針對局部非線性問題的混合坐標(biāo)模態(tài)綜合法

王陶，何歡，2，＊，陳國平，2

1．南京航空航天大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，南京 210016 2．南京航空航天大學(xué) 振動工程研究所，南京 210016

針對局部非線性問題的混合坐標(biāo)模態(tài)綜合法

王陶1，何歡1，2，＊，陳國平1，2

1．南京航空航天大學(xué) 機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，南京 210016 2．南京航空航天大學(xué) 振動工程研究所，南京 210016

非線性動力系統(tǒng)模型的計算效率問題是結(jié)構(gòu)動力學(xué)領(lǐng)域中的重要研究課題。提出了一種針對局部非線性問題的混合坐標(biāo)自由界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合方法。根據(jù)局部非線性系統(tǒng)的特點，將結(jié)構(gòu)按照線性部分與非線性部分進行分割。線性部分子結(jié)構(gòu)可以通過模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到模態(tài)空間。在對線性部分進行減縮的過程中考慮了剩余柔度的影響，并通過構(gòu)造一組與低階模態(tài)關(guān)于系統(tǒng)矩陣加權(quán)正交的向量組，解決了子結(jié)構(gòu)含有剛體模態(tài)時剩余柔度矩陣無法計算的問題。非線性部分子結(jié)構(gòu)則保留原有的物理坐標(biāo)。通過界面協(xié)調(diào)關(guān)系，采用自由界面方法得到系統(tǒng)混合坐標(biāo)綜合方程。最后，通過數(shù)值算例驗證了所提出方法的有效性。

局部非線性；混合坐標(biāo)；自由界面；模態(tài)綜合；協(xié)調(diào)關(guān)系

隨著工程結(jié)構(gòu)的日益復(fù)雜化，研究者越來越重視結(jié)構(gòu)的非線性特征對結(jié)構(gòu)動力學(xué)行為的影響。其中有一類結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在變形過程中只有局部呈現(xiàn)出明顯的非線性特征，而其余部分仍保持線性，這就是所謂的局部非線性問題。例如，飛行器著陸沖擊過程［1］就是一個典型的局部非線性問題。對于這類局部非線性問題，如果采用有限元法（FEM）對其直接進行建模，所得到的動力學(xué)方程為非線性動力學(xué)方程，當(dāng)對其進行動力學(xué)分析時，其計算量將會數(shù)倍于線性模型。于是，在保證計算精度的基礎(chǔ)上如何有效降低此類問題的計算規(guī)模就成為許多研究者關(guān)注的一個重點。其中，子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法就是一種減縮結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目的經(jīng)典方法。

子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法最早由 Hurty［2］于1965年提出，文中主要討論了無阻尼線性結(jié)構(gòu)的模型減縮方法。Goldman［3］和 Macneal［4］針對比例阻尼結(jié)構(gòu)提出了相應(yīng)的改進。隨后，很多學(xué)者在提高計算精度、處理復(fù)雜界面條件等方面也進行了大量的研究工作［5－7］。在不斷的改進與發(fā)展之后，逐漸形成了目前針對線性結(jié)構(gòu)的較為完備的理論體系。近年來，越來越多的研究者開始將子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法應(yīng)用于更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題中去，例如在一般黏性阻尼結(jié)構(gòu)振動分析［8］、大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型修正［9］、結(jié)構(gòu)不 確定性 分析［10－11］等問題中模態(tài)綜合法都表現(xiàn)出了很好的應(yīng)用前景。

