物理金融——金融中的纖維束

【摘要】纖維束是物理金融中的重要組成部分，纖維束由基底和這個基底上的點相聯系的纖維構成，也就是纖維依附基形成纖維束，而基依附于基底存在。基底的不同導致基的分布受到限制，進而形成不同的纖維束。本文將纖維束進行分解，以基底的差異為區分度對纖維束進行了新的劃分，在此基礎上對應于金融的不同資產組合。

【關鍵詞】纖維束 ?基底 ?纖維 ?資產組合

一、引言

美國次貸危機引發的金融危機席卷全球，由此引發全球金融危機、經濟危機和歐債危機，至今其影響還存在。2008年之后，眾多經濟物理學家和經濟學家反思傳統經濟學的弊端，呼吁對經濟學理論進行根本的科學革命，并指出金融物理學的理論意義和實踐價值[1]。

卡里爾·伊林斯基在《金融物理學——非均衡定價中的測量建模》一書中用一種非正式和直觀的說法來介紹纖維束——纖維束就是由一個個相同的子空間組成的，這些子空間相互粘連在一起從而形成了整個空間。完全相同的子空間被稱作是纖維，而將這些纖維連接在一起的子空間被稱作是基底。這樣就可以認為纖維束是纖維和基底的組合體[2]。

本文首先對纖維束進行一定的分解，將纖維束分為基底和纖維兩部分，從基底的不同來介紹幾種纖維束類型，并將簡單介紹纖維束如何適用于金融這一不斷變化的學科。

二、纖維束的劃分

（一）以線為基底的纖維束

這種類型的纖維束的基底是直線或者曲線，作為基的點都在這條線上，而以基相聯系的纖維則是互相平行的直線。

1.以直線為基底的纖維束。若纖維束的基底是一條直線，基是該直線上的點，纖維是與基底相交的無數條直線，那么我們可以勾畫出這樣的纖維束是二維的平面。選用最基礎簡單的二維平面為例，以X軸作為基底，X軸上的點為基，而過基且與基底垂直的直線作為纖維，這些纖維是相互平行的（見圖1）。

圖1 橫軸是基底，與橫軸正交的直線是纖維，而交點則是基

圖1中的纖維束是最常見的平面纖維束，在這個圖中，該纖維束的維度就等于基底（B）的維度加上纖維（F）的維度，即dimE=dimB+dimF。這樣纖維束上任意一點的位置可以通過一對坐標來描述，像是（b，f），其中，f是該點所在纖維上的位置，b是纖維本身所在基底上的位置。

2.以圓環為基底的纖維束。如果將作為基底的直線彎曲成一個圓環，二維平面的纖維束將變成一個管狀圖形，這將得到一個不同類型的纖維束。新的纖維束具有圓形的基底（B）和直線纖維（F）（見圖2）。

如果對以圓環為基底的纖維束上的位置用坐標（b，f）進行描述，我們會發現坐標出現了不同之處：在直線上的坐標可以從負無窮大到正無窮大，圓上的坐標卻只能在0到2π之間進行變化，且坐標0與2π坐標是重合的。

（二）以面為底的纖維束

以面為底的纖維束的底面可以是平面也可以是曲面，可不管是平面還是曲面，纖維束上某點坐標已經不能簡單用一個點來表示纖維本身所在基底上的位置。這里，選用標準的纖維束（見圖3）——刺猬——來描述其特點。

圖3

此纖維束的基底是曲面，纖維是與基底相切的發散直線，可知想要用坐標來描述纖維束上某點的位置，纖維上的位置是很好確定的，令我們為難的是纖維本身位置的確定。（B，F）代表纖維束上某點的坐標，F是一個簡單的實數，B不再是簡單的數，而是B=B（b），需要用向量來表示的某一位置。此時，纖維束的維度也將發生變化，而這變化是跟隨基底的變化進行的。

考慮到纖維束的基底是如此變化的，那是不是也存在以面為底纖維如此變化的纖維束呢？是的，這樣的纖維束（見圖4）也是存在的。

圖4

在這種纖維束中，基底和纖維都是變動的，不再是簡單的數值。纖維束的基底是曲面，所以要確定纖維的位置B=B（b），需要用向量來確定，纖維上的位置也需要用向量來表示F=F（b）。這樣的話，纖維束的維度跟隨兩個變量的變化而變化。

