妙用“特殊與一般”，學好“平行四邊形”

文／張偉俊

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）

“從特殊到一般，再由一般到特殊”是人類認識世界的基本過程，也是一種重要的數學思想方法。在數學學習的過程中，我們常常需要處理特殊與一般的關系，從特殊到一般，或是從一般到特殊，這就形成了數學的兩種基本方法：一般化和特殊化。“中心對稱圖形——平行四邊形”這一章中，蘊含了很多特殊與一般的關系。我們如果能用好這種關系，必將達到事半功倍的學習效果。

一、特殊化：從一般到特殊

在本章的學習中，無論是從旋轉到中心對稱，還是從平行四邊形到矩形、菱形、正方形，都體現了特殊化的思想。初學時，有些同學看到這么多圖形，每種圖形還有很多性質，不太容易記住，甚至感到混亂。其實，如果我們以特殊化的方法來構建“平行四邊形”的知識結構體系，便能很快分清哪個圖形具備什么性質了。如圖1所示，在四邊形的基礎上，再有“兩組對邊分別平行”，便得到平行四邊形；在平行四邊形的基礎上，再有“一個角是直角”，便得到矩形，或再有“一組鄰邊相等”，便得到菱形，而同時具備“一個角是直角”和“一組鄰邊相等”的條件便成了正方形。也就是說，平行四邊形是特殊的四邊形，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，同時，正方形還是特殊的矩形、特殊的菱形。從這個角度，我們又可以用圖2來描述它們之間的關系。

圖1

圖2

在這兩幅結構圖中，一般圖形的性質，是各個特殊圖形的共性。例如，所有平行四邊形（包括矩形、菱形、正方形）都具有“對邊平行且相等”“對角相等”“對角線互相平分”等性質。特殊圖形存在于一般圖形之中，特殊圖形不僅具有一般圖形的共性，而且還有自己的特性。例如，矩形不僅具有平行四邊形的所有性質，而且還有“四個角都是直角”“兩條對角線相等”等特性，菱形也有“四邊相等”“對角線互相垂直”等特性，這些特性并非所有平行四邊形都具有。一般地，圖形越特殊，它具有的特性也會越多。因此，我們在學習中可以從“圖形在特殊化的過程中增加了哪些特性”的角度，去把握各種圖形所具有的特性。

除此以外，在解決問題的過程中，我們也常常運用特殊化的方法來解決一般性的問題，尤其是在從一般性的角度找不到方法或者不易解決的時候。

例1如圖3，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D、E分別是AB、AC的中點，F、G為BC上的點，且FG=5，連接DG、EF，則圖中陰影部分的面積為 。

圖3

圖4

圖5

【分析】由“D、E分別是AB、AC的中點”，可知DE是△ABC的中位線，于是便可推得DE∥FG且DE=FG。如圖4，連接DE、DF、EG，可得四邊形DFGE為平行四邊形，所以S△FGH=S△DFH，故圖中陰影部分的面積可轉化為△ADE與△FDE的面積之和。又因為DE∥FG，所以無論F點位于BC邊上的何處，△FDE的面積都是不變的。因此，可以尋求F點的特殊位置，求解出此題的答案。譬如，假設點F與點B重合（如圖5），此時圖中陰影部分的面積便轉化成了△ABE的面積，即為△ABC的面積的一半，等于30。當然，這樣的問題也可以從一般性的角度解決。請同學們思考一下，從一般性的角度，解決本題還需要說明什么？

二、一般化：從特殊到一般

與上述過程相反，有的時候，我們也需要從特殊到一般，從特殊情況入手，去探求一般規律，以便更好地解決特殊問題。如蘇科版數學八年級下冊第87 頁的例題。

例2已知：如圖6，在四邊形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。求證：四邊形EFGH是菱形。（詳解見教材。）

圖6

圖6 中的四邊形EFGH可以稱為四邊形ABCD的中點四邊形，四邊形ABCD可以稱為原四邊形。例2 證明了當原四邊形對角線相等時，它的中點四邊形是菱形。

在這個問題解決之后，我們會思考什么問題呢？或許，有的同學會思考：如果原四邊形是任意四邊形，它的中點四邊形還有特殊性嗎？還有的同學會思考：如果一個四邊形的中點四邊形是矩形或者正方形，這個四邊形需要滿足什么條件呢？這便是從一般化的角度提出的問題，期望從一個特例出發，探索出原四邊形與其中點四邊形之間關系的一般規律。

如圖6，由于“E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點”，構造三角形中位線，根據“三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”可得EF∥GH且EF=GH，即四邊形EFGH為平行四邊形。故任意四邊形的中點四邊形都是平行四邊形。在此基礎上，要使中點四邊形為矩形，需要增加條件“有一個內角為直角”，從而推出需要原四邊形的對角線互相垂直；要使中點四邊形為正方形，需要增加條件“有一個內角為直角”和“有一組鄰邊相等”，從而推出需要原四邊形的對角線互相垂直且相等。

圖7

圖8

這樣便得到了原四邊形與其中點四邊形之間的一般關系：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形；如圖6，對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形；如圖7，對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形是矩形；如圖8，對角線互相垂直且相等的中點四邊形是正方形。

由此可見，特殊與一般是對立統一的，在一定條件下，它們是可以相互轉化的。無論是從特殊到一般，還是從一般到特殊，都是我們發現問題、提出問題的視角，也是我們分析問題、解決問題的方法，需要我們認真領會、準確把握。希望同學們在今后的學習中，能自覺運用特殊與一般的思想方法去思考問題、解決問題。堅持這樣做，你的認知水平和思維能力一定會得到長足發展。