RLN衰落下D-MIMO系統遍歷容量上邊界

王詠平,曹漢強,王安穩

(1.華中科技大學電子信息與通信學院,湖北武漢 430074; 2.海軍工程大學理學院,湖北武漢 430033)

RLN衰落下D-MIMO系統遍歷容量上邊界

王詠平1,曹漢強1,王安穩2

(1.華中科技大學電子信息與通信學院,湖北武漢 430074; 2.海軍工程大學理學院,湖北武漢 430033)

針對空域雙邊相關同時存在、收發天線數量不受限制的RLN衰落下的分布式多輸入多輸出系統,分析和提出了解析的系統遍歷容量的上邊界.通過子矩陣展開等方法構造出新的不等式,在對上述系統模型的遍歷容量邊界分析中,解決了對大尺度衰落矩陣和小尺度衰落矩陣的統計分析無法分離的問題.當系統接收端天線數量大于或小于等于發送端時,在低信噪比到高信噪比的范圍內,上邊界均非常接近遍歷容量.這一結論由不同空域相關系數下的仿真試驗所證實.當分布式系統的收發端站點數量均為1時,模型退化為點對點多輸入多輸出系統,該上邊界變為空域雙邊相關Rayleigh衰落下多輸入多輸出系統遍歷容量的上邊界.

通信系統;衰落信道;多輸入多輸出;分布式系統;遍歷容量

目前,基于不同的空域相關性假設和不同的衰落類型假設,眾多研究[1-2]廣泛探討了點對點多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)系統的信道容量.近來,關于分布式多輸入多輸出(Distributed Multiple-Input Multiple-Output,D-MIMO)系統的研究正在增加.該系統同時具有MIMO系統的微觀分集增益(空間多路增益)和分布式天線系統的宏觀分集增益.D-MIMO系統與點對點MIMO系統的本質區別在于它將MIMO無線信道一端的天線劃分為空間上分離的多個無線端口.于是,經由不同傳播路徑,各無線連接具有不同的路徑損耗及陰影效應(大尺度衰落).這一點與傳統點對點MIMO系統不同,對D-MIMO系統的分析帶來困擾.由此,只有少量研究工作分析組合衰落(小尺度衰落和大尺度衰落)對D-MIMO系統信道容量的影響[3-8].

為了便于分析D-MIMO系統遍歷容量,一些研究采用Gamma分布或逆高斯(Inverse-Gaussian,IG)分布作為經典lognormal分布的近似[3-5]來刻畫陰影效應.但是,這些近似方法并不能精確描述lognormal分布.為了更精確地描述D-MIMO系統的Rayleigh/lognormal信道模型,文獻[8]使用Gauss-Hermite多項式求出了系統傳輸總速率的數值近似解.文獻[6]給出了接收端使用迫零(Zero Fording,ZF)接收器、僅接收端空間相關性存在并且接收天線數量不小于發送天線數量時,系統傳輸總速率的上下邊界.當空域雙邊相關同時存在時,文獻[7]僅給出了接收與發送天線數量相等時的遍歷容量下邊界.

與文獻[6-8]不同,筆者提出的系統模型為任意收發天線數量下空域雙邊相關(接收相關與發送相關)同時存在時Rayleigh/Lognormal衰落下的D-MIMO系統.并且在該模型中,收發端天線數量的對比關系不受限制.文中通過子矩陣展開等方法,構造出一個新的不等式,再通過對復二次型分布和對數正態分布的分析,給出了解析的遍歷容量上邊界.由于采用了以上方法,筆者解決了文獻[6-8]沒有解決的關于雙邊相關同時存在且收發端天線數量不受限制時,信道容量邊界分析中對大尺度衰落矩陣和小尺度衰落矩陣的統計分析無法分離的問題.

1　系統模型

設定一個D-MIMO系統,系統接收端有NR根天線,發送端有L個發送節點,每個節點有NT根天線.系統中輸入輸出關系表示為

其中,HW的元素獨立同分布(independent identically distributed,i.i.d.),而且HW的元素服從均值為0、方差為1的正態分布(CN(0,1)).RR和RT為接收相關矩陣與發送相關矩陣,這兩個矩陣均為復對稱的正定矩陣.由于L個發送節點在空間上分離,發送相關僅存在于同一節點的天線之間.這一模型稱為Kronecker模型.在式(1)所表示的系統中,僅接收端已知信道狀態信息(Channel Statement Information,CSI),因此發送功率被平均分配到每根發送天線.

其中,Dm(m=1,…,L)表示發送端第m個節點與接受端的距離.而v是路徑損失指數,其取值范圍通常為2至6.在文中,Ξ表示的大尺度衰落服從對數正態分布[6-8],ξm的概率密度函數為

其中,η=10/ln10,μm/η為lnξm的均值,σm/η為lnξm的標準差.

