消失點計算方法研究

張政武

(陜西理工大學機械工程學院，陜西 漢中 723001)

消失點計算方法研究

張政武

(陜西理工大學機械工程學院，陜西 漢中 723001)

利用消失點(線)進行場景理解與三維重建是計算機視覺研究中的一個重要問題。以往主要是利用圖像點的齊次坐標來計算，由于同一圖像點的齊次坐標之間相差一個比例因子，當圖像坐標過大(或過小)時，會引起計算精度的下降。為此，從實際計算角度出發，利用圖像點的坐標矢量和調和共軛特性，研究了消失點的計算方法。經過舉例分析和算法驗證，證明該方法實用、可靠。

計算機視覺；消失點；單位坐標矢量；算法

消失點和消失線是射影幾何中一個極其重要的概念。三維空間中一組平行直線在二維圖像平面上投影的交點稱為消失點，兩個消失點的連線即為消失線。由于消失點、消失線與直線、平面的方向有關，同時也包含著場景大量的三維結構和信息。因此，消失點(線)的估計在機器人導航、物體三維重建以及攝像機標定等方面有著廣泛應用[1-5]。

在利用消失點(線)進行場景理解與三維重建過程中，其計算方法及計算理論一直以來是計算機視覺研究中的一個重要問題[6-9]。文獻[6]提出了一種利用道路圖像消失點相對不變量的攝像機旋轉外參數的動態自動標定算法，該算法依據中心極限定理，動態估計汽車采集到的道路視頻序列中實時道路消失點，利用小孔成像模型下的消失點與消失線方程，解析求得對應于當前統計特征的攝像機外部參數動態解。文獻[7]介紹了一種利用消失點進行自動校準的光結構系統，該系統攝像機模型借助2組平行線上至少4個對應點線性求解投影矩陣，自動消除圖像采集中的梯形畸變。文獻[8]將齊次坐標的向量運算方法應用于交點擬合中，利用最小二乘法整體平差提取空間平行線在平面透視圖中的交點。文獻[9]基于隨機采樣一致算法對圖像空間中的線段進行聚類，在不需要

預知攝像機參數及直線的三維位置信息情況下，通過最小誤差獲得消失點的極大似然估計，構造了基于反向傳播的消失點誤差傳播模型。

上述方法主要利用圖像點的齊次坐標來計算，由于同一圖像點的齊次坐標之間相差一個比例因子，因此，當圖像坐標過大(或過小)時，會引起計算精度的下降。本文從實際計算出發，利用圖像點的坐標矢量和調和共軛特性，研究了消失點的計算方法，經過舉例分析和算法驗證，證明該方法實用、可靠。

1 圖像點的單位坐標矢量

三維空間點通過針孔模型投影到視平面上，視平面上的點(x,y)可用單位坐標矢量m表示[10]。m是一條以原點O為起點過該點的射線方向；同樣，視平面上的直線Ax+By+C=0用一個過原點和該直線的平面單位坐標矢量n表示。其坐標分別為

稱m、n分別為點和直線的單位坐標矢量。

設(x,y)是空間點(X,Y,Z)在視平面上的投影，坐標為

同時，定義空間一點和一條直線的單位坐標矢量分別為視平面上對應投影的單位坐標矢量。

2 消失點的單位坐標矢量

2.1 共線點的單位坐標矢量

交比是一個和射影變換有關的一個基本不變量，即空間共線 4點的交比等于其對應投影點的交比。

命題1. 設P1、P2、P3、P4是直線L上共線4點，m1、m2、m3、m4及n分別為對應點和直線的單位坐標矢量，則交比為

其中，v是任意一個(v,n)≠0的矢量。

證明. 各點、直線相對位置及單位坐標矢量如圖1所示。

圖1 各點、直線相對位置及單位坐標矢量

設視點O到直線L的距離為h，4點矢量分別為OP1、OP2、OP3、OP4(圖2)，則有

圖2 各點坐標矢量

由于矢量 OP1× OP3、 OP2× OP3、 OP1× OP4、OP2× OP4均與矢量n平行，若(v,n)≠0，則有

故

命題1給出了共線4點交比的單位坐標矢量計算公式。反之，若已知共線 4點的交比，則有下面命題成立。

命題2. 設P1、P2、P3、P4是直線L上共線4點，m1、m2、m3、m4及n分別為對應點和直線的單位坐標矢量，交比為{P1,P2;P3,P4}，則任意一點(如P4)的單位坐標矢量為

證明. 由于4點共線，則單位坐標矢量m4可表示為

同時

代入式(3)得

由式(7)求出a，代入式(6)得

用矢量n取代v(因為v是任意一個(v,n)≠0的矢量，當然也可以是n矢量)，再將m4化成一個單位坐標矢量，可得式(5)。

2.2 消失點的坐標矢量

若共線 4點 P1、P2、P3、P4的交比{P1,P2;P3,P4}= -1，則稱該4點為調和點，或稱點P1、P2與P3、P4成調和共軛。由式(5)和調和共軛的定義很容易得到下面命題。

