巧用數學思想方法學習一元一次方程

何春華

巧用數學思想方法學習一元一次方程

何春華

數學思想方法是數學的靈魂，是解決數學問題的金鑰匙.一元一次方程的知識中蘊含了許多數學思想方法，大家在掌握基礎知識的同時，還應注意對數學思想的提煉、總結，從而提高解題的能力.下面，我們舉例分析一元一次方程內容中的方法策略，供同學們參考.

一、三個基本思想+一個解題策略

1.整體思想

當一個問題中未知數較多，逐個求解比較復雜，或不能求解時，可將其中滿足某一共同特性的式子看作一個整體求解.這樣既便于列方程，又便于解方程.

【分析】本題可以直接去括號求解，但似乎有點繁瑣，如果將（7x-5）看作一個整體，則求解時能更方便些.

【點評】有些方程，可以將一部分式子聯系起來，先看成一個整體，把方程看成這個整體的一元一次方程，從而減少了方程的項數，使求解簡便.

例2有一個八位的電話號碼，前四位數字完全相同，從第四位到第八位是依次減小的連續自然數，全部數字之和恰好等于號碼的最后兩位數字組成的兩位數（兩位數字的前后順序不變），請寫出這個電話號碼.

【分析】本題前四位數字完全相同，且它們與后四位數字有聯系，不妨將前四位數字設出來，這樣便于列方程求解.

解：設前四位數字均為x，則后四位數字依次為x-1，x-2，x-3，x-4.

由題意得：4x+x-1+x-2+x-3+x-4=10（x-3）+x-4，解得x=8.

所以x-1=7，x-2=6，x-3=5，x-4=4，

答：這個電話號碼是88887654.

【點評】本題若逐個設出各位數字，則未知數過多，不易列出方程，但從整體考慮，視前四位數字為一個整體，則方便簡捷.希望同學們能認真體會.

2.轉化思想

轉化思想就是將復雜的問題轉化為簡單的問題，將生疏的問題轉化為熟悉的問題，將未知化為已知.解一元一次方程就是將方程的最終形式轉化為“x=a”.

【分析】本題分母中出現小數，給解方程帶來了麻煩，通過觀察發現，其分子也有小數，可利用分數的基本性質，將分子分母都乘10，化簡方程求解.

去分母，得3（4x+9）=5（2x+3）+15.

去括號，得12x+27=10x+15+15.

移項，得12x-10x=15+15-27，

【點評】本章的轉化思想主要體現在將復雜的一元一次方程通過去分母、去括號等過程，轉化為一元一次方程的最簡形式求解，以及將實際問題轉化為用一元一次方程求解.

3.分類討論思想

分類討論思想，是一種把問題中可能出現的多種情況分類討論進而解決問題的策略，運用這種策略可完整獲取問題的答案.

例4A、B兩地相距450千米，甲、乙兩車分別從兩地同時出發，相向而行.若甲車的速度是120千米/時，乙車的速度是80千米/時，問經過多長時間甲、乙兩車相距50千米？

【分析】題目中甲、乙兩車相距50千米，有兩種可能：一種是兩車相遇前兩車相距50千米，另一種是兩車相遇后，再行駛一段時間，兩車還會相距50千米，所以本題應分兩種情況討論.

解：設經過x小時兩車相距50千米.

若兩車相遇前相距50千米，由題意得：120x+80x=450-50，解得x=2；

若兩車相遇后相距50千米，由題意得：120x+80x=450+50，解得x=2.5.

答：經過2小時或2.5小時兩車相距50千米.

【點評】本章中的分類討論思想主要體現在解決實際應用問題上，如行程類問題中對位置、距離的分類討論，公園售票時根據人數不同而售價不同時的分類討論，希望同學們能注意收集并整理涉及這類數學思想的內容.

4.挖掘隱含條件

例5在長方形ABCD中，放入六個形狀、大小相同的長方形，所標尺寸如圖所示，求小長方形的長和寬.

【分析】觀察圖形可知有如下兩個數量關系：①小長方形的長+3個小長方形的寬= 14cm；②2個小長方形的寬+6cm=小長方形的長+1個小長方形的寬.我們借助①設出未知數，根據②列出方程求解.