對于局部非線性問題來說，非線性主要存在某一小范圍區(qū)域內(nèi)，其他大部分結(jié)構(gòu)可以認(rèn)為仍然符合線彈性假設(shè)。利用這個特點，很多學(xué)者也開始把子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法的思想引入局部非線性結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析中，通過對模型進行減縮來提高其計算效率。Clough－Wilson［12］最先提出將子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法應(yīng)用于大型局部非線性結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析當(dāng)中。郝淑英等［13］采用子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法建立了非線性連接元組成的連接子結(jié)構(gòu)的減縮模型，并通過漸進法求解了系統(tǒng)的一次近似定常解。文獻［14－16］采用子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的局部非線性問題進行了研究。Verros和Natsiavas［17］用自由界面模態(tài)綜合法對機車的非線性動力學(xué)問題進行了相關(guān)研究。Kawamura等［18］提出了一種針對多自由度非線性系統(tǒng)的子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法，通過計算結(jié)果可以看出在子結(jié)構(gòu)沒有剛體模態(tài)時，其方法具有較高的計算精度。Saito等［19］采用 Craig－Bampton方法對裂紋結(jié)構(gòu)的非線性受迫振動進行了動響應(yīng)分析。Praveen Krishna和Padmanabhan［20］采用不同模型減縮方法對局部非線性系統(tǒng)進行了分析，并對這些減縮方法的有效性進行了討論。上述研究在采用自由界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法對局部非線性問題進行分析時，沒有考慮剩余柔度的影響，且在子結(jié)構(gòu)存在剛體模態(tài)時的計算精度較差。

針對上述問題本文提出了一種混合坐標(biāo)自由界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法。為了提高計算精度，考慮了剩余柔度的影響，并解決了含剛體模態(tài)時的系統(tǒng)剩余柔度矩陣無法直接求解的問題。在綜合過程中對線性部分進行模態(tài)減縮，非線性部分仍保持物理坐標(biāo)下的形式，所以系統(tǒng)依然保留了原有的非線性特性。通過界面協(xié)調(diào)條件將轉(zhuǎn)換到模態(tài)坐標(biāo)下的線性子結(jié)構(gòu)與物理坐標(biāo)下的非線性子結(jié)構(gòu)組裝得到由模態(tài)坐標(biāo)與物理坐標(biāo)混合表示出的綜合方程。由于綜合模型規(guī)模的減小使得其計算效率可以得到很大的提高。

1 線性子結(jié)構(gòu)模型減縮

根據(jù)局部非線性系統(tǒng)的特點，將系統(tǒng)按照線性結(jié)構(gòu)與非線性結(jié)構(gòu)進行劃分，將線性子結(jié)構(gòu)記為子結(jié)構(gòu)a，則其結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程可表示為

式中：Ma、Ca和Ka∈Rn×n分別為子結(jié)構(gòu)a的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；ua和fa∈Rn×1分別為廣義位移向量和載荷向量。通過特征值分析，容易計算出線性子結(jié)構(gòu)較低階的l階模態(tài)Φla。需要指出的是，由于考慮自由界面形式，所以這里Φla可能包含有剛體模態(tài)。

1．1 構(gòu)造加權(quán)正交向量集

假設(shè)存在矩陣φa∈Rn×（n－l）滿足

使得

先給定線性無關(guān)的n－l個向量

結(jié)合式（2）和式（3）可解得

由此可得

1．2 剩余柔度矩陣與界面協(xié)調(diào)方程

定義Φa＝［Φlaφa］，則子結(jié)構(gòu)的物理坐標(biāo)可以表示為

利用Φa可將式（1）轉(zhuǎn)換為

將式（9）展開，其高階模態(tài)坐標(biāo)所對應(yīng)的方程可以表示為

將式（13）進行Laplace變換后，可得式中：s為復(fù)變量；F珚a為fa在s域中的表示形式。

將式（14）進行泰勒展開，并取其一階近似，再進行反Laplace變換后，可得

這實際上相當(dāng)于保留了剛度項的影響。

將式（15）代入式（8），展開后可得

式中：

式中：

其中：Ga∈Rn×n為剩余柔度矩陣。由于φa為構(gòu)造出來的等效高階模態(tài)，φa中并未包含剛體模態(tài)。所以式（9）與式（12）中的僅與高階模態(tài)有關(guān)，為可逆矩陣。因此，當(dāng)子結(jié)構(gòu)存在剛體模態(tài)時，仍可以通過式（17）來求解剩余柔度矩陣。

