對正四面體的研究性學習1

范世祥

正四面體是中學數學立體幾何中最經典的幾何體之一，以此為載體的試題屢見不鮮。本文針對正四面體進行研究性學習，研究的內容和方法對立體幾何的學習有啟發和遷移作用。

一、正三角形的研究

正四面體的每個面都是正三角形，根據空間問題平面化思想，為了更好地研究正四面體，我們先從正三角形開始說起。

問題1 已知正三角形的邊長為a，分別計算它的高、面積、外接圓的半徑以及內切圓的半徑。

解析 如圖1，結合解三角形知識，容易求出以下四個參數的值：

（1）高h=a；

（2）面積S=a；

（3）外接圓的半徑R=a；

（4）內切圓的半徑r=a。

評注 正三角形的“四心”（外心、內心、重心、垂心）合一，統稱為正三角形的中心，且中心O是每條高線（中線、角平分線）的一個三等分點。希望同學們能熟記這四個參數的值，對今后的解題會大有幫助。

二、正四面體的研究

問題2 已知正四面體的棱長為a，分別計算它的表面積、高、體積、外接球的半徑、內切球的半徑、相對棱的距離與夾角、側棱與底面所成角的余弦值、相鄰側面所成二面角的余弦值。

解析 如圖2，正四面體P-ABC，設點P在平面ABC內的射影為H，可知點H為等邊三角形ABC的中心，連接PH，由問題1可知，HA=a，HE=a。

（1）正四面體的表面積等于4個全等的等邊三角形的面積之和，故S=4×a=a。

（2）在Rt△PHA中，PH==a。

（3）下面用兩種方法計算正四面體的體積。

方法一：V=S·PH=×a×a=a；

方法二：將正四面體放入正方體中（如圖3），此時正四面體的棱長就是正方體的面對角線的長，所以正方體的棱長為a，而正四面體的體積就是正方體的體積減去四個等大的三棱錐，

所以有V=V-4V=a-4××a=a。

（4）下面用三種方法計算正四面體的外接球的半徑R。

方法一：如圖2，易知外接球的球心O在高PH上，連接OA，

在Rt△OHA中，OH=PH-R=a-R，OA=R，HA=a，

所以R=a-R+a，解得R=a；

方法二：將正四面體放入正方體中（如圖3），此時正四面體的外接球的直徑就是正方體的體對角線的長，即2R=×a，解得R=a；

方法三：外接球的半徑為OP=R，內切球的半徑為OH=r，

根據等體積法，可得V=V+V+V+V，即Sh=4×Sr，所以h=4r，

進而R=OP=PH=a（球心O將高線分成3∶1）。

（5）由（4）可知，內切球的半徑為OH=r=PH=a。

（6）將正四面體放入正方體中（如圖3），此時正四面體的相對棱的距離就是該正方體的棱長，即a。

（7）將正四面體放入正方體中（如圖3），此時正四面體的相對棱的夾角就是該正方體面對角線的夾角，即。

（8）如圖2，由題意可知，側棱PA與底面ABC所成的角就是∠PAH，

在Rt△PHA中，cos∠PAH==。

（9）如圖2，由題意可知，二面角P-AB-C的平面角就是∠PEH，

在Rt△PHE中，cos∠PEH==。

評注 以上所研究的正四面體的9個參數，涉及正四面體中的多個幾何量度，有距離（點到面的距離，異面直線的距離），有角度（異面直線所成角，線面角，二面角），還涉及與球有關的問題，熟練掌握其求解方法對其他的幾何體問題的解決也大有裨益。

三、應用舉例

例1 在正四面體P-ABC中，E、F分別是PC、AB的中點，則EF與BC所成的角大小為 。

解析 將正四面體放入正方體中（如圖3），此時正四面體的相對棱的中點的連線與側棱所成的角為。

例2 正四面體A-BCD的四個頂點都在同一個球面上，則A與B兩點與球心O連線的夾角余弦值為？搖 。

解析 在△AOB中，OA=OB=a，AB=a，由余弦定理可得cos∠AOB=-。

例3 一個三棱錐鐵框架的棱長均為2，其內置一氣球，使氣球充氣至盡可能膨脹（保持球的形狀），則此球的表面積為 。

解析 由題意可知，該球與相對棱相切，即球的直徑為相對棱的距離，將該正四面體置于一個正方體中，易知相對棱的距離為，所以此球的表面積為S=4π·=2π。

例4 已知正四面體A-BCD的棱長為9，點P是面ABC上的一個動點，滿足點P到面DAB、DBC、DCA的距離成等差數列，則P到面DCA的距離的最大值是 。

解析 正四面體的高為h=a=3，

設點P到面DAB、DBC、DCA的距離分別為d、d、d，

由等體積法可知，h=d+d+d，即3=d+d+d，所以d+d=2d=2，

當d=0時，d取得最大值為2。

水有源，故其流不窮；木有根，故其生不窮。幾何中的基本圖形與基本運算蘊含的豐富幾何思想方法是組成幾何問題的基礎。通過以上問題的解決，我們發現，正四面體的有關知識已經成為高考或模考命題的重要素材，如果我們能從研究最簡單的幾何體入手，掌握研究的思想與方法，無疑能抓住問題的核心，對學生理解數學本質有很大的幫助！