對高考模擬試題中解析幾何題的教學思考

方芹

（江蘇省連云港外國語學校）

對高考模擬試題中解析幾何題的教學思考

方芹

（江蘇省連云港外國語學校）

江蘇高考解析幾何九年中四年考圓、五年考橢圓，近兩年的難度得到有效控制，重視基本量的運算、定點、定值的探求，變量取值范圍的探求，考查學生的計算能力主要通過解幾來體現。下面這二道幾何題是我們學生的高考模擬測試題，連續二次測試效果很不理想，是什么原因導致的呢？我們有辦法解決嗎？先看下面這二道題。

題一：2015南京二模如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，直線x與橢圓E相交于A，B兩點，AB=2，C，D是橢圓E上異于A，B兩點，且直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N。

（1）求a，b的值；

（2）求證：直線MN的斜率為定值。

題二：2015南通二模如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓=1（（a＞b＞0）的兩焦點分別為且經過點。

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）設點B，C，D是橢圓上不同于橢圓頂點的三點，點B與點D關于原點O對稱，設直線CD，CB，OB，OC的斜率分別為k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4.

①求k1k2的值；

②求OB2+OC2的值。

我們如何幫助學生攻克這個難題呢？我們可以采用淺入—聯系—研透—回首的教學模式，通過問題串探究，采用由特例到一般，由正向思考變為逆向思考，從課本中的一個簡單習題開始變式設計，一題多用、一題多變，由淺入深，體現梯度，形成系統，使不同程度的學生都有所發展，重在思維訓練。在知識應用過程中，讓學生體會試題編制的大致方法，體會到高考題源于課本，高于課本的理念，消除對高考題的神秘感和畏難情緒，使學生形成有效的復習策略。通過探究從而得到橢圓的一些性質，我設計了如下問題串：

問題：在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），直線AB，AC的斜率之積為，求頂點A的軌跡方程（課本題）。

探究1：設B（-a，0），C（a，0）a＞0，直線AB，AC相交于點A，且它們的斜率之積為

通過課本題的探究，我們現在可以解決開頭的兩道模擬試題嗎？對于題一之前不會做的原因是不會從這么多線中理出頭緒，而現在學生利用探究2的結論知道如何下手：分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論。當直線斜率存在時，不妨設CA，DA的斜率分別為k1，k2，將其他未知參數均用k1，k2表示，最后計算出kMN=-1。故證得直線MN的斜率為定值-1。對于題二有了上面問題的探究學生很容易解決問題（2）B（x1，y1），C（x2，y2），則D（x1，y1），

我們再來看一下這道高考真題能解決嗎？（11年江蘇18第3問）如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k

（3）對任意k＞0，求證：PA⊥PB

有了探究5的鋪墊，大部分學生都可以解決這道高考題，學生特別能感受到學習過程中成功的喜悅，深切地體會到高考題源于課本，高于課本，消除對高考題的神秘感和畏難情緒，使學生形成有效的復習策略。通過研究還能得到橢的哪些性質？推廣到雙曲線中這些性質還成立嗎？會得到什么樣的性質呢？

數學學習的過程與解題密切相關，數學能力的提高不僅在于解題的數量，更在于解題的質量。通過反思，明確解題思路、知識背景、方法背景等；通過比較，明確問題的一般思維出發點和問題的不同切入點，最終達到從“做快題”到“做好題。

·編輯楊國蓉