三、金融資產適用的纖維束

通過上面對纖維束的一些簡單介紹，發現纖維束的基底和纖維可以分別當做是單獨的坐標系，而且這兩套坐標系可以具有不同的意義。想要細致描述一個金融資產組合的特征，是需要兩套坐標系的，一套用來描述組合的貨幣價值，另一套描述組合中各種資產所占的比例[3]。于是，我們可以用纖維束來描述資產組合或者將資產組合空間看作是一個纖維束。纖維束的基底是資產組合的所有可能結構構成，組合的所以可能的貨幣價值是基底上的半線纖維（組合的貨幣價值不能為負，故選用半線纖維）。一般纖維束的纖維是沒有交集的，他們之間是依賴基底進行變換的，也就是基底實現了纖維之間的連通。

首先通過一個外匯的例子來了解纖維束是如何作用于金融資產組合的。現在我們有五種貨幣，分別是英鎊、美元、德國馬克、法國法郎、日元，這五種貨幣我們是無法根據其紙張的數量來比較大小，只有將它們換算為同種貨幣才能進行比較。選用最一般的以面為底的纖維束，在基底上任意選五個點及該點上的纖維作為某種貨幣，纖維的長度代表該種貨幣的數量，這種纖維束（見圖5）就是資金空間。

圖5 資金空間纖維束

圖5中，標著GBP、USD、DM、FF、JY的五個點便是基底上選的基，基上的纖維是半線纖維，而纖維之間的連通是依賴于基底進行的。也就是想要進行兩種或多種貨幣之間的換算或者比較，就需要將貨幣換算成同一種貨幣，而換算的過程就是在基底進行的，基底實現了不同貨幣之間的跳躍。

接下來看一個凈現值計算的纖維束空間的例子。

首先簡單介紹一下什么是凈現值法（NPV）。令NPV站住腳跟的原理是：資金有時間價值。時間價值可以通過貼現過程來展示。對不同貨幣標明面值的資金進行比較首先需要將它們兌換成同樣的貨幣，同理，貨幣相同時間不同的資金也不能直接進行比較，需要將它們轉換到統一的時點上，而這一過程反映的就是資金的時間價值。

NPV公式：

P是當前的一筆資金，F是T年后收到的資金數量，r是投資過程的利率

NPV過程中使用的利率被稱作是貼現率

貼現因子：

假設我們現在有100英鎊和一年后有103英鎊可選擇，這時候應該怎樣選擇呢，肯定是選擇兩者相比更大的那個，但是這兩種選擇并不在同一時間上，我們無法比較出跨越時間的兩種選擇，也就是需要把這兩種選擇換算到同一時間上。這里就需要NPV公式，可以將當前的100英鎊按一定的年利率換算到一年后的貨幣數量，或者將一年后的103英鎊換算為當前一定的貨幣數量。同種貨幣關于時間的變化也存在纖維束空間（見圖6）。

圖6 凈現值纖維束空間

在凈現值纖維束空間里，基底實現了時間的跨越，也就是基底是資產組合的時間軸，纖維則是不同時間的貨幣數量，貼現過程實現了代表著不同數量貨幣的纖維之間的連通。

四、結束語

當投資者在進行貨幣交換和凈現值計算時，可以認為是在纖維束中進行移動的。任何交易市場都存在一個可移動的纖維束空間，且這并不依賴于交易資產的特征、市場參與者的偏好以及市場的某些性質。將纖維束空間與資產組合結合到一起有助于我們一定程度上客觀直接的研究金融市場的波動和趨勢。

參考文獻

[1]周煒星.《經濟物理學》簡評.新書介紹，2014.

[2]劉建國.現代金融學研究的新視角——《金融物理學導論》評介.華東理工大學學報，2007.

[3]施其敏，包菡.淺析貨幣時間價值的應用.《心事》，2014.

作者簡介：李玉娟（1991-），女，漢族，山東濰坊人，山東科技大學數學系統與科學學院研究生，研究方向：金融數學與金融工程。