基于螺旋理論描述的空間相對運動姿軌同步控制

朱戰霞，馬家瑨，樊瑞山

1．西北工業大學 航天學院，西安 710072 2．航天飛行動力學技術國家級重點實驗室，西安 710072

基于螺旋理論描述的空間相對運動姿軌同步控制

朱戰霞1，2，＊，馬家瑨1，2，樊瑞山1，2

1．西北工業大學 航天學院，西安 710072 2．航天飛行動力學技術國家級重點實驗室，西安 710072

對于姿軌運動存在嚴重耦合的空間相對接近操作，必須解決相對運動的姿軌同步控制問題。傳統的相對姿軌分開建模串行控制方法，忽略了姿軌耦合，控制周期長且姿軌同步性差，顯然不能滿足要求。基于螺旋理論中的對偶數描述，建立了航天器六自由度相對運動模型，不僅包含了姿軌耦合項，而且形式統一有利于同步控制律的設計。針對模型中的耦合項進行分析，給出了相對姿軌耦合產生的成因。建立了相對姿軌同步誤差，考慮模型的非線性，基于非線性反饋設計了一種同步控制律以消除該誤差，并利用Lyapunov理論證明了控制律的穩定性。以兩航天器交會接近的最后逼近段進行數字仿真，并與PD控制相對比，驗證了所提方法的有效性，同時驗證了所提方法可以實現姿軌控制的同步收斂，對于空間相對運動的姿軌同步操作具有重要意義。

相對接近操作；螺旋理論；對偶數；姿軌耦合；同步控制

未來的航天活動大都圍繞空間近距離操作展開，特別是針對空間碎片和故障航天器等非合作目標，要求主動航天器能夠安全／快速接近并使相對位置和姿態同時滿足給定的期望值，考慮非合作目標姿態翻滾和工程實際，相對姿軌運動之間存在耦合，因此接近操作需要解決考慮耦合的相對姿軌同步控制問題。

近年來，不少學者基于矢量代數方法進行空間相對運動的建模，一般是將位置矢量描述的軌道動力學模型和方向余弦（或者四元數或者羅德里格斯參數［1］）描述的姿態動力學模型聯合起來，并基于這種形式的模型研究了姿軌協同控制問題，例如對于編隊飛行過程中的姿軌協同控制，朱志斌等［2－3］研究了Theta－D控制方法、鐵鈺嘉等［4］設計了自適應同步控制律、Xu等［5］設計了滑模變結構控制器，Yamanaka［6］采用了非線性二次型穩定的軌道運動控制律和四元數反饋的姿態運動控制律。Subbarao和Welsh［7］研究了衛星近程操作同步控制問題，設計了非線性自適應控制律。Welsh和Subbarao［8］研究了空間非合作翻滾目標的捕獲控制問題，設計了質心運動反饋跟蹤控制律和相對姿態反饋跟蹤控制律。分析以上方法可知，以矢量代數為工具進行動力學建模，其本質還是對轉動和平移分開建模，雖然在控制系統設計時可以整合到一個狀態方程，但由于軌道姿態建模時的分而治之的關系，為了同時滿足軌道姿態控制要求，往往使控制器設計難度加大，不利于快速響應的精確控制。同時，不同的建模方法所產生的耦合項也不盡相同，即使加入一定的耦合補償，針對性也不夠強，耦合控制問題還是沒有得到根本性的解決。

