導數在幾何中的“降維”作用

溫金榮

美國數學家波利亞（Polya）曾指出：如果一位數學老師用和學生的知識相稱的題目來激起他們的好奇心，并用一些激勵性的問題去幫助他們解答題目，那么他就能培養學生對獨立思考的興趣。由此可見，激發學生興趣，領會和理解數學思想方法，是培養學生數學意識的有效途徑。

人教版B教材選修2-2的P10上的“探究與研究”中教材編者給出的一個關于圓的面積和周長的問題，做了一些探討：研究圓面積與圓周長的關系圓面積S是半徑r的函數 ；圓周長C也是圓半徑r的函數 。利用導數的定義，一步步地求S對半徑r的導數，說出每一步的幾何意義，以及它與圓周長之間的關系，類似地討論球的體積與球面積公式的關系。

這個等式的左端描述了圓的面積S對半徑R的導數，而右邊部分就是圓周長。

它表明：圓周長公式可由圓面積對R求導而得到。其他各組公式均可類似地得到解釋。函數S的增量對自變量R的增量之比是一個半徑大于R而小于的一個圓周的長。因而，從這個意義上看來，函數S對自變量R的導數，就是以R為半徑的圓周的長。

此外，上述例子的猜想都是基于具有中心的平面或空間圖形，其面積相對于中心距離的導數等于圖形的周長，其體積相對于中心距離的導數等于圖形的表面積或側面積，不是中心距離為變量不成立。例如：正方形邊長用x表示時面積，將面積看作邊長的函數對面積求導，。

《數學課程標準》指出，應努力“發展學生的數感”，這里的“數感”即是對客觀事物和現象數學量方面的某種敏感性。我認為在教學過程中，教師要有意識地讓學生有更多的機會接觸客觀事物和現象數學量方面的數學問題，這樣學生自然地就能逐步自覺地用數學的思想、觀點和方法觀察事物、解釋現象、分析問題的習慣， 從而拓展學生的數學能力，培養學生的實踐能力和創新精神。

參考文獻：

[1]劉玉棟，傅佩仁編《數學分析講義》.