命題 3. 設 P1、P2與 P3、P4成調和共軛，n是其軸線，m1、m2、m3、m4是其單位坐標矢量，則其中任意一點(如P4)的單位坐標矢量為

命題4. 設空間2點為P1、P2，P是線段P1P2的中點，P∞是該直線的消失點，則點P1、P與P2、P∞成調和共軛，即 { P∞,P;P1,P2}= -1。

如圖3所示，P1、P2、P3、P4是共面的一般位置4點，P是P1P2和P4P3的交點，Q是P4P1和P3P2的交點，則點P1、P2、P3、P4、P、Q組成一個完全四點形。

命題5. 設P1、P2、P3、P4、P、Q是一個完全四點形，S、R、O分別是P1P3和PQ、P4P2和PQ、P3P1和 P4P2的交點，則 {S,O;P1,P3}、{R,O;P2,P4}、{P,Q;S,R}成調和共軛(圖4)。

證明. 因為通過一個直射變化能夠將一般位置的任意4點映射為另外一般位置的任意4點，因此，四邊形 P1P2P3P4就能夠被映射為一個矩形(圖5)。S、R為2條對交線的消失點，O為2條對交線的交點，{ S,O;P1,P3}、{ R,O;P2,P4}成調和共軛。

圖3 完全四點形

圖4 完全四點形的調和共軛

圖5 一般位置4點被映射為矩形

同時，四邊形 P1P2P3P4可被映射為一個等腰梯形(圖6)。P是直線SR的消失點，{P,Q;S,R}也成調和共軛。

圖6 一般位置4點被映射為等腰梯形

結合命題3和命題5，分別得到直線 P1P3、P2P4消失點S、R的單位坐標矢量為

其中，n1、n2分別為直線P1P3、P2P4的單位坐標矢量。

消失線SR的單位坐標矢量為

如果 P1P2P3P4是空間一個四邊形的投影，那么S、R就是2條對角線的消失點，其表示空間對應直線的3D方向。投影直線SR是四邊形的消失線，可表示空間對應平面的3D方向。

3 舉例分析及算法驗證

3.1 舉例分析

設完全四點形變換前后各點坐標、直線方程及其單位矢量如表1、2所示。

表1 變換前各點坐標及單位矢量

表2 變換前各直線方程及單位矢量

四點形經T1、T2直射變換后，分別映射為一個長方形和等腰梯形。變換后各點的坐標、直線的方程及其單位矢量如表3、4所示。

表3 經直射變換T1、T2后各點坐標及其單位矢量

表4 經直射變換T1、T2后各直線方程及單位矢量

其中，

由命題5及式(9)可知，經過直射變換T1、T2后，各直線消失點的單位矢量如表5所示。

表5 經直射變換T1、T2后各直線消失點的單位矢量

3.2 算法驗證

變換前后各點及直線的相對位置如圖7、8所示。

圖7 一般位置4點被映射為長方形

圖8 一般位置4點被映射為等腰梯形

由高等幾何可知，空間直線無窮遠點(消失點)的齊次坐標如表6所示。

表6 空間直線無窮遠點(消失點)的齊次坐標

取焦距f=1，利用式(1)將表6中無窮遠點齊次坐標化為單位坐標矢量，與表5中計算結果相同。同時，利用式(10)，可求得T1、T2變換后消失線的單位坐標矢量均為(0,0,1)T，表示空間點和直線所在的平面與XOY平面重合，或稱空間點和直線位于XOY平面上。

4 結 論

本文基于圖像點的單位坐標矢量，利用調和共軛特性研究了消失點的計算方法。在此基礎上通過舉例分析和實驗驗證，證明文中所給公式的正確性。希望該方法能夠為空間場景的三維重建和物體識別等方面的研究提供一個較好的理論基礎。

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[10] 高 文, 陳熙霖. 計算機視覺[M]. 北京: 清華大學出版社, 1998: 23-27.

Study of the Computational Methods of Vanishing Points

Zhang Zhengwu

(Department of Mechanical Engineering, Shaanxi Sci-Tech University, Hanzhong Shaanxi 723001, China)

The comprehensive and recognition of 3D scene by using vanishing points (lines) has been one of the most important research areas in computer vision fields. The conventional computational methods based on the image homogeneous coordinates will cause deterioration of accuracy when they become too large or too small, because the homogeneous coordinates of the same image points have different representations by the scaling factor. The computation methods by use of the characteristics of coordinates vector and harmonic range are proposed from the perspective of computational processes in this paper. The results of examples show that this algorithm is more utility and reliable than traditional algorithms.

computer vision; vanishing points; unit coordinates vector; algorithm

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2016050702

A

2095-302X(2016)05-0702-05

2016-03-04；定稿日期：2016-04-28

陜西省教育廳專項科研計劃項目(15JK1163)；陜西理工大學院士工作站建設項目(fckt201501)

張政武(1969–)，男，陜西藍田人，副教授，工學碩士。主要研究方向為圖學理論、計算機視覺。E-mail：zhzhw256@163.com