把力學中的平動參量與轉動參量放在一起同時考慮，是力學發展史上的一個創新。法國學者在數學研究的基礎上，將平動和轉動看作一體，并命名為“螺旋”。目前為止，螺旋理論已經在包括機械、機器人、慣性導航等許多領域中用于運動學和動力學分析。20世紀90年代初，Branets和Shmyglevskii［9］把螺旋理論應用于慣性導航領域，首次論述了在捷聯式系統的理論分析中引入螺旋理論的可能性。Yang［10］率先將基于螺旋理論的各種方法運用到空間連桿的運動分析中，引發了機械領域內運動學及動力學分析方法的革新。盧宏琴［11］將螺旋理論用于機器人運動學與動力學的分析研究中，取得了一系列理論成果。螺旋理論也被應用于空間相對運動建模和分析中［12－19］，對偶數是螺旋理論的基本數學描述方式之一，基于對偶數建立的相對運動模型，不僅可以描述姿軌耦合效應，而且形式統一有利于同步控制 律 的 設 計。 例 如 Wang 和 Yu［12］，Fruh 和Jah［13］針對對偶四元數剛體運動建模，設計了廣義和增量PID控制算法，而Zhang和Duan［14］等設計了魯棒控制器并在Lyapunov框架下驗證了系統的穩定性；Wang等［15］利用對偶四元數建立了航天器相對運動模型，設計了類PD控制器；Pham等［16］對空間機器人抓捕機構進行對偶四元數建模，通過推導遞推運動學模型和求解雅克比矩陣，設計了PID控制器；PID控制雖然易于工程實現，但控制性能差，存在調參困難，超調量大的問題。另外，很多學者也研究了滑模控制方法，例如Wu等［17］針對編隊飛行的姿軌同步控制問題，Xiong和Zheng［18］針對無人機的姿軌耦合控制問題，Wang等［19］針對有限時間同步控制問題，都設計了滑模控制器，但滑模控制存在抖振問題，嚴重影響了其工程實施。

為此，本文利用螺旋理論中的對偶數描述，建立了航天器六自由度相對運動模型，并針對模型中的耦合項進行分析，給出了相對姿軌耦合產生的成因。考慮模型的非線性和姿軌耦合，引入姿態軌道同步誤差，設計了非線性同步控制律，并利用Lyapunov理論證明了穩定性。最后以兩航天器交會接近的逼近段進行數字仿真，并與PD控制效果相對比，驗證了本文方法的有效性及其可實現姿軌控制同步的優點。

1 基于螺旋理論的航天器相對運動模型

1．1 基于對偶數的航天器運動參數描述

螺旋理論中的對偶數是研究螺旋運動最簡潔方便的工具，航天器的運動可以看作是一種螺旋運動，因此可以用對偶數描述。

對偶數被定義為

式中：t和t′為同一代數系統中的元素，分別表示對偶數的實數部分和對偶部分（t和t′同時為矢量、代數、復數、四元數、矩陣代數或張量代數等）；ε為對偶標識，且滿足ε2＝0，ε≠0。

若t和t′表示矢量，則式（1）稱為對偶矢量，它將對偶數和矢量結合起來，是一個實部和對偶部都為矢量的對偶數。若該對偶矢量有如下特點：實部與參考點無關（稱為滑移矢量），對偶部與參考點有關（稱為定位矢量），則稱該對偶矢量為旋量。

航天器的運動量與力／力矩之間的關系可以用旋量表示。假設航天器在某一時刻的角速度為ω，其上任意一點A的線速度為vA，則線速度為定位矢量（隨參考點不同而變化），角速度為滑移矢量（不隨參考點變化），用對偶數可將航天器的線速度和角速度表示為

同樣地，作用在剛體上點A的力fA為定位矢量，力矩τA為滑移矢量，用對偶數可表示為式中為A點的力旋量。

為了表示動量旋量，定義如下對偶旋量：

式中：m為航天器質量；I為單位矩陣；Jc為航天

基于以上定義的參數，可以給出角動量和線動量的對偶數描述：

由動量定理，對式（5）微分，并將點A換成航天器質心，可得動力學方程為

1．2 基于對偶數描述的空間相對運動模型

建立相對運動模型時選擇如下坐標系：地心赤道慣性坐標系Oxyz、目標本體坐標系和追蹤器本體坐標系，其中下標t表示目標，下標c表示追蹤器，上標b表示本體坐標系，則追蹤器和目標之間的相對運動就是相對于的運動。