2　遍歷容量上邊界

2.1遍歷容量

在式(1)所表示的系統中,僅接收端已知信道狀態信息,因此發送功率被平均分配到每根發送天線.于是,根據式(1)、(2)和文獻[1]給出的結論可知,D-MIMO系統式(1)的遍歷容量為

2.2行列式的展開

其中,τk={l1,…,lk}∈{1,…,n},且l1＜…＜lk.k階矩陣Sτk由位于矩陣S第l1,…,lk行l1,…,lk列的元素構成.

2.3當NR＞LNT時的上邊界

當收端天線數量大于發端,即NR＞LNT時,由式(6)給出的行列式展開式,文中將信道遍歷容量式(5)展開,再由log(1+x)的凹凸性,和Jensen不等式推導出下列不等式: k

2.4當NR≤LNT時的上邊界

當接收端天線數量小于等于發端,即NR≤LNT時,根據式(6)給出的行列式展開式,將信道遍歷容量式(5)展開,再由不等式的凹凸性及Jensen不等式得出

其中,ζk={h1,…,hk}∈{1,…,NR},且h1＜…＜hk.式(9)中,E分別由下文式(12)、(15)和(17)給出,將其代入式(9),求出NR≤LNT時信道遍歷容量上邊界為

其中,nki為中屬于集合{(i-1)NT+1,…,iNT}的元素的數量,,超幾何函數21(·)的值由下文式(18)給出.

3　遍歷容量上邊界的分量

由文獻[10]可知,若矩陣x∈Cp×n滿足x～Np,n(0,Σ?In),n≥p,則S=XXH服從Wishart分布,其概率密度函數為

由文獻[10]知,若矩陣X∈Cp×n滿足X～Np,n(0,Σ?In),n≥p,則二次型S=XA XH概率密度函數為

超幾何函數定義為

由于ξm服從對數正態分布,根據式(4)給出的概率密度函數,ξam的期望值為

將集合τk={l1,…,lk}∈{1,…,LNT},l1＜…＜lk中屬于集合{1,…,NT},{NT+1,…,2NT},…, {(L-1)NT+1,…,LNT}的元素的數量,分別記為nk1,nk2,…,nkL.于是,由式(4)、(16)導出

3.4關于超幾何函數的推論

根據超幾何函數的定義及性質,文中導出式(8)、(10)和式(15)中的超幾何函數的計算方法[11]為

4　仿真試驗

通過一組Monte-Carlo仿真來驗證前文理論分析的正確性.首先,按式(2)和式(3)分別產生10 000組小尺度衰落矩陣H和大尺度衰落矩陣Ξ的實現.然后,按式(5)進行仿真以獲得遍歷容量.

前文已經說明,發送相關僅存在于同一節點的天線之間.因此有,其中RT,m描述第m個發送節點天線間的空域相關性.RT,m的i行j列元素,其中ρT,m=exp(-d),d表示相鄰天線之間經由波長歸一化后的距離.接收相關矩陣RR的i行j列元素{RR}i,j=.仿真試驗中,取θT,m=0(m=1,…,L),θR=0[6-7].該設置與文獻[7]中的相同.上述模型稱為指數模型.

仿真試驗中,大尺度衰落矩陣Ξ的參數設定為:μm=2 d B,σm=2 dB,D1=1 200 m,D2=1 500 m, D3=1 800 m.

仿真試驗中,3組仿真結果分別在圖1至圖4中給出.

圖1　Monte-Carlo仿真的遍歷容量和上邊界1

圖2　Monte-Carlo仿真的遍歷容量和上邊界2

(1)在圖1對應的仿真試驗中,設定ρT,m=ρR=0.3.發送端天線數量L=3,NT=3.接收端天線數量分別取NR=2,NR=6,NR=12,它們分別對應NR＜NT,NT≤NR≤LNT,NR＞LNT的情況.

(2)在圖2、圖3對應的仿真試驗中,取L=3,NT=3,NR=6,ρT,m=ρR=0.3/0.1.再取L=3,NT=3, NR=12,ρT,m=ρR=0.6/0.1,以驗證不同接收端相關系數下遍歷容量上邊界的正確性.圖3是圖2的局部放大,兩圖具有相同的仿真設置,區別僅在于顯示的信噪比范圍不同.

圖3　Monte-Carlo仿真的遍歷容量和上邊界3

圖4　Monte-Carlo仿真的遍歷容量和上邊界4

在圖1至圖4中,實線描述的是用Monte-Carlo方法得到的遍歷容量;虛線描述的是文中在式(8)、(10)中給出的遍歷容量上邊界.從試驗結果中可以看到,隨著相關性的增加,信道容量相應降低,這對應了分集效率的降低.隨天線數量增加,信道容量上升,這對應了分集效應的增強.從圖1至圖4可以看出,在各種情況下,容量上邊界均非常接近遍歷容量.從圖4可以看出,當系統退化為空域雙邊相關Rayleigh衰落下的點對點MIMO時,即Ξ=I時,文中給出的上邊界依然精確.從而驗證了文中給出的遍歷容量上邊界的有效性.

