一種基于石英加速度計的新型溫度補償算法設計

北京信息科技大學 信息獲取與檢測實驗室，北京 100101

一、引言

傾角傳感器是測量關于水平面傾斜角的裝置，在航空航天、土木建筑、水文地質、電子等領域有著廣泛的應用。隨著科技的進步，生產技術水平不斷的提高，對傾角傳感器的體積、精度的要求也在不斷的提高，各種結構、拓撲也應運而生[1]。傾角傳感器的形式也由早期的“固體擺”、“液體擺”、“氣體擺”，發展成為以線加速度計為核心部件的角度測量裝置[2]。石英撓性加速度計就是線加速度計的一種，本文的研究也正是基于石英撓性加速度計的傾角傳感器來完成的。

由于石英撓性加速度計具有體積小、精度高、工作溫度范圍寬、溫漂小等優點，而被廣泛的應用于航天、航空、軍事等領域。但這些領域的工作環境惡劣，尤其在溫度方面表現尤為突出，而石英撓性加速度計也存在溫漂。以往的溫度補償已經補償了不同溫度的情況，但是補償過程都是經過恒溫之后補償。如果外界環境溫度變化較快，那么傾角傳感器測量的準確性就會受到影響。

為了解決外界溫度快速變化時，傾角傳感器測量不準的問題，本文深度剖析外界環境溫度變化對傾角傳感器的測量精度的影響，找出外界溫度與傾角傳感器內部實際溫度之間的熱量傳遞規律，建立數據處理和溫度補償兩種算法模型，根據熱量推算出內部傾角傳感器的實際溫度，最后用實際溫度進行溫度補償。從而進一步提高測量的精度，有效應對外界溫度的突變，大大增加了傾角傳感器的社會效益和經濟效益。

二、加速度計特性分析

敏感器件采用的是石英撓性加速度計，敏感載體質量為m，重力加速度為g，敏感載體重心距離撓性固定點距離l1，力矩線圈施力點距離撓性固定點距離l2，磁場強度為B，在磁場中線圈等效長度L，差動電容轉換器比例系數為kc，放大器放大倍數為kp。敏感載體受力示意圖如圖1。

在以上條件下，可以得到如下公式：

其中，U—加速度計輸出電壓；

R——電阻，用戶決定，是電路硬件設計中的一個參數，一經確定，可以認為是一個常數；

θ—加速度計輸入角度。

其中，ε(θ)—次要因素；

K0、K1、θ0—跟溫度有關的函數。

三、數據處理算法模型設計

在傳熱過程中，反映阻止熱量傳遞能力的綜合參量是熱阻，用熱功耗乘以熱阻，即可獲得該傳熱路徑上的溫升。可以認為換熱量Q相當于一定時間t內的電流，溫差ΔT相當于電壓，則熱阻R就相當于電阻，那么有公式：

已知比熱容公式為：

其中， Δt—吸熱（或放熱）后溫度上升（或下降）的值；

Q—吸收（或放出）的熱量；

m—質量；

帶入各個參量，得到傳感器內部溫度推算的迭代公式：

其中，T0—傳感器內部初始溫度；

Ti—采集第i個點時傳感器內部溫度；

t—采集溫度點所用時間；

K—簡化常量Rmc而定義的常量系數；

c—比熱容。

四、溫度補償算法模型設計

研究通過補償傾角計算參數，來實現溫度補償。由公式（2）可知被測傾角和角度實際測量值即ADC的數字量輸出滿足關系：

其中，Kt0、Kt1、θt—跟溫度相關的變量函數；

ε(θ,t)—角度計算引起的誤差。

則可以得到傾角計算公式：

最后通過曲線擬合來求解Kt0、Kt1、θt關于溫度的二次函數表達式[3]。

假設實驗獲得n個數據點 (θ1,AD1)...(θn,ADn)，把這n個數據點擬合在函數附近，使得偏差平方和最小。以第i個點為例，偏差平方和公式為：

其中，P—n個實驗數據的偏差平方和；

θi—采集第i個點時的傳感器的角度值；

ADi—采集第i個點時對應的A/D轉換器輸出值。

對公式（8）求P關于Kt0、Kt1、θt的一階、二階偏導，可知滿足最小二乘法的定義，同時一階偏導的解即為符合要求的Kt0、Kt1、θt。根據一階偏導的方程，把θt看成常數，對Kt0、Kt1求解，可得到公式：

將Kt0、Kt1帶入方程，可得：

簡得：

其中，F、G是關于實驗獲得的輸入傾角和AD值的多項式：

求與溫度相關的Kt0、Kt1、θt的曲線時，使用最小二乘法，并用曲線y=ax2+bx+c對數據點擬合，求解得到以下公式：

五、溫度實驗及結果

1、恒溫實驗

首先，在恒溫條件下，每個溫度點（-40℃、-20℃、0℃、+20℃、+40℃、+60℃）恒溫2h以上，然后分別測取采樣角度（5°、25°、45°、65°、85°）的輸出值。結合對應溫度，獲得不同溫度下所有采樣角度的均值。然后將均值與設定角度做差，獲得差值與溫度的關系，并進行曲線擬合，獲得角度差值與溫度的相關公式。

