Level Set方法在Z切石英各向異性濕法刻蝕模擬中的應用

東南大學，江蘇南京 211189

一、引言

石英各向異性濕法刻蝕可以用來加工一些特殊結(jié)構(gòu)，如陣列結(jié)構(gòu)、音叉[1]等，在傳感器中應用廣泛。但也正是由于各向異性的存在，使得石英濕法刻蝕微結(jié)構(gòu)設(shè)計對理論和經(jīng)驗要求較高。從工程應用的角度，希望找到一種有效的方法準確模擬石英在加工不同時間段的三維形貌，輔助掩膜設(shè)計，充分開發(fā)各向異性濕法刻蝕微加工工藝的潛能[2]。

在進行石英各向異性濕法刻蝕形貌數(shù)值模擬時，所要追蹤模擬的刻蝕界面曲面本身是高維的，同時又因為各向異性的存在，在石英表面法向存在不同的刻蝕速度。這種演變過程與Level Set所描述的曲面變化特點極其吻合?？梢詫evel Set方法應用到石英各向異性濕法刻蝕模擬中，實現(xiàn)其工程應用價值。

二、Level Set方法

1、Level Set函數(shù)構(gòu)建

Level Set(LS)方法是Osher 和 Sethian[3]提出的一種隱式追蹤運動界面的方法。該方法的主要思想是將需要追蹤的運動曲線（曲面）嵌入到高一維的函數(shù)中，將其表示為該函數(shù)的零等值線（面），這樣避免了對追蹤曲線（面）的參數(shù)化表示，在復雜運動界面追蹤和數(shù)值模擬中優(yōu)勢明顯。

以曲線為例，有許多方法可以實現(xiàn)曲線的追蹤，最簡單的方法是將曲線直接表示為函數(shù)y=f(x,t)。但很多情況下卻做不到，如閉合曲線。如圖1(a)所示，圓形封閉曲線上一個x會對應多個y值。這時可以根據(jù)LS的思想，將圓形曲線嵌入到高一維的函數(shù)中，將圓形曲線表示為該函數(shù)的零等值線，如圖1(b)所示。

LS方法還可以很容易的表示曲線或曲面的拓撲變化，如斷裂、融合，這在MEMS加工工藝，如刻蝕、沉積中經(jīng)常出現(xiàn)。

2、曲面控制方程

式中，VN—晶面刻蝕速率；

LS函數(shù)需要有足夠的光滑性，并且在零等值面附近法向單調(diào)，可以將LS函數(shù)表示為相對于石英刻蝕界面的符號距離函數(shù)，即滿足。

3、LS方程求解

方程（1）是依賴于時間的一階雙曲型偏微分方程，且是Hamilton-Jacobi方程

的一種具體形式。由于石英各向異性濕法刻蝕的特殊性，Hamilton函數(shù)是非凸函數(shù)[4]，采用Lax-Friedrichs(LF)格式[5]進行方程的數(shù)值求解。（1）式的LF數(shù)值求解形式可以寫成下式：

式中，αx,αy,αz—耗散系數(shù)，可表示為：

式中，u,v,w—石英晶面刻蝕速率VN在x,y,z三個方向的分量。

根據(jù)（2）（3），即可完成對（1）式的數(shù)值求解。通過不斷更新LS函數(shù)，追蹤石英刻蝕界面，實現(xiàn)石英刻蝕形貌的實時模擬。

4、LS函數(shù)重新初始化

為保證石英刻蝕模擬有較高的精度和穩(wěn)定性，LS函數(shù)必須保持為符號距離函數(shù)。但數(shù)學上已經(jīng)證明方程（1）的解并不是符號距離函數(shù)[6]。因此，需要每隔一段時間對LS函數(shù)進行重新初始化[7]。

LS函數(shù)重新初始化有兩點要求：

（1）零等值線的位置不變；

（2）初始化后的函數(shù)為符號距離函數(shù)[7]。

常用的重新初始化方法有直接法、程差方程顯示法[8]、偏微分方程隱式迭代法[9]。其中顯示方法在零等值面的提取階段存在數(shù)值近似，缺點明顯。因此，選用偏微分方程隱式迭代法進行LS函數(shù)重新初始化。

