基于牛頓迭代法的橢圓近似畫法誤差分析

周亞輝

(遼寧軌道交通職業(yè)學(xué)院，遼寧 沈陽 110023)

基于牛頓迭代法的橢圓近似畫法誤差分析

周亞輝

(遼寧軌道交通職業(yè)學(xué)院，遼寧 沈陽 110023)

四心圓法是用四段圓弧拼接成近似橢圓。由于其對稱性，取圖形的1/4為研究對象，利用二分法求解方程組，得出兩段圓弧拼接點坐標值；分別用兩段圓弧的極徑和實際橢圓中相應(yīng)的極徑進行長度誤差分析，列出兩段圓弧與橢圓極坐標方程，使用牛頓迭代法，求出圓弧與實際橢圓的極徑長度最大誤差值；計算出近似橢圓與實際橢圓面積，求出面積誤差值。在編程軟件中，根據(jù)所得數(shù)學(xué)模型編制計算器，計算結(jié)果列表對比分析，得出四心圓法作近似橢圓的誤差結(jié)論。

橢圓；牛頓迭代法；計算器；誤差分析

現(xiàn)實生活中，使用直尺和圓規(guī)手工作圖，不可能畫出精確的橢圓。用若干段圓弧拼接成近似橢圓是一個自然的想法，橢圓的近似畫法在數(shù)學(xué)(制圖)、天文(軌道分析)、藝術(shù)和建筑(如石拱門)設(shè)計中曾有廣泛應(yīng)用[1]。使用四心圓法畫近似橢圓是常見的方法，簡化了橢圓的畫法，易于通過尺規(guī)作圖實現(xiàn)，但能否準確地代替橢圓，在此還需對四心圓法作橢圓進行誤差分析。

1　四心圓法作橢圓

橢圓有兩條相互垂直且對稱的軸，即長軸和短軸，當(dāng)長軸和短軸為已知時，用四心圓法畫橢圓，其步驟[2]如下：

(1) 畫出相互垂直且平分的長軸AB與短軸CD；

(2) 連接AC，并在AC上取CE=OA-OC，如圖1(a)所示；

(3) 作AE的中垂線，與長、短軸分別交于O2、O3，再作對稱點O1、O4，如圖1(b)所示；

(4) 以O(shè)1、O2、O3、O4各點為圓心，O2C、O4D、O3A、O1B為半徑分別畫弧，即得近似橢圓，如圖1(c)所示。

圖1　四心圓法畫橢圓

2　數(shù)學(xué)模型

王國順和唐立波[3]介紹了圓弧擬合橢圓的誤差分析沒有精確理論解析。利用圖形學(xué)理論，研究極徑誤差大小來分析圓弧與實際橢圓的近似程度，由于橢圓是對稱圖形，在研究其近似畫法極徑長度誤差時，只研究圖形的1/4即可，取第一象限圖像為研究對象，并建立坐標系，如圖2所示。

圖2　1/4近似橢圓與實際橢圓

小圓弧是以O(shè)1為圓心，O1B為半徑r，解析式為(x- a+ r)2+y2=r2；大圓弧是以O(shè)2為圓心，O2C為半徑R，解析式為x2+(y- b+ R)2=R2；橢圓是以O(shè)為中心，長半軸長OB=a，短半軸長OC=b，解析式為。

極坐標是利用一點到原點的角度和距離來表示這一點的位置，取代橫、縱坐標，經(jīng)常用極坐標解決幾何問題，在直角坐標系中(x, y)，x被 ρcosθ代替，y被ρsinθ代替，從而得到新的方程。其方程用來解決曲線問題，如橢圓曲線、紐線、螺線等，可以使解題更加清晰簡便。

由小圓弧的極坐標方程得小圓弧極徑長度：

由橢圓的極坐標方程得橢圓極徑長度：

由大圓弧的極坐標方程得大圓弧極徑長度：

近似橢圓極徑和實際橢圓中相應(yīng)的極徑長度誤差：

其中極角α=∠BOK。

由上式可知極徑長度誤差e是分段函數(shù)，大圓弧與小圓弧拼接點K是其分段點，所以需求解出K點坐標值，進而求得極角α值，對兩段函數(shù)分別進行討論計算，進而才能求得e的最大值。

欲求點K坐標值，需確定圓O1與圓O2的位置關(guān)系。圓與圓位置關(guān)系有5種，即相離、相切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含，判斷兩圓的位置關(guān)系的步驟及其判斷方法：①計算兩圓的半徑R，r；②計算兩圓的圓心距O1O2，即d；③根據(jù)d與R，r之間的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系。

在圖1(b)中，△AO3F∽△ACO，所以：

因：

所以O(shè)1O3=R-r，即圓O1與圓O2相切，切點為K。在圖2中，設(shè)K點坐標為(x, y)，△OO1O2∽△HO1K，所以：

由于K是切點，那么(x, y)滿足小圓弧解析式，即：

式(1)、(2)組成一個非線性方程組，利用二分法[4]求解方程，基本思想是：逐步將含根區(qū)間二等分，通過判別區(qū)間端點的函數(shù)值符號，進一步搜索含根區(qū)間，使含根區(qū)間長度縮小到足夠小，從而求出滿足給定精確度根的近似值，其運算簡單、可靠、易在計算機上實現(xiàn)。

