角平分線、平行線與等腰三角形

□苗賽莉

角平分線、平行線與等腰三角形

□苗賽莉

角平分線、平行線與等腰三角形關(guān)系密切，在題設(shè)中若見其一，應(yīng)思其二，想其三，這種解題思路往往是打開第一道大門的金鑰匙，突破解題的一個(gè)難點(diǎn)，使一類題目變難為易成為可能.這種思維方法稱為“知識(shí)板塊”思維法.

為幫助大家更好理解，現(xiàn)作如下歸納：

1.角平分線遇平行線出現(xiàn)等腰三角形.

①直線與角的一邊平行出現(xiàn)等腰三角形.

如圖1，已知：O D平分∠A O B，C D∥O A，則可得△O C D為等腰三角形.

圖1

②直線與角的平分線平行出現(xiàn)等腰三角形.

如圖2，已知：O C平分∠A O B，O C∥D E，則可得△O D E為等腰三角形.

圖2

2.等腰三角形與角平分線往往出現(xiàn)平行線.

①等腰三角形的一腰與角的一邊出現(xiàn)平行.

如圖1，已知：△O C D中，C O＝C D，O D平分∠A O B，則可得C D∥O A.

②等腰三角形的底邊與頂角的外角平分線出現(xiàn)平行.

如圖2，已知：△O C D中，O D＝O E，O C平分∠A O B，則可得O C∥D E.

3.等腰三角形與平行線往往產(chǎn)生角平分線.

①過一腰的直線與角的一邊平行產(chǎn)生角平分線.

如圖1，已知：△O C D中，C O＝C D，C D∥O A，則可得O D平分∠A O B.

②過頂角頂點(diǎn)的直線與底邊平行產(chǎn)生角平分線.

如圖2，已知：△O C D中，O D＝O E，O C∥D E，則可得O C平分∠A O B.

例已知在△A B C中，B D平分∠A B C，過點(diǎn)D作D E∥B C，分別交A B、A C于點(diǎn)E、F，連接C D.

（1）如圖3，若C D為∠A C B的平分線，求證：E F＝B E＋C F.

（2）如圖4，若C D為∠A C B的外角平分線，試猜想：E F、B E、C F三條線段的數(shù)量關(guān)系，并驗(yàn)證你的猜想.

圖3

圖4

分析：（1）本題中已知條件中有角平分線，還有平行線，利用角平分線和平行線，易知△B D E和△C D F為等腰三角形，得到B E＝D E，C F＝D F，通過等量代換可得E F＝B E＋C F.

（2）雖然C D從△A B C內(nèi)部移到了外部，但C D還是角平分線，利用平行，結(jié)合（1）的思路，易知△B D E和△C D F為等腰三角形，從而得到B E＝D E，C F＝D F.借助E F＝D ED F，可得E F＝B E－C F.

解：（1）∵B D和C D分別為∠A B C和∠A C B的平分線，

∴∠E B D＝∠C B D，

∠F C D＝∠B C D.

∵D E∥B C，

∴∠E D B＝∠C B D，

∠F D C＝∠B C D，

∴∠E B D＝∠E D B，

∠F D C＝∠F C D，

∴B E＝D E，C F＝D F，

∴E F＝D E＋D F＝B E＋C F，即E F＝B E＋C F.

（2）猜想：E F＝B E－C F.

驗(yàn)證：∵B D和C D分別為∠A B C和∠A C M平分線，

∴∠E B D＝∠C B D，

∠F C D＝∠M C D

∵D E∥B C，

∴∠E D B＝∠C B D，

∠F D C＝∠M C D，

∴∠E B D＝∠E D B，

∠F D C＝∠F C D，

∴B E＝D E，C F＝D F，

∴E F＝D E－D F＝B E－C F，

即E F＝B E－C F.

點(diǎn)評(píng)：本題中的兩問都是由角平分線、平行線發(fā)現(xiàn)等腰三角形，并且同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)等腰三角形.利用角平分線和平行線發(fā)現(xiàn)等腰三角形是突破此類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵.