電氣化鐵道牽引供電系統加窗插值法的諧波分析

陳佳興，楊劍鋒

(蘭州交通大學自動化與電氣工程學院，蘭州 730070)

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電氣化鐵道牽引供電系統加窗插值法的諧波分析

陳佳興，楊劍鋒

(蘭州交通大學自動化與電氣工程學院，蘭州 730070)

傳統電氣化鐵道牽引供電系統的諧波分析方法受頻譜泄漏和柵欄效應的影響，不能準確地得到諧波相關參數。為此，提出一種采用加六項優化余弦組合自卷積窗和四譜線插值結合的新算法對諧波進行分析。首先采用復調制細化法分析信號中基波頻率附近的諧波成份，剩余信號加窗處理，利用離散傅里葉變換找出諧波頻點附近相應離散頻譜的4根峰值譜線，利用插值算法對電氣化鐵道牽引供電系統中諧波相關參數頻率、幅值及相位進行加權修正并推導出計算公式，從而進一步提高分析結果的準確性。

電氣化鐵道；諧波分析；余弦組合自卷積窗；四譜線插值；離散傅里葉變換；復調制細化法

隨著我國電氣化鐵道的迅猛發展，電氣化鐵道作為高壓單相非線性負載，是引起電力系統諧波的主要污染源之一，使電能質量日益惡化，影響系統安全運行[1-5]，準確地檢測與分析出電氣化鐵道牽引供電系統中諧波參數和諧波實際運行情況顯得尤為重要。而現有的分析方法受頻譜泄漏和柵欄效應的影響，使分析出的結果不準確[6-10]。頻譜泄露主要利用加窗函數來減小影響，而柵欄效應主要利用數學插值法來減小誤差[11-13]。

據此，為進一步減小誤差，提高檢測和分析的準確性，提出了一種采用加六項優化余弦組合自卷積窗和四譜線插值結合的新算法對諧波進行分析。首先采用復調制細化法(zoomed FFT， ZFFT)對信號中頻率間隔較近的諧波成份進行分析，然后將剩余信號加六項優化余弦組合自卷積窗處理，并對加窗后的信號進行離散傅里葉變換得到離散頻譜，找出相應的峰值譜線，最后利用四譜線插值算法對諧波相關參數進行加權修正，從而獲得較為準確的諧波參數，由此可以進一步的提高檢測諧波頻率、幅值和相位的準確度，使其具有較好的實用價值和應用價值[14，15]。

1 窗函數的選擇

余弦組合窗函數表示為

(1)

一般情況下N?1，可得優化余弦組合窗的離散傅里葉變換(DFT)簡化表達式為

(2)

優化余弦組合自卷積窗定義為若干個相同的余弦組合窗進行時域卷積運算，即

(3)

式中，p為自卷積余弦組合窗的個數，稱為優化余弦組合自卷積窗的階數。長度為N的窗經過p-1階自卷積運算得到長度為Nc=pN-p-1的序列，在卷積序列前后補零，即可得到p階優化余弦組合自卷積窗，其長度為Nc=pN。

根據卷積定理可知，函數在時域的卷積相當于函數在頻域的相乘，所以p階優化余弦組合自卷積窗的頻域表達式為

(4)

其中，W(ω)如式(2)所示。

p階優化余弦組合自卷積窗主瓣寬度表示為

(5)

旁瓣峰值電平表示為

(6)

旁瓣衰減速率表示為

(7)

所以，2階優化余弦組合自卷積窗的頻域表達式可表示為

(8)

由此可得：MLBW=24π/N，PSL=-196(dB)，DSL=132(dB/oct)

由表1和圖1可以看出，在序列長度相同時，雖然此時6項優化余弦組合窗的主瓣較寬，但其旁瓣特性優越。當p=2時，6項優化余弦組合2階自卷積窗與原始余弦組合窗主瓣寬度相同，但其旁瓣抑制特性更強。因此，在保證采樣長度的前提下，選擇主瓣較寬的窗函數，來得到較好的旁瓣抑制特性。所以本文選擇旁瓣峰值電平最低，最快速下降的6項優化余弦組合2階自卷積窗作為窗函數進行加窗計算，來抑制諧波間頻譜泄漏的影響。

表1 余弦組合窗函數的性能參數比較

圖1 余弦組合自卷積窗函數時域和頻域幅度特性曲線

2 復調制細化法原理

復調制細化法的原理如圖2所示。

圖2 復調制細化法原理流程

(1)確定中心頻率和選抽比

設分析頻帶起始頻率為f1、截止頻率為f2，采樣頻率為fs，當在頻帶(f1～f2)范圍內作頻率細化分析時，則中心頻率fe=(f1+f2)/2。設復解析帶通濾波器的帶寬為fs/D，分析頻帶寬度為f2-f1，則選抽比D=fs/(f2-f1)。

(2)構建復解析帶通濾波器

首先構建一個實低通濾波器hL(n)，其帶寬為fs/2D，幅頻特性如圖3所示，沖擊響應函數為

(9)

然后將該低通濾波器進行復移頻，將通帶的中心頻率由0移至ωe，從而得到帶寬為fs/D的復解析帶通濾波器h(n)，其沖擊響應函數為

(10)

由此可知，復解析帶通濾波器的沖擊響應函數為復數，其理想幅頻特性如圖4所示。

實部表達式為

(11)

虛部表達式為

(12)

其中，ω0=2π(f1-f2)/2，ωe=2π(f1+f2)/2。

圖3 實低通濾波器幅頻特性

圖4 復解析帶通通濾波器幅頻特性

(3)選抽濾波

設選抽比為D，選抽出N個點，且只對選抽的這N個點進行復解析帶通濾波。經選抽濾波后使信號變成在頻帶(f1～f2)范圍內的復信號。

(4)復調制移頻

(5)FFT分析

不需要作頻率調整，直接作FFT分析就可以得到N條獨立的細化譜線。

3 四譜線插值原理

設x(t)是由基波、諧波組合而成的復雜電氣化鐵道供電系統的信號，以采樣頻率fs對信號進行等間距采樣，得到的離散時間信號為

(13)

式中，m表示諧波次數；Am和φm表示第m次諧波的幅值和相位；f0表示基波頻率；fs表示采樣頻率。

首先將采樣信號經復調制細化法對基波附近頻率間隔較近的諧波成份進行分析，然后將原信號減去該諧波信號，得到剩余信號的表達式為

(14)

對剩余信號所加的窗函數表示為w(n)，則對式(14)加自卷積窗處理，可得到xw(n)=x*(n)w(n)，加窗后信號的離散傅里葉變換為

(15)

式中，fm為第m次諧波頻率。

忽略式(15)中第2項負頻點-fm處頻譜峰值的旁瓣影響并進行離散化，那么在正頻點fm附近的頻譜函數DFT表示為

(16)

式中，Δf=fs/N；fm=kmΔf；N為數據截斷長度；W(·)為窗函數頻譜的表達式。

為了便于分析，本文以某第m次諧波進行分析，根據式(16)，令

(17)

設峰值頻率kmΔf附近4條譜線的頻率分別為k1Δf、k2Δf、k3Δf、k4Δf，則有k1

假設

(18)

令r=2y2+y1，s=2y3+y4，則

(19)

其中，y1、y2、y3、y4的值可以通過傳統的FFT算法獲得，即幅值比β也就可以確定了。當N較大時，式(18)一般可以簡化為β=g(δ)，其反函數記為δ=g-1(β)，當窗函數w(n)為實系數時，其幅頻響應W(2πf)為偶函數，所以函數g(·)及其反函數g-1(·)都是奇函數，因而δ=g-1(β)只含有奇次項，其表達式為

(20)

式中，c1，c3，…，c2λ+1為2λ+1次逼近多項式的奇次項系數。

求得δ后，可以求出實際信號的頻率為

(21)

信號的幅值和相位也能夠由關于δ的相應修正函數計算求出。為了更加準確地計算出實際信號的幅值和相位，需要將y1、y2、y3、y4進行幅值修正，通過對這4根譜線的幅值進行加權平均來計算出實際的峰值點的幅值，距離峰值頻率最近的2根譜線所含有的信號幅值信息量最大，所以計算時應給予這2根譜線更大的加權值，經過對比試驗，得出這4根譜線加權值分別為1，2，2，1。

(22)

對于一般的實系數窗函數，當N較大時，式(22)可表示為

(23)

其中u(·)為偶函數，其結果中不含奇次項，則Am可以表示為

(24)

式中，a0，a2，…，a2l為2l次逼近多項式的偶次冪系數。

信號的相位由式(17)可得

(25)

6項優化余弦組合窗函數的DFT表達式為

(26)

結合式(8)、式(22)和式(26)可得

(27)

(28)

(29)

將式(27)～式(29)代入式(18)～式(20)和式(22)～式(24)，得到β=g(δ)的逼近式β=G(δ)和Am=N-1(y2+2y1+2y3+y4)u(δ)的逼近式。令δ在(-0.5，0.5)內取一組值，對δ=G-1(β)和u(δ)用Matlab多項式擬合函數ployfit進行擬合，擬合多項式次數為7次，最后得到δ=G-1(β)和u(δ)的系數修正公式為