5　結束語

對于空域雙邊相關同時存在時,Rayleigh/Lognormal衰落下分布式MIMO系統的遍歷容量,文中給出了一個解析的上邊界.當接收端天線數量大于或小于等于發送端時,在不同的收發端空域相關程度下,在低信噪比到高信噪比的全范圍內,文中推導出的容量上邊界均非常接近遍歷容量.這一結論由仿真試驗得以證實.當發送節點數量為1時,系統退化為點對點MIMO系統,容量上邊界變為空域雙邊相關Rayleigh衰落下點對點MIMO系統的遍歷容量上邊界.此時,結果依然精確.

[1]TELATAR I E.Capacity of Multi-antenna Gaussian Channels[J].Europe Transactions on Telecommunication,1999, 10(6):585-595.

[2]龐繼勇,李建東,楊克虎.相關信道下MIMO-OFDM系統的各態歷經容量公式[J].西安電子科技大學學報,2006,33 (4):563-568. PANG Jinyong,LI Jiandong,YANG Kehu.ErgodicCapacity Formula for MIMO-OFDM Systems under Correlated Fading Channels[J].Journal of Xidian University,2006,33(4):563-568.

[3]BITHAS P S,RONTOGIANNIS A A.Mobile Communication Systems in the Presence of Fading/Shadowing,Noise and Interference[J].IEEE Transactions on Communications,2015,63(1):1-14.

[4]NAGESH K N,SATYANARAYANA D,MADHAVA P S,et al.Statistical Analysis of MIMO Scheme under Nakagami-m Fading Channels[C]//IEEE International Conference on Advanced Communication Technology.Piscataway:IEEE,2014: 255-259.

[5]ZHAO O,MURATA H,YOSHIDA S.Channel Capacity of Distributed MIMO Antenna Systems under the Effect of Spatially Correlated Shadowing[C]//IEEE 78th Vehicular Technology Conference.Piscataway:IEEE,2013:6692127.

[6]MATTHAIOU M,ZHONG C J,MCKAY M R,et al.Sum Rate Analysis of ZF Receivers in Distributed MIMO Systems[J].IEEE Journal on Selected Areas in Communications,2013,31(2):180-191.

[7]MATTHAIOU M,CHATZIDIAMANTIS N D,KARAGIANNIDIS G K.A New Lower Bound on the Ergodic Capacity of Distributed MIMO Systems[J].IEEE Signal Processing Letters,2011,18(4):227-230.

[8]PARK M,CHAE C E,HEATH,R W.Ergodic Capacity of Spatial Multiplexing MIMO Channels with Log-normal Shadowing and Rayleigh Fading[C]//IEEE International Symposium on Personal Indoor Mobile Radio Communications. Piscataway:IEEE,2007:375-379.

[9]LOVITT W V.Linear Integral Equations[M].New York:Dover,1950:24-25.

[10]KHATRI C G.On Certain Distribution Problems Based on Positive Definite Quadratic Functions in Normal Vectors[J]. The Annals of Mathematical Statistics,1966,37:468-479.

[11]ORLOV A Y.New Solvable Matrix Integrals[J].Acta Science of Mathematics,1997,63:383-395.

(編輯:王 瑞)

Upper bound on the ergodic capacity of D-MIMO systems in double-sidedcorrelated Rayleigh/Lognormal fading channels

WANG Yongping1,CAO Hanqiang1,WANG Anwen2
(1.School of Electronic Information and Communications,Huazhong Univ.of Science&Technology, Wuhan 430074,China;2.College of Science,Naval Univ.of Engineering,Wuhan 430033,China)

An analytical upper bound is presented for the ergodic capacity of distributed multiple-input multiple-output(D-MIMO)systems operating in Rayleigh/Lognormal fading with double-sided spatial correlation.A new inequality is constructed by sub-matrix expansion,and then the difficulty in averaging the channel eigen-statistics over the shadowing distribution is resolved.The proposed upper bound is applicable for the arbitrary number of receive and transmit antennas and remains tight over the entire Signalto-Noise regime.The validity of the conclusion is verified by compu-ter simulation.When the number of receive and transmit nodes is one,the lower bound reduces to the bound on the ergodic capacity of point to point MIMO systems operating in Rayleigh/Lognormal fading with double-sided spatial correlation.

communication systems;fading channels;MIMO;distributed system;ergodic capacity

TN928

A

1001-2400(2016)04-0111-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.04.020

2015-03-31 網絡出版時間：2015-10-21

王詠平(1975-),華中科技大學博士研究生,E-mail:wang__yongping@163.com.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20151021.1046.040.html