假設(shè)子結(jié)構(gòu)的交界面上有m個自由度，將廣義物理坐標(biāo)進行分塊處理，按照內(nèi)部坐標(biāo)與界面坐標(biāo)寫為

式中：uaj為子結(jié)構(gòu)界面自由度所對應(yīng)的位移；uai為子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度所對應(yīng)的位移；fai為結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度上所受到的外力；faj為界面力為界面位移所對應(yīng)的界面模態(tài)；為內(nèi)部位移所對應(yīng)的內(nèi)部模態(tài)。

將式（18）展開，則界面坐標(biāo)可以表示為

2 非線性子結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程

將非線性子結(jié)構(gòu)記為子結(jié)構(gòu)b，其動力學(xué)方程可表示為式中：Mb、Cb和Kb分別為子結(jié)構(gòu)b線性部分的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；g（ub， ub）為其非線性項。

類似地，將其按照內(nèi)部自由度與界面自由度進行分塊，可以寫為

整理式（21），子結(jié)構(gòu)b的界面位移可以表示為

3 局部非線性系統(tǒng)的混合坐標(biāo)綜合方程

僅考慮簡單的界面情況，即界面外載荷為零，界面上不添加集中質(zhì)量和彈簧，所以界面位移的連續(xù)性條件與載荷協(xié)調(diào)關(guān)系可寫為

式中：

將式（25）代入式（9）與式（21），可以得到結(jié)構(gòu)的綜合方程為

式中：

定義P＝ （Φlaj）TGabK－1bjj，則式（28）～式（30）中的相關(guān)參數(shù)表達式為

4 數(shù)值算例

4．1 算例1

如圖1所示為一個考慮阻尼的十自由度彈簧質(zhì)量塊系統(tǒng)（阻尼器沒有出現(xiàn)在圖中，但認(rèn)為阻尼器平行于彈簧存在于系統(tǒng)中），其中最右側(cè)與固定端連接的彈簧具有非線性特性，這里非線性力可以表示為fnonlinear＝k（x＋εx3）。將系統(tǒng)在第10個質(zhì)量塊處分割為兩個子結(jié)構(gòu)，記左側(cè)結(jié)構(gòu)為子結(jié)構(gòu)1，其僅具有線性特性；記右側(cè)結(jié)構(gòu)為子結(jié)構(gòu)2，其具有非線性特性。系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)為

式中：γj為Reyleigh阻尼常數(shù)；ε為小參數(shù)。

圖1 十自由度局部非線性系統(tǒng)Fig．1 A ten－degree－of－freedom system with localised nonlinearities

分別提取子結(jié)構(gòu)1的2、4、6和8階低階模態(tài)進行綜合，對非線性系統(tǒng)所對應(yīng)的派生系統(tǒng)進行特征值分析。表1比較了綜合模型與原模型計算得到的固有頻率，其中r為保留的低階模態(tài)數(shù)。從表1中可以看出，隨著提取的低階模態(tài)數(shù)目的增加，通過本文方法計算所得到的固有頻率的精度也逐漸提高。

假設(shè)一個周期外力作用于m9，采用諧波平衡法對非線性系統(tǒng)進行頻響分析。其中周期力可表示為：f9＝F9cos（ωt＋θ），F(xiàn)9＝500N，其中ω為激勵頻率，θ為激勵與響應(yīng)之間的相位差。若只考慮一階諧波，則根據(jù)諧波平衡法此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以表示為：xj＝Ajcos（ωt）（j＝1，2，…，l＋1），其中Aj為響應(yīng)幅值。將周期力及響應(yīng)的表達式代入綜合方程，通過比較等式兩邊的一次諧波項系數(shù)，就可以得到相應(yīng)的幅頻特性曲線表達式。