假設在慣性系下航天器的姿態四元數為q，位置矢量為ρ，則本體坐標系可看成是慣性系先平移ρ再轉動q得到，那么用對偶四元數描述這兩個坐標系間的關系為

式中：“°”為對偶數的乘法運算符。

對式（8）兩邊求導可得

式（9）也可以表示為

式中：

以上矩陣元素中的下標x、y、z表示在追蹤航天器本體坐標系3個軸上的分量。

由式（6）可得

式中：Mc為追蹤航天器的對偶質量和分別為作用在追蹤器上的控制力與力矩在其本體系下的矢量。

將式（11）代入式（9），并利用對偶數的運算法則，可得

2 姿軌耦合及其成因分析

由于＾ω·bct表示航天器相對速度旋量＾ωbct對時間的導數，因此可以寫成

式（17）描述的是相對角速度的變化，由3項組成，第1項為只包含了航天器的角速度參量，不與任何軌道參數相關，因此不存在姿軌耦合。第2項為，與作用在追蹤器上的力矩有關，理想情況下不存在推力偏心，此時姿控和軌控不耦合，若由于發動機安裝誤差等原因造成推力偏心，則在軌控推力作用的同時會產生附加力矩，從而影響相對角速度變化，此時存在姿軌耦合；第3項為，只包含了航天器的角速度參量，不與任何軌道參數相關，因此不存在姿軌耦合。

式（18）描述的是相對速度的變化，由4項組成，除了第2項／m之外，其他3項中都包含姿態參數，可見姿態變化將影響相對速度的變化，從而影響相對軌道，說明存在姿軌耦合。其中第1項為，包含了追蹤器自身的角速度參量，說明追蹤器姿態變化會對相對速度（位置）產生影響，形成姿軌耦合；第3項為，包含了目標角速度，說明目標姿態變化也會對相對速度（位置）產生影響，形成姿軌耦合；第4項為，包含了相對角速度，說明相對姿態變化也會對相對速度（位置）產生影響，形成姿軌耦合。

3 同步控制律設計

由以上分析可知，基于螺旋理論中的對偶數建立的航天器相對運動動力學模型是非線性強耦合的，從控制簡潔性、有效性著手，本文提出基于非線性前饋的同步控制思想。首先利用非線性前饋方法的優點，即具有將干擾克服在被控制量偏離設計值之前，以克服被控對象的純滯后和容量滯后，并同時保證控制精度與穩定性，設計控制律Uf。在此基礎上，針對軌道和姿態的同步問題，引入同步誤差，修正非線性前饋控制律Uf，得到新的控制律U，確保相對姿軌同步誤差逐步減小直至為零，以實現姿軌同步控制。

根據以上建立的動力學模型，令Uf＝，則可設計如下控制律［22］：

同步誤差用來衡量所描述運動的同步性，考慮相對運動姿軌同步控制，定義同步誤差ξ為

式中：

ξ＝ ［e1e2e3e4e5e6］T∈R6，ei（i＝1，2，3，4，5，6），表示3個相對位置誤差和3個相對姿態角誤差，也可以表示線速度和角速度的速度分量誤差；G∈R6×6為同步轉移矩陣，且滿足以下4點約束：

1）G為對稱的對角占優實矩陣，即GTG對稱。

2）對角線上的元素gii（i＝1，2，3，4，5，6）滿足g11＝g22＝g33＝g44＝g55＝g66且gii＞0。

3）非對角線上的元素gij（i≠j）滿足gij＜0。

結合上述條件，本文所采用的同步轉移矩陣為

根據式（22）所呈現的規律可以看出，經過同步轉移矩陣轉化后的同步誤差包含了3個誤差，并使其進行線性組合，通過改變式（21）中的元素值，可以得到不同的轉移矩陣，因此也就得到不同誤差的線性組合；由于轉移矩陣的可變化性，誤差的線性組合也可以多變，如果涉及的誤差越多，則同步性體現越充分，這對控制效果也會起到至關重要的作用。

基于式（19），在航天器的跟蹤誤差e中引入同步誤差ξ，重新設計控制律U，以逐步減小ξ直至為零。

定義式中：x和 x分別為航天器實際狀態量（3個位置分量和3個姿態角）和實際速度量（3個速度分量和3個角速度分量）；xd和表示其期望值，針對交會對接任務，有xd＝［0 0 0 0 0 0］T，＝［0 0

