基于Coons曲面的似大地水準面精化算法研究

李 峰 張樹宏 王鴻飛 全 偉

1 信息工程大學地理空間信息學院, 鄭州市科學大道62號，450001 2 解放軍61243部隊，烏魯木齊，830006

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基于Coons曲面的似大地水準面精化算法研究

李 峰1張樹宏2王鴻飛1全 偉1

1 信息工程大學地理空間信息學院, 鄭州市科學大道62號，450001 2 解放軍61243部隊，烏魯木齊，830006

針對線狀或帶狀GPS水準點控制的似大地水準面，提出Coons曲面內插模型。先將GPS水準點擬合成曲線，再通過曲線構造曲面，盡可能減少傳統擬合算法由點直接推面的精度消耗。分別運用最小二乘法、最小二乘配置法、移動內插法和Coons曲面法對線狀GPS水準點控制的似大地水準面進行擬合，結果表明，基于Coons曲面的內插模型算法精度最高。

線狀；GPS水準；似大地水準面；Coons曲面

傳統的擬合方法如最小二乘法、最小二乘配置法、移動插值法大多假設理想的實驗環境——分布均勻的GPS水準點擬合似大地水準面[1-2]。最小二乘法對整個區域的似大地水準面進行擬合，擬合的是趨勢面；最小二乘配置法的關鍵在于信號間的協方差確定，但嚴格意義上講，協方差陣通過實驗數據統計得來，因此最小二乘配置法得到高精度結果的制約條件是在有限數據里確定較為準確的協方差陣[3-5]；移動插值法改進了最小二乘法擬合整個區域水準面的劣勢，讓擬合區域隨待插值點的改變而移動，因此在相對較小的擬合區域里似大地水準面波動相對較小，同時移動插值法強化離待插值點近的點的作用，弱化遠距離點的作用，是一種具有較高精度且非常穩定的方法[6]，但其擬合半徑和定權函數也需要大量的實驗數據統計得到。在地理環境因素對測量工作影響較大的區域，只能得到分布為線狀或者帶狀的GPS水準點，以上各種擬合算法的精度難以保證。本文根據GPS水準點呈現的狀況，提出利用Coons曲面內插模型，在格網化后的格網單元內根據格網單元與相鄰單元的空間強關聯性，先把格網邊界上線狀GPS水準點擬合成曲線，然后以曲線邊界構建高程異常曲面模型[7]，待求點的高程異常通過內插得到。相對于由點推面的方法，該方法精度得到進一步提高。最后，根據特殊的地理地貌進行GPS水準點數據采集，然后分別運用最小二乘法、最小二乘配置法、移動插值法和Coons曲面內插模型對該數據進行處理，結果證實，Coons曲面內插模型精度高于其他各種算法。

1 Coons曲面模型

如圖1，設有4條邊界曲線fx1、fx2、fy1、fy2，其中曲線fx1、fx2和曲線fy1、fy2在水平面上的投影分別與x軸和y軸平行。為了構造一個連續的封閉曲面使其通過上述所有曲線，需要考慮插值算子，則沿著x軸方向的插值為：

(1)

同理，沿著y軸方向的插值為：

(2)

圖1 基于3點的Coons曲面模型Fig.1 Coons surface model in is based on three points

曲線由拉格朗日多項式[8]求得：

(3)

插值算子Px、Py的布爾和為(Px⊕Py)f(x,y)=Pxf(x,y)+Pyf(x,y)-PxPyf(x,y)，其中PxPyf(x,y)為Pxf(x,y)、Pyf(x,y)的張量積[9]。

插值算子Px、Py的張量積和布爾和分別為：

Pyf(x,y)-PxPyf(x,y)=

由布爾和求得的點構成了Coons曲面。Coons曲面可以基于不同的邊界曲線，本文根據具體的實驗數據主要研究兩種邊界曲線構成的Coons曲面內插模型[10]。

1.1 基于3點的Coons曲面

假設曲線fx1、fx2分別過投影點E、A、B和C、D、U，曲線fy1、fy2是分別過投影點E、U和B、C的兩條直線。點E、A、B、C、D、U對應的高程異常值分別為HE、HA、HB、HC、HD、HU，可知fx1(0)=HA，fx1(-d1)=HE，fx1(d1)=HB，fx2(0)=HD，fx2(-d2)=HU，fx2(d2)=HC。