以25°時采集的數據為例，計算過程如下：

（1）實驗獲得6個溫度點的數據(x1,y1)...(xi,yi)...(x6,y6)，結合公式y=axi2+bxi+c，得到偏差平方和公式：

（2）根據最小二乘法原理[4]，使偏差平方和最小，首先對（13）分別求U關于a、b、c的一階偏導，并令其等于零，有：

（3）對公式（13）求二階偏導，并證明了均大于零。（4）對（14）、（15）、（16）求解，并化簡得：

進一步轉化得：

結合MATLAB求解出所有采樣角度的三參數，整理結果見表1。

角度值為 5°、25°、45°、65°、85°的差值曲線，同5條擬合的差值曲線進行比較，擬合值與測量值之間的誤差范圍在（-0.0071283° ～ +0.00645115°）之間，比較結果見圖2。可以看出，角度值為5°、25°、45°、65°、85°的這5條測量值與設定值的實際差值曲線同5條擬合的差值曲線幾乎完美重合，這為后續實驗奠定了堅實的基礎。

2、升降溫實驗及結果

（1）升溫情況，將傳感器放入溫箱，調至-40℃恒溫保持4h。

（2）將溫箱由-40℃調至60℃，在此溫度變化過程中采集數據，采集角度點 5°、25°、45°、65°、85°的輸出值。（以25°為例進行計算）

（3）整理處理后的數據，將數據與對應設定角度做差，得到差值y。

表1 采樣角度與對應的三參數

（4）將差值與實驗一結果結合，利用公式y=ax2+bx+c以及求根公式求解出x的值，即為推算出的內部真實溫度。

內部真實溫度與采樣時采集到的溫度對比見圖3所示。從圖3可知當外界環境是升溫變化時，內部溫度升高的變化速率要比外界的慢。

（5）利用真實溫度，結合公式（5），推算出不同采樣角度下的一系列的K值，取均值，得到升溫情況下的Ks=437.1320866。

（6）降溫情況，將溫度由60℃至-40℃變化，其他環節跟升溫情況相同。降溫時內部真實溫度與采集到的溫度對比見圖4。同樣從圖4中可以得出當外界環境是降溫變化時，內部溫度降低的變化速率要比外界的慢。由此得出內部溫度變化要滯后于外部溫度的變化。

（7）降溫情況下的Kj=436.5588338。

（8）將Ks與Kj取均值，得到角度為25°時候Kj的均值，即Kp=436.8454603。其他角度處理方式與25°相同，得到相應的K值，統計結果見表2。

將5個均值K再取均值，就得到了最終常量K=437.0048056。

根據實驗數據繪出了升溫、降溫情況下真實溫度與測量溫度的誤差圖，分別見圖5和圖6。

從圖5和圖6 不難看出溫度變化速度越快，誤差值越大，溫度變化越小，誤差值越小。

3、溫度補償實驗及結果

（1）首先進行傳統補償方式的數據采集[5]。溫箱恒溫至設定溫度（包括-40℃、-20℃、0℃、40℃、60℃），分別采集 -10°、-5°、0°……110°時的角度值和相應的AD值。數據采集以20℃為例進行說明，采集的數據見表3所示。

（2）將表3數據，即對25個點(θ1,AD1)…(θ25,AD25)應用最小二乘法處理。將數據帶入公式F、G求得：F=27393119.29，G=58402745.77；然后將F、G數據帶入公式（11），求得：θt=-64.87162827°；再結合公式（9）推出：Kt0=502346.9094，Kt1=522198.9543。最終計算出20℃下三個參數Kt0、Kt1、θt的值。同理，得到其他溫度時的三個參數值，整理結果見表4。

（3）將表4中的Kt0、Kt1、θt用溫度的二次曲線進行擬合。擬合曲線的標準格式為y=ax2+bx+c。結合公式（12），最終得到Kt0、Kt1、θt的擬合函數[6]。

將三參數公式寫入程序，結合公式（7）即可獲得角度，以完成溫度補償。

（4）采用新的補償方式，結合公式（5），推算出傳感器內部真實溫度，對真實溫度進行溫度補償，補償原理跟傳統方式相同。

（5）兩種不同的補償方式，恒溫時抽取-30℃、-10℃、20℃、30℃、50℃五個點進行各個角度的測量；外界溫度快速變化時抽取-5°、5°、25°、55°、95°五個測量角度點，分別進行-40℃至60℃的溫度變化。將兩種情況下測量的角度誤差進行對比。

表2 角度與K值對應表

表3 傾角傳感器為20℃時角度—AD值數據統計表

表4 參數匯總表

結果表明，在恒溫情況下，傳統溫度補償方式誤差范圍在-0.011°～ +0.028°之間，新的補償方式誤差范圍在-0.014° ～ +0.034°之間。

溫度變化情況下，傳統溫度補償方式誤差范圍在-0.013° ～ +0.246°之間，新的補償方式誤差范圍在-0.018° ～ +0.044°之間。用MATLAB進行三維曲面構造，可以清晰的看出兩種補償方式的效果，見圖7。

六、結束語

本文實驗結果證明了對傾角傳感器內部真實溫度進行補償，有效的解決了外界溫度快速變化時測量不準的問題。新的補償方式在恒溫情況下與傳統補償方式的精度幾乎相同，在溫度變化情況下，比傳統補償方式提高了一個精度等級。這不僅能夠增強傳感器的溫度適應性，還能夠提高生產效率，增加效益。