δ=0.642 403 11β+0.053 125 31β3+

(30)

u(δ)=1.524 012 16+0.114 051 32δ2+

(31)

頻率修正公式為

(32)

幅值修正公式為

(33)

相位修正公式為

(34)

4 仿真與驗證

仿真信號采用的模型為

(35)

式中，基波頻率f0為50 Hz；采樣頻率fs為1 600 Hz；采樣點N取1 024。

復解析帶通濾波器中心頻率fe為50 Hz，選抽比D為100，濾波器半階數M為100。本文設置仿真信號各次諧波成分的幅值及相位如表2所示。

為驗證本文提出算法的準確性和有效性，針對直接FFT法、雙譜線和三譜線優化余弦窗算法在電氣化鐵道的諧波參數分析。不同加窗插值算法測量出各次諧波幅值和相位的相對誤差(%)如表3和表4所示。圖表中采用的算數符號a·E-b表示為a×10-b，其中a與b為常數。

表2 仿真信號的構成

表3 不同加窗插值算法對應的幅值相對誤差比較 %

表4 不同加窗插值算法對應的相位相對誤差比較 %

由圖5可以看出，信號直接采用離散傅里葉變換進行分析受頻譜泄露影響嚴重，圖6說明通過簡單加窗插值法在存在于基波頻率間隔較近的諧波成分時不能較為準確分析出諧波成份，并且基波成份的幅值受臨近諧波能量泄漏的影響明顯增大，同時出現了原有信號不存在的頻率為228.9 Hz虛假諧波成份。圖7和圖8為采用6項優化余弦組合自卷積窗四譜線插值頻譜細化法的頻譜分析圖，可以看出較為準確的分析出諧波成分。

圖5 直接FFT法的頻譜

圖6 加窗插值法的頻譜

圖7 頻率間隔較近的頻譜

圖8 剩余信號加窗后的頻譜

通過以上的比較可以看出本文選擇的6項優化余弦組合自卷積窗具有比較好的綜合性，另外本文采用的四譜線插值法也提高了修正公式的準確度，并且能夠分析出頻率間隔較近的諧波成份，因此在對信號的各次諧波的幅值和相位的檢測中都有了明顯的改善，幅值相對誤差集中在10-6左右，相位相對誤差集中在10-5左右，相比其他方法提高了1～2個數量級，總體來說本文提出的方法在諧波的檢測中相比已有方法具有較高的準確度，能夠獲得準確的諧波參數分析的結果。

5 結語

為了減小諧波分析時由于頻譜泄漏和柵欄效應引起的誤差，提出了一種采用加6項優化余弦組合自卷積窗和四譜線插值結合的新算法對諧波進行分析，首先采用復調制細化法對采樣信號頻率間隔較近的諧波成份進行分析，將剩余信號加窗處理后經離散傅里葉變換找出相應的峰值譜線，推導出了基于加窗四譜線插值算法的諧波參數加權修正公式。最后本文還與直接FFT算法、雙譜線優化余弦窗和三譜線優化余弦窗算法在電氣化鐵道牽引供電系統中的諧波進行了仿真驗證對比分析。仿真結果表明：本文提出的算法對電氣化鐵道牽引供電系統的諧波分析具有更高的準確性，可以有效地抑制頻譜泄漏和柵欄效應，減小虛假成分的存在，具有較高的實用和應用價值。

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Harmonic Analysis of Adding Window Interpolation Method in Electrified Railway Traction Power Supply System

CHEN Jia-xing， YANG Jian-feng

(School of Automation and Electrical Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China)

The traditional harmonic analysis method is influenced by frequency spectrum leakage and fails to obtain accurately the harmonic related parameters in the electrified railway traction power supply system. This paper proposes an approach for power network harmonic analysis with six optimization cosine combined self-convolution window and four-spectrum-line interpolation. The algorithm is firstly employed to analyze the harmonic components near the fundamental wave frequency with zoom fourier transform， the residual signals are processed with window and the discrete fourier transform is used to find out the corresponding four peak spectral lines of the discrete frequency spectrum near the harmonic frequency. The frequency of the related parameters of the power network harmonic， the amplitude and phase are weighted and corrected by means of interpolation algorithm to deduce calculation formula so as to improve the accuracy of analysis results．

Electrified railway; Harmonic analysis; Cosine self-convolution window; Four-spectrum-line interpolation; FFT; ZFFT

2016-03-30；

2016-05-14

陳佳興(1991—)，男，碩士研究生，從事諧波分析及其檢測技術研究，E-mail：935138124@qq.com。

楊劍鋒(1980—)，男，副教授，博士，從事先進控制技術研究。

1004-2954(2016)11-0130-05

U223

A

10.13238/j.issn.1004-2954.2016.11.029