淺析大學數(shù)學課堂教學中的極限思想

王曉燕，付俊偉，趙秀芳，王春艷，李 延

（齊齊哈爾大學 理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

淺析大學數(shù)學課堂教學中的極限思想

王曉燕，付俊偉，趙秀芳，王春艷，李 延

（齊齊哈爾大學 理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

數(shù)學的發(fā)生，發(fā)展及其自身無不體現(xiàn)著唯物辯證的精神。極限作為大學數(shù)學教學中的一種研究問題的方法和手段，它所蘊含的各種對立統(tǒng)一關系使得我們不僅看重它的工具品格，也越來越看重它的文化品格。高校教師在教授大學數(shù)學課程時，要適當?shù)靥崾緮?shù)學知識中所蘊含的哲學思想，對學生進行科學的世界觀和方法論的教育，這有利于提高學生的品格和素養(yǎng)，即我們不但要著眼于數(shù)學的工具品格，而且也要看重數(shù)學的文化品格。

大學；數(shù)學課堂；極限思想

極限思想起源于我國。公元前三世紀，就有劉徽利用割圓術來精確計算圓的面積，這是極限思想在幾何學上的應用。還有很多實際問題，如瞬時速度、切線斜率、曲邊梯形的面積、曲頂柱體的體積、變力做功、流體的流量等，都是極限思想的完美體現(xiàn)。在解決實際問題中逐漸形成的這種極限方法，已成為研究大學數(shù)學教學的一種基本思想方法，比如，在經(jīng)濟數(shù)學中，我們可以利用極限的思想對產(chǎn)品的長期價格做出預測。

例：設一產(chǎn)品的價格滿足P(t)=20-20e-0.5t(單位：元)，請你對該產(chǎn)品的長期價格做出預測

所以該產(chǎn)品的長期價格為20元

這種無限逼近的極限思想本身是蘊含著豐富的辯證思想的，它是過程與結果，近似與精確、有限與無限、微分與積分、一般與特殊、量變與質(zhì)變的對立統(tǒng)一[1]。下面我們分別贅述一下這些辯證關系，這對于我們深入研究大學數(shù)學的教學是大有裨益的。

一、極限思想是過程與結果的對立統(tǒng)一

二、極限思想是近似與精確的對立統(tǒng)一[2]

高等數(shù)學在給出定積分、重積分線面積分的定義時，都是三步，即分割，近似作和，取極限。第二步“近似作和”與第三步“取極限”就體現(xiàn)了近似與精確的對立統(tǒng)一。

經(jīng)濟學中的彈性概念也體現(xiàn)了這一辯證統(tǒng)一關系。一般說來，只要兩個經(jīng)濟變量之間存在著函數(shù)關系，我們就可用彈性來表示因變量對自變量變化的反應的敏感程度，即它是兩個變量各自變化比例的一個比值，它是無量綱的，不同于經(jīng)濟學中另外一個重要概念“邊際”，“邊際”說白了就是經(jīng)濟學中因變量對自變量的導數(shù)，它是有量綱的。舉個例子：

下圖是需求函數(shù)Qd=2400-400p的幾何圖形

從a點到b點即降價時的價格弧彈性為

從a點到b點即漲價時的價格弧彈性為

顯然，漲價和降價產(chǎn)生的需求的價格彈性系數(shù)值是不相等的。我們說，弧彈性反映的是a°b弧段當商品的價格變動1%時，需求量變動究竟有多大的百分比，這是a°b段

各點平均的情況，是各點彈性的近似情形。如果精確到要求出具體某點的彈性，即點彈性，我們?nèi)O限就可以了。我們先給出價格點彈性的公式

可見，彈性概念體現(xiàn)著近似與精確的對立統(tǒng)一。

三、極限思想是有限與無限的對立統(tǒng)一

如“借馬分馬”故事。有一位富翁，他臨死前留給三個兒子17匹馬，要求大兒子得總馬數(shù)的，二兒子得，小兒子得，并且不許殺死馬。富翁死后，三個兒子都不知道如何來分，這時，鄰居牽來一匹馬，共有18匹馬了，于是老大分得9匹，老二分得6匹，老三分得2匹，還剩下1匹馬，鄰居又牽著自己的那匹馬走了，這就是著名的“借馬分馬”故事。如果沒有鄰居的那匹馬，該如何分割遺產(chǎn)呢？實際上，該問題的核心，是將分遺產(chǎn)的過程無限地進行下去，即老大每次分得的馬匹數(shù)是數(shù)列則其所有項的和為

