lemke算法［2］求解上述證券投資問(wèn)題，都可以計(jì)算得到最優(yōu)投資組合比例向量為：

兩種算法的運(yùn)行效率對(duì)比為：

(1)Lemke算法：運(yùn)行時(shí)間0.038 4秒，結(jié)果誤差為0；

(2)算法1：運(yùn)行時(shí)間0.003 7秒，結(jié)果誤差為2.309 7×10-16.

從上述效果的對(duì)比來(lái)看，算法1比Lemke算法運(yùn)行更快.因?yàn)長(zhǎng)emke算法是直接法，所以它的結(jié)果誤差為0是必然的，雖然算法1的結(jié)果誤差未達(dá)到0，但2.309 7×10-16的誤差精度也可以足夠滿足實(shí)際的需求.

［1］韓繼業(yè)，修乃華，戚厚鐸.非線性互補(bǔ)理論與算法[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，2006.

［2］Cottle R W，Pang J S,Stone R E.The Linear Com plementarity Problem[M].Philadelphia：SIAM Publisher，2009.

［3］Zheng H，Li W.The modulus-based nonsmooth Newton's method for solving linear complementarity problems［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2015（288）:116-126.

［4］Berman A，Plemmons R J.Nonnegative matrix in the mathematical sciences[M].Philadelphia:SIAM Publisher，1994．

A Sem i-sm ooth New ton’s M ethod for Solving the Portfolio Problem

ZHENG Hua，YAOZhi-li，ZHOU Jie
（School ofMathematicsand Statistics，Shaoguan University，Shaoguan，512005，Guangdong，China）

A semi-smooth Newton’s method for solving the portfolio problem is established.The convergence analysis isgiven.Numerical example shows that thenewmethod isefficient.

portfolio problem;semi-smooth Newton’smethod;linear complementarity problem

O151.21

A

1007-5348（2016）08-0004-03

2016-07-08

韶關(guān)學(xué)院科研項(xiàng)目(SY2014KJ01)；韶關(guān)學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目(201610576017).

鄭華（1982-），男，廣東韶關(guān)人，韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，博士；研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué).

（責(zé)任編輯：邵曉軍）