圓的切線證明的常用方法與技巧

胡玉華

摘 要：圓與生活息息相關，太陽從海平面升起，把海平面看成一條直線包含了圓與直線的三種關系，相交、相切、相離。而切線是當中最特殊的，因為只有一個交點，如地面與自行車輪胎等都是相切的實際情況，圓的切線證明方法很多，就如何證明圓的切線談談方法技巧。

關鍵詞：圓；切線；垂直；半徑

證明一條直線是圓的切線除通過交點個數判斷外，通常還有兩種情況：（1）未已知切點，用作垂直，證半徑的方法。（2）已知切點，連半徑，證垂直。下面具體說說這兩種方法的應用。

一、利用定義來證明

當題目中未出現直線與圓的交點（即切點未出現）時，我們需要過圓心作直線的垂線段，再利用定義，到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線，證明這條直線是圓的切線。

例如：利用角平分線性質證明。

例1.如圖1，△ABC中AB=AC，D是BC邊的中點，以點D為圓心的圓于AB相切于點E，求證：AC與⊙D相切。

分析：本題中，AC與圓的交點未告知，即不知道切點，所以需要作垂直，通過角平分線性質證明d=r，得出AC是⊙D的切線。

證明：連AD，DE，過D作DF⊥AC

∵AB=AC，BD=CD ∴∠BAD=∠CAD

∵AB與圓相切于點E ∴DE⊥AB

∵DF⊥AC∴DE=DF ∴DF是圓的半徑，又DF⊥AC ∴AC是圓的切線

二、運用切線的判定定理證明

1.利用角度轉化證垂直

利用角度轉化，得到角+角=90°

例2.已知：△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF。

（1）如圖2，AB為直徑，要使EF為⊙O的切線，還需添加的條件是什么（只需寫出三種情況）？

（2）如圖3，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是⊙O的切線。

分析：第一問是證明切線的最簡單情況，已經連接半徑，直接證明垂直即可。第二問在第一問的基礎上遷移，首先還是要想到連半徑證垂直，進而利用同弧所對圓周角相等進行轉化，進而證明垂直。

解：（1）①BA⊥EF；②∠CAE=∠B；③∠BAF=90°

（2）連接AO并延長交⊙O于點D，連接CD，

則AD為⊙O的直徑，∴∠D+∠DAC=90°

∵∠D與∠B同對弧AC，∴∠D=∠B，又∵∠CAE=∠B，

∴∠D=∠CAE，∴∠DAC+∠EAC=90°

∴EF是⊙O的切線

2.利用全等證垂直

例3.如圖4，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于B點，連接OC，交⊙O于點E，弦AD//OC，求證：CD是⊙O的切線

分析：要證CD為切線，就要證明∠ODC=90°，即要證明兩個三角形全等。

證明：（1）由AD//OC，得∠1=∠2

弧BD所對應圓心角和圓周角：∠BOD=2∠1

而∠BOD=∠2+∠3=∠1+∠3，則∠2=∠3又OB=OD=半徑，OC是公共邊，所以△COB≌△COD以及BC⊥AB，所以∠ODC=∠OBC=90°

即CD⊥DO于D，即CD是圓O的切線。

總之，幾何證明題目千變萬化，關鍵是掌握方法，靈活做出輔助線，合理利用判定定理，掌握好方法技巧，才能以不變應萬變，對圓的切線加以判定。

參考文獻：

[1]曹文喜.圓的切線的證明[J].考試，2004（12）.

[2]王曉峰.巧構圓解題[J].數學月刊，2005（12）.

編輯 孫玲娟