兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布的統計分析方法研究

王蓉華，徐曉嶺，顧蓓青

（1.上海師范大學 數理學院，上海200234;2.上海對外經貿大學 商務信息學院，上海201620）

兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布的統計分析方法研究

王蓉華1，徐曉嶺2，顧蓓青2

（1.上海師范大學 數理學院，上海200234;2.上海對外經貿大學 商務信息學院，上海201620）

文章首先比較了全樣本場合下兩參數BS疲勞壽命分布各種參數的點估計的優劣，認為當樣本容量較大時，用分位數估計更為方便。通過Monte Carlo模擬說明文獻[6]關于尺度參數的區間估計有可能是不存在的。

兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布；點估計；區間估計；尺度參數

0　引言

Birnbaum-Saunders模型[1]是概率物理方法中的一個重要失效分布模型，這個模型是Birnbaum和Sauders在1969年研究主因裂紋擴展導致的材料失效過程中推導出來的，這一模型在機械產品可靠性研究中應用廣泛，主要應用于疲勞失效研究，對于電子產品性能退化失效分析也有重要應用。

設X服從兩參數Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布BS(α，β)，其分布函數F(x)與密度函數分別為：

其中，α＞0稱為形狀參數，β＞0稱為刻度參數（或者稱為尺度參數），φ(x)，Φ(x)分別為標準正態分布的密度函數與分布函數，即

由于Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布是從疲勞過程的基本特征出發導出的，因此它比常用壽命分布如威布爾分布和對數正態分布更適合描述某些由于疲勞而引起失效的產品壽命規律。此分布已經成為可靠性統計分析中的常用分布之一。

1　參數的幾種點估計方法的綜合比較

1.1參數的極大似然估計（方法一）

設X1，X2，…，Xn為來自Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布總體X～BS(α，β)的一個容量為n的簡單隨機樣本，其次序觀察值為x1，x2，…，xn。

似然函數為：

化簡得僅含參數β的超越方程：

極大似然估計需要解非線性方程組,且計算較為復雜。由文獻[2]可知，當α＞2時，似然函數有多個極大值點。

1.2矩估計（方法二）

表1　100000次模擬中滿足的頻率

表1　100000次模擬中滿足的頻率

n 20 20 20 30 30 30 40 40 40 α真值0.25 0.75 1 0.25 0.75 1 0.25 0.75 1 β真值0.5 1 1 0.5 1 1 0.5 1 1頻率1.0000 1.0000 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

由此可以看出當α，β取值較小時矩估計1是可行的。

1.3矩估計（方法三）

由于X-1～BS(α，β-1)，于是可列矩方程組：

1.4逆矩估計（方法四）

由于獨立同分布，服從于N(0，1)，由逆矩估計思想建立如下方程：

化簡可得參數β，α的逆矩估計分別為：

1.5分位數估計(方法五)

1.6回歸估計方法(方法六)

孫祝嶺在文獻[3]中利用回歸分析模型，給出了參數的最小二乘估計如下：

1.7六種點估計的模擬比較

取樣本容量n=15，20，30，40，給定參數α，β真值，通過10000次模擬，分別計算其六種點估計的均值和均方誤差，模擬結果如表2所示：

表2　六種估計方法的模擬比較

續表2

從模擬結果來看，α，β真值較小的時候效果較好，并且這幾種方法的效果也相近，方法二的精度稍差些。當樣本容量n較大時，分位數估計的效果要好些，尤其是對參數α的估計較為精確，同時分位數估計計算也較為方便，適合工程應用。

例1[3]：設總體X～BS(α，β)，來自X的為10的樣本觀察值為：1401.7,2170.3,3762.9,414.0,650.7,441.0,902.8, 806.6,1292.1,760.3，計算α，β的估計值。

例2[4]：數據來自Bjerkedal(1960),也被Guptaetal(1997)分析過。數據表示幾內亞豬注射不同劑量的結核桿菌的生存時間。對于文中的養殖方法，有72個觀測值如下：

12，15，22，24，24，32，32，33，34，38，38，43，44，48，52，53，54，54，55，56，57，58，58，59，60，60，60，60，61，62，63，65，65，67，68，70，70，72，73，75，76，76，81，83，84，85，87，91，95，96，98，99，109，110，121，127129，131，143，146，146，175，175，211，233，258，258，263，297，341，341，376.

例3[5]：碳纖維的破壞應力（GPa）如下所示：

2　文獻[6]關于參數β的區間估計的討論

設X1，X2，…，Xn為來自Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布總體X～BS(α，β)的一個容量為n的簡單隨機樣本，其次序觀察值為x1，x2，…，xn。

又：

則針對函數 g2(β)，存在 β0＞0，且當0＜β＜β0時，g2(β)＜0；當β＞β0時，g2(β)＞0

記：

也即，當0＜β＜β0時嚴格單調下降；當β＞β0時嚴格單調上升。

表3　1000次Monte Carlo模擬比較

[1]Birnbaum Z W,Saunders S C.A New Family of Life Distribution[J]. Appl.Prob,1969,(6).

[2]王炳興,王玲玲.Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布的參數估計[J].華東師范大學學報,1996,(4).

[3]孫祝嶺.Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布參數的回歸估計方法[J].兵工學報，2010，31(9).

[4]Kundu D,Kannan N,Balakrishnan N.On the Hazard Function of Birnbaum-Saunders Distribution and Associated Inference[J].Compu?tational Statistics&Data Analysis,2008,(52).

[5]Gauss M,Cordeiro A.Lemonte J.TheβBirnbaum-Saunders Distribu?tion:An Improved Distribution for Fatigue Life Modeling[J].Computa?tional Statistics and Data Analysis.2011,(55).

[6]孫祝嶺.Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布尺度參數的區間估計[J].兵工學報，2009，30（11）.

（責任編輯/易永生）

O212

A

1002-6487（2016）22-0027-04

國家自然科學基金資助項目（11671264）；全國統計科學研究計劃重點項目（2013LZ08）；上海市教育委員會科研創新一般項目（14YZ080）

王蓉華（1972—），女，上海人，博士，副教授，研究方向：應用統計。