類似地，可求出老二、老三分得的馬匹數(shù)為6匹和2匹。可見，我們用無限討論了有限。我們還可以用有限討論無限。

四、極限思想是微分與積分的對立統(tǒng)一

第二次世界大戰(zhàn)后，日本的家電業(yè)迅速崛起，考察一下日本家用電器界建立的電飯煲銷售模型。記時刻t已售出的電飯煲總數(shù)為x(t)，由于已在使用的電飯煲實際上起著宣傳品的作用，粗略地假設每一個售出的電飯煲在單位時間內(nèi)平均吸引k個顧客，那么在t+Vt時刻電飯煲銷售的數(shù)量為

兩邊除以Vt，并令Vt→0，有

即x(t)滿足一階線性微分方程

x(t)=cekt若已知t=0時，x(0)=x0，則滿足初始條件的解為x(t)=x0ekt

可見，我們用極限的方法得到了一個電飯煲銷售模型，而過程中體現(xiàn)了微分與積分的對立統(tǒng)一。

五、極限思想是一般與特殊的對立統(tǒng)一

以經(jīng)濟學中的復利為例。復利是將到期后的利息，納入本金繼續(xù)產(chǎn)生利息的結算方式，設本金A0，年利率為r，如果一年n期計息，t年后本利和為

若令n→∞，就得到連續(xù)復利公式

可見，我們用取極限的方法得到了連續(xù)復利這一特殊模型，但實際上這一模型反映了現(xiàn)實世界中許多事物增長和衰減的規(guī)律，例如植物的生長、人口的增加、機器折舊等，從而它又具有一般性的指導意義。

六、極限思想是量變與質(zhì)變的對立統(tǒng)一

例當推出一種新的網(wǎng)絡游戲時，其銷售量與時間的關系為

其中t為月份，(1)請計算游戲推出后第3個月，6個月，9個月和第二年的銷售量。(2)請對該產(chǎn)品的長期銷售做出預測

解(1)

即當t→+∞時，銷售量為0，說明，量變積累到一定程度后發(fā)生了質(zhì)變，即當t→+∞時，購買此游戲的人會轉(zhuǎn)向購買其它游戲。

以上這些既對立又統(tǒng)一的辯證思想，是大學數(shù)學的靈魂。

著名數(shù)學家B.Demollins說：“沒有數(shù)學，我們無法看透哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看透數(shù)學的深度；而若沒有兩者，人們就什么也看不透。”數(shù)學的發(fā)生，發(fā)展及其自身無不反映著唯物辯證的精神，所以我們在教授大學數(shù)學課程時，要適當?shù)靥崾緮?shù)學知識中所蘊含的哲學思想，對學生進行科學的世界觀和方法論的教育，這有利于提高學生的品格和素養(yǎng)。即我們不但要著眼于數(shù)學的工具品格，而且也要看重數(shù)學的文化品格。

[1]張謀，魏曙光，易正俊.高等數(shù)學教學中數(shù)學思想的滲透[J].高等理科教育，2015(1)

[2]關文吉.淺談《高等數(shù)學》課的教學方法[J].首都師范大學學報(自然科學版)，2015(2)

[3]高鴻業(yè).西方經(jīng)濟學[M].北京：中國人民大學出版社，2010

[4]于海波.工程實用數(shù)學[M].大連：東北師范大學出版社，2011

[責任編輯：潘洪志]

G640

B

1009-6043（2016）12-0161-02

2016-10-27

王曉燕(1972-)，女，黑龍江克山人，齊齊哈爾大學副教授，碩士。研究方向：應用數(shù)學。

齊齊哈爾大學教育科學研究項目(2015104)。