曲線fx1可以由拉格朗日多項式求得：

(6)

同理可得fx2、fy1、fy2方程。根據布爾和可求得Coons曲面上任意一點P的高程異常值：

(7)

1.2 基于加權拋物線的Coons曲面

基于3點的Coons曲面的邊界曲線大多為拉格朗日多項式擬合的拋物線，而基于加權拋物線的Coons曲面(圖2)采用基于4點的Coons曲面的邊界曲線，其中相鄰3點組成拋物曲線，然后采用兩者的平均加權拋物線作為邊界曲線：

(8)

同理可以得到fx2、fy1、fy2的方程，然后利用邊界為加權拋物線曲線，構造Coons高程異常曲面模型。

圖2 加權拋物線曲線Fig.2 Weighted parabolic curve

2 實驗分析

本實驗區域位于我國西部某省的部分地區。該區域地勢較為平坦，大部分為沙漠和戈壁灘，總面積約為594 km2，其高程異常值最大相差7.759 m。GPS水準數據通過GPS靜態測量和EDM三等水準測量獲取。測量沿3條線路進行，由于中間線路測量條件限制，只得到GPS數據和個別點的EDM高程數據；測區兩側的GPS數據和水準數據可以較為理想地獲得。為得到中間線路未測點的EDM數據，分別通過成熟的擬合算法和Coons曲面進行內插或外推。為了檢核這些算法的可靠性，在中間線路選取12個點作為檢核點，測區內其余35個點作為擬合點，見圖3。

圖3 GPS水準點點位分布圖Fig.3 GPS leveling points distribution

表1 檢核點結果比較

從表 1可以看出，Coons-2精度最高，Coons-1精度次之，移動插值法和最小二乘配置法精度依次遞減，最小二乘法精度最差。

通過以上實驗說明，最小二乘法擬合的是整個擬合區域的趨勢面，而最小二乘配置法考慮到了隨機變量中的趨勢性因素，擬合精度得到進一步提高；移動插值法把最小二乘整體擬合改為分區域擬合，同時強化離待插值點近的點的作用，弱化遠距離點的作用，因此也具有較高的精度；基于3點的Coons曲面和基于加權拋物線的Coons曲面法在數據格網化后先把GPS水準點擬合成線，再由線構造面，減少了傳統擬合方法由點推面的精度損耗。

3 結 語

在山區和丘陵地區，由于似大地水準面變化與地球內部質量分布密切相關，特別是短波項的影響更為復雜，為獲取高精度似大地水準面，重力測量不可避免，但在地勢較為平坦的地區，基于GPS水準高程擬合算法則是區域似大地水準面精化的重要方法。本文研究了基于Coons曲面的線狀或帶狀區域似大地水準面擬合算法，結合實驗進一步說明了Coons曲面內插模型在地勢起伏平緩的區域對似大地水準面精化具有一定的補充和參考價值。

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About the first author:LI Feng, postgraduate,majors in GNSS data processing and quasi-geoid refinement, E-mail：1163467113@qq.com.

LIFeng1ZHANGShuhong2WANGHongfei1QUANWei1

1 School of Surveying and Mapping, Information Engineering University, 62 Kexue Road, Zhengzhou 450001, China 2 61243 Troops, Urumqi 830006, China

Aimed at solving the problem of quasi-geoid controlled by linear or strip of GPS-leveling points, Coons surface interpolation model is put forward. The first step is to synthesize GPS-leveling points fitting curve, and then the curve is used to construct the surface, as far as possible to reduce the traditional fitting method by point directly on the accuracy of consumption. Respectively, using the least squares method, least square collocation method, moving interpolation and Coons surface method to fit quasi-geoid controlled by linear or strip of GPS-leveling points, the result showed that the interpolation model based on Coons surface algorithm accuracy is the highest.

linear; GPS leveling; quasi-geoid; Coons surface

National High Technology Research and Development Program of China, No. 2013AA122502.

2016-01-09

項目來源：國家863計劃 (2013AA122502)。

李峰，碩士生，主要研究方向為GNSS數據處理與似大地水準面精化，E-mail：1163467113@qq.com。

10.14075/j.jgg.2016.12.017

1671-5942(2016)012-1109-03

P228；P223

A