利用向量的內積證明幾何題

買買吐送·尼扎木丁

(和田師范專科學校數信學院， 新疆 和田 848000)

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利用向量的內積證明幾何題

買買吐送·尼扎木丁

(和田師范專科學校數信學院， 新疆 和田 848000)

本文介紹了利用向量的內積證明幾何題的方法，是證明幾何題的另一種方法。

向量的內積；證明幾何題；數學證明方法

向量是數學中的重要概念之一，它廣泛應用于生產實踐和科學研究中，向量在解決初等幾何問題，立體幾何問題，解析幾何問題中廣泛應用。向量的內積也廣泛應用，利用向量的內積容易證明初等幾何問題，立體幾何問題和解析幾何問題。利用內積證明幾何問題時，可以減少輔助線的添加，還可以避開一些較復雜的空間圖形，降低了證題的難度且思路明確，易于下手，易于接受。下面看幾個問題.

例1，證明四面體對棱夾角公式.

例2，如圖所示，直線l與平面α內的三條共點直線所成的角相等，則求正：l⊥α

由已知得

例3，如圖，已知正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，M,N分別為對角線AE和BE上的點且AM=DN，求證：MN∥平面BCE。

過點N作NN1⊥BC,NN2⊥AB,垂足分別是N1,N2.

設NN1=x,NN2=y,則x=y,所以N(x,x,0).

同理，過N作MM1⊥BE,MM2⊥AB,垂足分別為M1,M2.

設MM1=x,MM2=z,則z=a-x,(AB=a).

例4，如圖所示，已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，A1C1=B1C1,AC1⊥A1B,M,N分別是A1B1,AB的中點，求證：AB⊥BC.

設A(-a,0,0),B(a,0,0),C(0,c,0),A1(-a,0,h),C1(0,c,h),B1(a,0,h),則

例5，已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，E,F是棱B1C1和C1D1的中點，求證點A1到平面BDFE的距離等于1。

所以點A1到平面BDFE的距離等于1.

證明幾何題時，有時利用向量的內積避免了作太多的輔助線，可以節約時間，避免一些不必要的麻煩，更容易得到證明。

2016-08-10

買買吐送·尼扎木丁(1964-)，男，維吾爾族，和田師范專科學校數信學院副教授。研究方向：幾何學。