偏微分方程隱迭代法重構(gòu)符號距離函數(shù)由Sussman[9]等提出，一般構(gòu)造如下Hamilton-Jacobi類偏微方程：

式中，τ—時間；

—初始化前的LS函數(shù)；

—初始化后得到的LS函數(shù)。

舉例說明重新初始化的作用。設(shè)橢圓曲線方程如下：

橢圓曲線沿著法向向外擴散。為了追蹤曲線的運動，將橢圓曲線嵌入到高一維的LS函數(shù)中，如式（7）所示，橢圓曲線為其零等值線：

函數(shù)（7）的等值線圖如圖2所示。從圖2等值線的分布情況可知初始的LS函數(shù)并不是關(guān)于零等值線的符號距離函數(shù)。

根據(jù)式（4）（5）對初始構(gòu)建的LS函數(shù)進行初始化。初始化迭代50, 200, 300步后的函數(shù)等值線圖如圖3所示。

比較迭代200步和300步的等值線圖，可以發(fā)現(xiàn)迭代200步后方程已經(jīng)收斂，此時的LS函數(shù)為關(guān)于零等值線的符號距離函數(shù)。觀察迭代50步的等值線圖可知，在迭代步數(shù)較少時，零等值線附近數(shù)據(jù)點最先滿足符號距離函數(shù)的要求。石英刻蝕模擬時可以利用這一點，提高計算效率。初始化前后LS函數(shù)梯度的模值如圖4所示。初始化后除了原點附近的少數(shù)幾個點外，其他各點處的梯度模值都近似為1達到了初始化的目的。石英刻蝕模擬初始化過程與之類似，只是將曲線轉(zhuǎn)變?yōu)榱饲妗?/p>

三、石英濕法刻蝕模擬

為了借助LS方法準確模擬石英三維刻蝕形貌，首先須獲得完整的石英濕法刻蝕全速率圖，即VN。Cheng D[11]采用石英半球濕法刻蝕的實驗的方法獲得了α-石英在80℃飽和氟化氫銨（HF:NH4F=3:2）中的刻蝕全速率圖。借助LS方法進行有掩膜石英晶片刻蝕形貌模擬，算法流程如圖5所示。根據(jù)石英襯底大小、厚度，定義初始LS函數(shù)，并構(gòu)建函數(shù)演化方程；LS函數(shù)在石英刻蝕速度場中演化；通過追蹤LS函數(shù)零等值面的位置，確定刻蝕形貌。算法重點在于石英刻蝕速率的對應以及根據(jù)掩膜位置進行LS函數(shù)的重新初始化。

依據(jù)圖5所示流程圖，在MATLAB軟件中開發(fā)了石英濕法刻蝕形貌模擬程序。不同掩膜形狀Z切石英刻蝕形貌SEM圖和模擬結(jié)果如圖6所示。

槽寬為150μm矩形凹槽刻蝕80min刻蝕形貌如圖6(a)所示，側(cè)壁三個主要特征晶面與（0001）面的夾角分別為45°、32°、55°。依據(jù)開發(fā)出的算法程序模擬得到的側(cè)壁特征晶面，傾角分別為43°、35°、55°，可見模擬結(jié)果能很好地反應實際特征晶面，這在工程應用中十分重要。

邊長為20μm的三角形凸臺實驗與模擬結(jié)果對比如圖6(b)所示。模擬結(jié)果較好地反應了實際刻蝕時凸角處特征晶面的演化，體現(xiàn)出了LS方法處理復雜運動界面的能力。

圖6(c)為直徑200μm圓形凹槽刻蝕80min實驗模擬結(jié)果圖，實驗得到的三個交匯面與（0001）面的夾角為35°，模擬值為32°。

從實驗圖與模擬圖的對比可以看出，開發(fā)的模擬程序已經(jīng)可以較為準確地模擬出石英實際刻蝕形貌。在掩膜設(shè)計和刻蝕時間參數(shù)設(shè)置時可以用該模擬程序模擬結(jié)果作為參考，減少實驗成本。

四、結(jié)論

詳細介紹了LS方法在石英濕法刻蝕模擬中的應用，包括構(gòu)建初始LS函數(shù)、控制方程、數(shù)值解法以及重新初始化。借助開發(fā)的石英濕法刻蝕模擬程序，對Z切石英刻蝕形貌進行了模擬。通過和實驗結(jié)果的對比，表明開發(fā)的算法程序是穩(wěn)定有效的，具有工程應用價值。