如圖2所示，為系統(tǒng)第一階固有頻率所對應(yīng)的幅頻特性曲線。從圖中可以看出，系統(tǒng)的幅頻特性曲線有著明顯的跳躍現(xiàn)象，且隨著提取的低階模態(tài)數(shù)目的增加，通過模態(tài)綜合法計算所得的幅頻特性曲線也逐漸趨近于原始結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果。

圖2 m10的幅頻特性曲線比較Fig．2 Comparison of frequency－amplitude curves of m10

4．2 算例2

考慮如圖3所示的具有局部非線性的飛機著陸問題的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。將其分為機身部分與起落架部分。其機身部分為線性區(qū)域，作為子結(jié)構(gòu)a，通過用空間梁單元對其進行建模，共有69個梁單元，414個自由度。機身部分的結(jié)構(gòu)阻尼假設(shè)為：C＝αM＋βK，α與β為Rayleigh阻尼常數(shù)。機身結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量為9 195．75kg。機身模型的其他參數(shù)如表2所示。

對于具有非線性特性的起落架系統(tǒng)（如圖3中紅色圓圈所示為其安裝位置）通過引入非線性彈簧阻尼單元來進行模擬。此部分作為子結(jié)構(gòu)b。起落架內(nèi)部的緩沖力可以表示為fnonlinear（u， u）＝kbu＋γkbu3＋c1u。其中u為沿起落架軸線方向的位移。采用集中質(zhì)量單元模擬起落架系統(tǒng)的質(zhì)量，每個起落架的等效質(zhì)量記為m1。起落架模型的參數(shù)如表3所示。

以圖3所示結(jié)構(gòu)在平衡位置處的微振動為基準(zhǔn)。在此基礎(chǔ)上提取通過模態(tài)分析得到的子結(jié)構(gòu)a的前10、20、30和40階低階模態(tài)（包含前6階剛體模態(tài)）進行模態(tài)綜合。表4分別給出了完全有限元模型與模態(tài)綜合模型的計算結(jié)果。

圖3 飛機總體結(jié)構(gòu)模型Fig．3 Model of fuselage structure

表2 機身模型參數(shù)Table 2 Parameters of fuselage model

表3 起落架模型參數(shù)Table 3 Parameters of landing gears model

表4 模態(tài)綜合模型與完全有限元模型的固有頻率比較Table 4 Comparison of natural frequencies between synthesis models and full FE model

圖4 固有頻率誤差對比Fig．4 Comparison of errors for natural frequencies

圖4所示為保留前20、30和40階低階模態(tài)所計算得到的前20階固有頻率的誤差對比。從圖4中可以看出，通過本文方法所計算得到的固有頻率有較高的精度，當(dāng)提取低階模態(tài)數(shù)目達到40階時，計算的誤差都在1%以內(nèi)。考慮機身在z方向上初始速度為－5m／s時的動力學(xué)時域響應(yīng)分析。分別采用子結(jié)構(gòu)綜合模型和完全有限元模型進行計算，仿真分析時間為3s。采用本文提出的模態(tài)綜合法，分別保留線性子結(jié)構(gòu)的前10、20、30和40階低階模態(tài)用于模態(tài)綜合。

圖5給出了圖3結(jié)構(gòu)上Point 1、Point 2與Point 4沿z方向上的位移響應(yīng)曲線比較。從圖5可以看出，位移響應(yīng)與完全有限元模型計算結(jié)果吻合得很好。隨著采用的低階模態(tài)數(shù)目的增加，運用模態(tài)綜合所計算出的位移響應(yīng)都與完全有限元模型給出的計算結(jié)果趨于一致。

圖5 Points 1，2，4沿z方向的位移響應(yīng)Fig．5 Displacement response along z direction at Points 1，2，4

定義CPU time ratio為Ts／Tf，其中Ts為綜合模型計算所需CPU計算時間，Tf為完全有限元模型計算所需CPU計算時間。從表5中可以看出，綜合模型的計算效率有了非常大的提高。