解：設小長方形的寬為xcm，則小長方形的長為（14-3x）cm，由題意可得：2x+6=（14-3x）+ x，解得x=2，所以14-3×2=8.

答：小長方形的寬為2cm，長為8cm.

【點評】本題通過觀察、分析，將隱含在圖形中的數量關系挖掘出來，即將圖形的有關信息轉化為數量關系，進而列出方程解決問題.

二、設元的三個方法

1.直接設未知數

當題目中的數量關系能用所求的未知量表示時，不妨直接設未知數，即求什么設什么，這是設未知數常用的方法.

例6某學校組織學生去秋游，從學校出發去風景點A參觀游覽，在A風景點停留1小時后，又繞道去風景點B，再停留半小時后返回學校，去時的速度是5千米/時，回來的速度是4千米/時，來回（包括停留時間在內）共用去6小時30分鐘.回來時因為繞道關系，路程比去時多2千米，求去時的路程.

【分析】本題看起來比較麻煩，分析后發現，題目里要求的只有一個未知量，就是去時的路程.題目的等量關系是：去時的時間+回來的時間+停留時間=共用的時間，以上“量”都可以用去時的路程表示.

解：設去時的路程為x千米，那么回來時的路程為（x+2）千米，去時路上所需時間為小時，回來時路上所需時間為小時.

解得x=10.

答：去時的路程為10千米.

【點評】本題抓住了“去時的路程”與“各個時間”的關系，直接設出未知數，問題順利得解，看來，分析題目中的數量關系是解題的關鍵.

2.間接設元

即所設的不是所求的，適當選擇與所求的未知數有關的某個量為未知數，則易找出符合題意的數量關系，從而得到方程.

例7李偉從家里騎摩托車到火車站，如果每小時行30千米，那么比火車開車時間早到15分鐘；若每小時行18千米，則比火車開車時間遲到15分鐘.現在李偉打算在火車開車前10分鐘到達火車站，求李偉此時騎摩托車的速度應該是多少？

【分析】本題中所求值，不容易直接從中尋找關系，但注意從家到火車站的路程和距火車開車的時間為定值，這時可以用“退一步”的方式先求出某定量，則其他關系就會迎刃而解.

解：設李偉家到火車站的路程為x千米，則由火車開車時間固定這一等量關系，可簡便得

答：李偉此時騎摩托車的速度為27千米/時.

【點評】本題利用火車“規定”的時間為相等關系建立方程求解，屬于間接設未知數的方法，希望同學們認真體會這種解題思想.

3.輔助設元

在一些較復雜的實際問題中，當出現的未知量較多，并且有時看起來似乎缺少條件時，可考慮設輔助未知數，在已知條件和所求解的問題之間“牽線搭橋”，從而能順利找出等量關系并列出方程.一般來說，輔助未知數設而不求，在解題過程中會自行消去.

例8某公司生產普通汽車和新能源汽車，該公司在去年的汽車產量中，新能源汽車占總產量的10%，今年由于國家能源政策的導向和油價上漲的影響，計劃將普通汽車的產量減少10%，為保持總產量與去年相等，求今年新能源汽車的產量應增加的百分數.

【分析】在求解今年新能源汽車的產量應增加的百分數時，需要的是去年的汽車生產總量.因此設今年新能源汽車的產量應增加的百分數為x的同時，還應設去年的汽車生產總量為a，根據“今年總產量與去年相等”列出方程求解.

解：設去年的總產量為a，今年新能源汽車的產量應增加的百分數為x，則去年普通汽車和新能源汽車的產量分別為90%a和10%a，今年的普通汽車和新能源汽車的產量分別為90%a（1-10%）和10%a（1+x），根據題意列方程，得90%a（1-10%）+10%a（1+x）=a，解得x= 0.9=90%，所以今年新能源汽車的產量應增加的百分數為90%。

【點評】對于一些較復雜的問題，往往條件隱含關系交錯.這時不妨引入輔助未知數，在已知量和未知量之間架起一座“橋梁”，方便理順各個量之間的關系，列出方程.而所設輔助未知數在解題過程中會被消去，即滿足輔助未知數“設而不求”的特點.

（作者單位：江蘇省海門市實驗初級中學）