0 0 0 0］T；λ為正常數對角增益矩陣。

則控制律式（19）變為

式中：K1、K2為設計的正定增益矩陣；與式（19）對比可見，式（25）增加了同步項－K2ξ，以確保在相對姿軌誤差減小的同時，同步誤差也逐步減小直至為零，達到姿軌同步控制的目的。

根據Lyapunov直接法證明以上控制系統的漸進穩定性，選擇Lyapunov函數為

對式（26）求導，可得

如式（27）所示，當K1、K2為正定矩陣時，此時有 V≤0，根據Lyapunov穩定性判據證明系統是漸進穩定的。

4 仿真驗證

針對兩航天器最后逼近段的接近任務，控制追蹤航天器以確保交會對接前兩航天器的相對位置為零，相對姿態角為零，并要求整個控制過程中追蹤航天器的相對線速度和相對角速度也穩定收斂到零。仿真過程中考慮發動機安裝誤差造成的推力偏心，給定發動機沿縱軸安裝，距離質心2 000 mm，安裝角誤差為3°。具體仿真條件如表1所示。

表1 仿真條件Table 1 Simulation Conditions

為了說明本文所提控制方法性能，選擇PD控制進行對比，采用以下PD控制律：

式中：Kp和Kd為PD控制器的控制增益矩陣，經過大量數值實驗得到增益矩陣的最優結果為Kp＝15．70×diag（1，1，1，1，1，1）Kd＝5．98×diag（1，1，1，1，1，1）

結合工程實際經驗，設定追蹤航天器可提供的最大控制力和力矩分別為fmax≤50N和τmax≤

以保證所需控制輸出不超過給定的最大輸出。結合初始條件，采用四階龍格－庫塔進行數值仿真。

仿真結果如圖1～圖3所示，分別給出了在PD控制和同步控制下航天器間相對位置、相對姿態、相對線速度、相對角速度以及主動航天器的控制力和控制力矩變化曲線。圖1（a）、圖2（a）中x、y和z分別表示在追蹤坐標系中航天器相對位置分量，作為下標時，x、y和z表示沿追蹤航天器本體系坐標軸方向；φ、θ和ψ分別表示在追蹤坐標系中航天器相對姿態分量；v、ω分別表示航天器相對線速度和角速度；F、M分別表示作用在追蹤航天器上的控制力和力矩。

圖1 PD控制時航天器相對運動狀態及控制力與力矩的變化曲線Fig．1 Variation curves of relative motion state，control force and control torque with PD control

由以上結果可見，若參數設計合理，PD控制和本文設計的非線性同步控制都可以實現接近段姿軌耦合控制，并最終達到給定的理想狀態。但是，PD控制超調量較大，有小幅振蕩，穩定周期較長（100s），且明顯地線速度和角速度的控制不同步（線速度100s達到穩態，而角速度50s達到穩態）。而本文所設計的非線性同步控制律，可以彌補PD控制的不足，穩定周期明顯縮短（45s），相對位置和姿態的控制無超調，線速度和角速度控制不發生振蕩，控制過程更加平穩，同時也滿足了姿態軌道同步控制的要求。

圖1（e）和圖2（e）、圖1（f）和圖2（f）分別表示兩種控制方法下所需要的控制力和控制力矩。對比可見，雖然兩種控制方法在整個控制過程中所需要最大控制力差別不是很大，但非線性同步控制所需的控制力相對較快地衰減并趨于零，因此從能量消耗的角度分析，非線性同步控制更省燃料。

實際工程中需要考慮測量系統的誤差，為了檢驗測量誤差對控制效果的影響，假設初始相對位置測量誤差為±3m，相對姿態測量誤差為±5°，誤差分布為白噪聲，利用本文方法也進行了仿真計算，結果如圖3所示。結果表明，在有測量誤差的情況下，所設計的控制律可以有效抑制誤差，實現快速穩定同步收斂，驗證了方法的可用性。