表5 綜合模型與完全有限元模型計算時間比較Table 5 Comparison of CPU time consumed between synthesis models and full FE model

5 結(jié) 論

1）在綜合過程中考慮了剩余柔度的影響，通過構(gòu)造一組與低階模態(tài)關(guān)于系統(tǒng)矩陣加權(quán)正交的向量組，解決了子結(jié)構(gòu)具有剛體位移時剩余柔度矩陣無法求解的問題。采用自由界面綜合方法得到了混合坐標(biāo)下的模態(tài)綜合方程。

2）利用諧波平衡法對一多自由度彈簧質(zhì)量塊系統(tǒng)進行了頻響分析。計算結(jié)果表明本文方法可以有效地處理局部非線性系統(tǒng)頻域下的振動特性問題，這為進一步研究諸如分岔等非線性行為提供了一種實用方法。

3）對飛機著陸問題進行了時域響應(yīng)分析。數(shù)值分析結(jié)果表明，利用本文方法得到的減縮模型能夠高效準(zhǔn)確地求解局部非線性系統(tǒng)的動響應(yīng)問題。合理保留一定數(shù)量的低階模態(tài)后，綜合模型不僅具有良好的計算精度，更重要的是從本質(zhì)上改善了局部非線性系統(tǒng)動響應(yīng)問題的計算效率。

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Component mode synthesis method based on hybrid coordinates for structure with localised nonlinearities

WANG Tao1，HE Huan1，2，＊ ，CHEN Guoping1，2
1．State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China 2．Institute of Vibration Engineering Research，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China

The calculation efficiency of nonlinear dynamic system has become increasingly important in the structural dynamics field．A hybrid coordinates component mode synthesis method is proposed in this paper for the structure with localised nonlinearities．According to its feature，generally，the system is divided into the linear component and nonlinear component．The equations of the linear component can be transformed into the modal coordinates by its linear vibration modes．In order to improve the accuracy，the residual flexibility attachment matrix of the system is introduced．And by constructing the weighted－orthogonal vector sets which have weighted－orthogonal relationship with the lower retained modes，the residual flexibility attachment matrix is obtained without using inverse of the stiffness matrix．The equations of the nonlinear component are kept as their original form．The synthesis equations which are expressed by hybrid coordinates are derived in terms of compatibility conditions at the interface．Finally，applications of the proposed methods to the numerical examples demonstrate that the present method is computationally effective．

localised nonlinearities；hybrid coordinates；free interface；component mode synthesis method；compatibilityconditions

2015－09－09；Revised：2015－12－08；Accepted：2015－12－28；Published online：2016－01－20 13：47

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160120．1347．002．html

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V215；O322；TB123

A

1000－6893（2016）09－2757－09

10．7527／S1000－6893．2015．0360

2015－09－09；退修日期：2015－12－08；錄用日期：2015－12－28；網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016－01－20 13：47

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160120．1347．002．html

國家自然科學(xué)基金（11472132）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金（NS2014002）；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程

＊通訊作者．Tel．：025－87138242 E－mail：hehuan＠nuaa．edu．cn

王陶，何歡，陳國平．針對局部非線性問題的混合坐標(biāo)模態(tài)綜合法［J］．航空學(xué)報，2016，37（9）：27572－765．WANG T，HE H，CHEN G P．Component mode synthesis method based on hybrid coordinates for structure with localised nonlinearities［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2016，37（9）：27572－765．

王陶 男，博士。主要研究方向：復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學(xué)。Tel．：025－84892197

E－mail：wangtao813619＠163．com

何歡 男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師。主要研究方向：復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學(xué)、飛行器回收系統(tǒng)動力學(xué)。

Tel．：025－87138242

E－mail：hehuan＠nuaa．edu．cn

陳國平 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向：復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學(xué)與控制。

Tel．：025－84892142

E－mail：gpchen＠nuaa．edu．cn

＊Corresponding author．Tel．：025－87138242 E－mail：hehuan＠nuaa．edu．cn