由于只討論1/4圖形，所以y取值區(qū)間為y=0 和y=b，在此區(qū)間進行迭代計算，求解出x與y值，從而求得。

在小圓弧段內(nèi)，即極角θ∈(0,α)區(qū)間，極徑長度誤差，整理得，將其表達為隱函數(shù)，對其求導(dǎo)[5]求出極值點：。

式(3)是極角θ的超越方程，使用牛頓法[6]進行迭代求解。牛頓迭代法(New ton’s method)又稱為牛頓-拉夫遜(拉弗森)方法(New ton-Raphson method)，其是牛頓在 17世紀提出的一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法。基本思想是：將非線性方程f (x)=0逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解，把f (x)在點x0的某鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)：，取其線性部分(即泰勒展開的前兩項)，并令其等于 0，即f( x0)+f′(x0)( x- x0)=0，以此作為非線性方程f( x)=0的近似方程，若f( x0)≠0，則其解為，這樣，得到牛頓迭代法的一個迭代關(guān)系式：

比較emax1與emax2的值，即可求出近似橢圓與實際橢圓的極徑誤差最大值。

橢圓面積S1=πab；近似橢圓是由圓弧段拼接而成的，所以：

3　計算器

編程是為了借助計算機來達到某一目的或解決某個問題，而使用某種程序設(shè)計語言編寫程序代碼，并最終得到結(jié)果。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展和普及，數(shù)值分析的原理與方法在各學(xué)科中的應(yīng)用越來越多，根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的計算方法，直到編出程序上機算出結(jié)果，并對計算結(jié)果進行分析。

根據(jù)推導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型，在編程軟件中編寫程序，生成橢圓近似畫法誤差計算器，如圖3所示。

圖3　計算器

輸入橢圓長半軸和短半軸長參數(shù)，點擊計算按鈕，則輸出結(jié)果。以a=25，b=12為例，計算結(jié)果如圖4所示，通過46次迭代計算，大圓弧與小圓弧接點的極角α=19.883°，當(dāng)極角θ=16.388°時，橢圓近似畫法與實際橢圓的極徑長度誤差值最大，最大誤差值為2.586%，實際橢圓面積S1=942.478，近似橢圓面積S2= 948.629，面積誤差為0.653%。

圖4　計算結(jié)果

多次輸入，可以點擊重置按鈕，文本框清除，可以重新輸入。計算器的退出，有2種方法選擇：①點擊退出按鈕；②點擊界面的退出按鈕，也可退出。

4　結(jié)　論

在計算器中，輸入不同 a，b值，經(jīng)計算輸出結(jié)果，見表1。

表1　計算結(jié)果

由表1可得如下結(jié)論：

(1)S2＞S1，說明近似橢圓比實際橢圓面積大，近似橢圓比實際橢圓更飽滿。

(2)α ＞θ，說明極徑最大偏差值永遠發(fā)生在小圓弧段內(nèi)，近似橢圓在大圓弧段內(nèi)和實際橢圓擬合得較好。

(3)橢圓長半軸長a與短半軸長b越接近，即a/b值越接近1，極徑長度誤差越小，近似橢圓與實際橢圓擬合的越好。

[1] 曾振柄, 陳良育, 李志斌, 等. 偏差最小的四心圓近似橢圓作圖法[J]. 圖學(xué)學(xué)報, 2013, 34(1): 9-10.

[2] 王幼龍. 機械制圖[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007: 29.

[3] 王國順, 唐立波. 八心圓弧擬合橢圓誤差的理論解析及最優(yōu)解[J]. 圖學(xué)學(xué)報, 2014, 35(5): 697-703.

[4] 張鐵, 閆家斌. 數(shù)值分析[M]. 北京: 冶金工業(yè)出版社, 2005: 78-79.

[5] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2014: 86-88.

[6] 李慶揚, 王能超, 易大義. 數(shù)值分析[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2001: 276-277.

Error Analysis of Ellipse Based on New ton Iteration Method

Zhou Yahui

(Guidaojiaotong Polytechnic Institute, Shenyang Liaoning 110023, China)

The four-arcs method uses four arcs joining together similarly into an ellipse. Due to its symmetry, we take a quater graphics as the researching object and solve the equations by using dichotomy. Then we get the splicing point coordinates of the two pieces of circular arc. Then do error analysis with the actual ellipse in the two pieces of circular arc, and list the mathematical equations of the two pieces of circular arc and the ellipse polar. Then solve the actual maximum error value of the ellipse and the two pieces of circular arc with New ton iterative method. A fter that, figure out the approximate and actual ellipse areas, so as to work out the area error values. With the mathematical model, the calculator software is developed. It is concluded that the error of the approximated ellipse is solved through comparing the analysis list of calculating results.

ellipse; New ton iterative method; calculator; error analysis

TH 126

10.11996/JG.j.2095-302X.2016020189

A

2095-302X(2016)02-0189-04

2015-08-03；定稿日期：2015-11-03

周亞輝(1978–)，女，遼寧沈陽人，講師，碩士。主要研究方向為機械工程。E-mail：sh6910@163.com