圖2 同步控制時航天器相對運動狀態及控制力與力矩變化曲線Fig．2 Variation curves of relative motion state，control force and control torque with synchronization control

5 結 論

1）軌道和姿態運動用統一形式表述，形式簡單，便于耦合分析和控制器設計。

2）航天器近距離相對運動姿軌耦合主要表現在：軌控推力偏心引起相對姿態變化，引力梯度力矩引起相對速度和位置變化，追蹤器本體姿態、目標本體姿態以及相對姿態變化引起相對速度和位置變化。

3）設計了非線性同步控制律，可用于相對運動姿軌耦合同步控制并有效抑制測量誤差的影響，相較于PD控制，該控制律穩定周期明顯縮短且無超調，使相對運動控制過程更加平穩。

本文的建模和控制研究都是基于理想情況，沒有考慮攝動影響和外界干擾，與實際情況還有出入，進一步的研究中將考慮這些因素的影響。

圖3 考慮測量誤差的航天器相對運動狀態及控制力與力矩變化曲線Fig．3 Variation curves of relative motion state，control force and control torque with measurement errors

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Synchronization control of relative motion for spacecraft with screw theory－based description

ZHU Zhanxia1，2，＊ ，MA Jiajin1，2，FAN Ruishan1，2
1．College of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China 2．National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics，Xi’an 710072，China

For the approaching operations with intensity coupling between position and attitudes，precise synchronization control of relative translation and rotation is one of the essentials to be solved．Traditionally，translation and rotation motion are modeled and controlled separately，in which the coupling between relative position and attitudes is ignored，so the control period is long and the synchronization cannot be guaranteed．This paper investigates the synchronization control problem of spacecraft relative motion．A six－degree－of－freedom relative motion model is proposed using the dual－number representation of screw theory，which can not only describe the coupling effect between the translational movement and the rotational one，but also make the model of translation and rotation in the same style to the benefits of designing controller easy．The causes of couple forming are presented after analyzing the coupling term of the relative motion model．A synchronization error constructed by the relative translation and rotation is introduced．A synchronization control law is designed based on nonlinear feedback to eliminate the error，and its stability is proved by Lyapunov methods．Choosing the final approaching phase of docking and rendezvous to make numerical simulation，the results demonstrate the validity of the proposed method by comparing with PD controller．Meanwhile，it is proved that the proposed method can achieve synchronous convergence of the attitudes and orbit control，which has important implications for the required attitudes and orbit synchronization operations．

approaching operation；screw theory；dual－number；coupling between translation and attitudes；synchronization control

2015－09－03；Revised：2015－11－16；Accepted：2015－12－07；Published online：2015－12－22 15：00

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20151222．1500．010．html

s：National Natural Science Foundation of China（11472213）；Aeronautical Science Foundation of China

V448．21

A

1000－6893（2016）09－2788－11

10．7527／S1000－6893．2015．0334

2015－09－03；退修日期：2015－11－16；錄用日期：2015－12－07；網絡出版時間：2015－12－22 15：00

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20151222．1500．010．html

國家自然科學基金 （11472213）；航空科學基金

＊通訊作者．Tel．：029－88493685 E－mail：zhuzhanxia＠nwpu．edu．cn

朱戰霞，馬家瑨，樊瑞山．基于螺旋理論描述的空間相對運動姿軌同步控制［J］．航空學報，2016，37（9）：27882－798．ZHU Z X，MA J J，FAN R S．Synchronization control of relative motion for spacecraft with screw theoryb－ased description［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2016，37（9）：27882－798．

朱戰霞 女，博士，教授，博士生導師。主要研究方向：飛行器飛行動力學與控制，航天器相對運動動力學與控制。

Tel：029－88493685

E－mail：zhuzhanxia＠nwpu．edu．cn

馬家瑨 男，碩士研究生。主要研究方向：飛行力學與控制。E－mail：alex＿five＠163．com

樊瑞山 男，碩士研究生。主要研究方向：飛行力學與控制。E－mail：nwpufrs＠163．com

＊Corresponding author．Tel．：029－88493685 E－mail：zhuzhanxia＠nwpu．edu．cn