數形結合思想在解題中的應用

馬力

摘 要：數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合。數形結合方法的實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來。這里的“數”指數學術語、數學符號、數學公式及用語言文字表現的數量信息和呈現方式；“形”不僅僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實物類教學資源等形象材料，以及用這些材料呈現數學信息的方式。

關鍵詞：數形結合；以數助形；以形助數

數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。使用數形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡單。所謂“數形”結合就是通過數（數量關系）與形（空間形式）的相互轉化、互相利用來解決數學問題的一種思想方法。它可將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，使抽象思維與形象思維相結合，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合。有些數量關系，借助于圖形的性質，可以使抽象的概念和關系直觀化、形象化、簡單化；而圖形的一些性質，借助于數量的計量和分析，得以嚴謹化，能從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征。

用數形結合的思想解題可分兩類：

類型之一 “數”到“形”的思想應用（以形助數）

題型一：數形結合思想在不等式組中的應用

例1（實數與數軸上的點的對應關系）求不等式組的整數解。

解析：解不等式1得x<2

解不等式2得x≥-1

∴原不等式組的解集為：-1≤x<2

結合數軸，直接可以讀出不等式組的整數解為-1，0， 1

題型二：數形結合思想在邏輯推理題中的應用

例2：某班共30人，其中15人喜歡籃球運動，10人喜歡乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜歡，則喜歡籃球卻不喜歡乒乓球的人有

解：畫出韋恩圖

此題可以利用韋恩圖，通過數形結合的思想使得題目更加直觀形象化，簡單化，便于解題。

題型三：數形結合思想在函數中的應用

例3：“如果二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根.”請根據你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n（m

A . m

解析：根據題目中的要求，可以得出：若m、n（m

二次函數也好，一次函數也好，甚至是反比例函數，都可以結合圖形使問題直觀化，復雜問題簡單化，體現了數形結合思想和轉化思想。

題型四：數形結合思想在恒等證明中的應用

例4：已知x、y、z都是正數，且x2+y2=z2， z= x2 求證：rz=xy

解析：可以構造直角三角形，如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高

不妨設AB=y，BC=x，AC=z，BD=r，利用勾股定理可以得出AB2+BC2=AC2，即x2+y2=z2 ，結合射影定理BC2=AC·CD，即 z= x2 ，再結合三角形的面積計算方法，可以得出結論rz=xy，從中說明很多恒等式可以結合幾何圖形，能使問題的數量關系變得明顯，推理變得輕松，書寫變得簡潔。（涉及到與平方有關的恒等證明，可以構造出與之對應的三角形或者圓。）

類型之二 “形”到“數”的思想應用（以數助形）

題型五：數形結合思想在幾何證明題中的應用

例5：如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，求證：∠A=2∠E

解析：此題可以用代數的方法解決幾何問題，設∠ABE=∠EBD=a ， ∠ACE=∠ECD=b ，∠A=y，∠E=x，列出方程組得出y=2x，即∠A=2∠E，本題通過三角形的外角構造方程組，不是求方程組的解，而是利用未知數之間的關系達到解決問題的目的，從而使問題簡單化。

數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合。用我國著名的數學家華羅庚的一首詞來總結就是： 數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。 數缺形時少知覺，形少數時難入微。 數形結合百般好，隔離分家萬事非。切莫忘，幾何代數統一體， 永遠聯系，且莫分離。