逼近三次B樣條導矢曲線的四次Hermite插值樣條

郭　嘯， 韓旭里， 黃　琳

(1. 中南大學數學與統計學院，湖南 長沙410083；2. 長沙師范學院，湖南 長沙 410083)

逼近三次B樣條導矢曲線的四次Hermite插值樣條

郭嘯1, 2， 韓旭里1， 黃琳2

(1. 中南大學數學與統計學院，湖南 長沙410083；2. 長沙師范學院，湖南 長沙 410083)

給出了形狀可調的四次Hermite插值樣條曲線的構造方法。四次樣條曲線可提供額外的自由度用于調整曲線具有合理形狀。利用導矢逼近使得四次Hermite樣條曲線具有與三次B樣條曲線相似的形狀。通過最小化曲線間的導矢誤差給出了確定自由度的方法，提出了四次Hermite插值樣條曲線的構造方法。該方法增加了自由度控制曲線形狀能更好滿足保形要求。最后以實例對構造的四次Hermite樣條曲線和標準三次Hermite插值樣條曲線進行了比較。

Hermite插值樣條；保形插值；形狀可調

參數曲線的保形插值是計算機輔助幾何設計中的重要研究內容。Hermite樣條插值方法是構造保形曲線的重要方法之一[1]。關于Hermite插值曲線的構造方法，誤差估計，形狀保持以及插值應用已有較多研究成果[2-8]。利用Hermite插值方法，可對給定有序控制點Pi( i=0,1,…,n)及對應點的k階導矢，構造出2k+1次的Hermite插值曲線，該曲線經過所有控制點且具有Ck連續性。當確定一階導矢后可構造出最簡單的三次Hermite插值曲線。但在某些情況下的三次Hermite插值曲線存在扭曲現象，對某些數據點集構造出的插值曲線存在重點，尖點或折疊的情況[9]。三次Hermite插值曲線沒有額外自由度用以調整曲線形狀，存在較大的應用局限性。提高插值階次可以改善Hermite曲線的平滑性[10]，同時能增加自由度使曲線曲面具有更好的形狀[11-12]。

本文提出一個構造可調整的C1連續四次Hermite樣條插值方法。由于三次B樣條曲線具有較好的幾何特性[1,13]，在構造四次Hermite插值曲線時，應盡量接近三次B樣條曲線形狀。樣條曲線的導矢反映了曲線的形狀，因此本文通過設置導矢逼近的目標函數來確定自由度，給出了構造四次Hermite樣條曲線的插值方法。最后通過實例，將構造的四次Hermite樣條曲線和標準三次Hermite樣條曲線的形狀進行比較。

1　三次B樣條曲線表示

其中，

三次B樣條曲線對控制多邊形有很好的保形特性，其性質為：①凸包性；②幾何不變性；③變差縮減性；④ui節點處二階連續可微。

2　四次Hermite樣條插值曲線的構造

或令導矢等于三次B樣條曲線在節點處的導矢：

2.1四次Herm ite樣條插值曲線定義

在控制點Pi, Pi+ 1之間可構造一段三次 Hermite曲線，使得S(t)滿足插值條件：且，由此所構造的在u∈[a, b]上C1連續的曲線S(u)稱為標準三次Hermite樣條曲線。其是分段三次多項式，在每個小區間上的定義為：

將常用的標準三次Herm ite樣條插值曲線升階后可得到四次Hermite多項式：

本文采用新方法，對四次Hermite樣條曲線引入用于調節形狀的自由度參數，通過參數的不同取值實現曲線形狀的調整。對任意u∈[ui, ui+1]，設，令Qi表示新增的自由度參數，將可調整的四次Hermite樣條插值曲線定義為：

2.2形狀參數的確定

由控制點Pi-1,Pi, Pi+1,Pi + 2所得到u∈[ ui+2, ui + 3]上的三次 B樣條參數曲線Ci+2( t )具有良好的形狀特性且相當逼近控制多邊形的形狀[14]，因此，希望選取合適的Qi值，能使控制點 Pi, Pi+ 1之間構造的四次Hermite樣條插值參數曲線Si( t)形狀盡量接近三次B樣條曲線Ci+2( t )。兩條曲線形狀的接近程度可由曲線間一階導矢曲線的距離：

或者二階導矢曲線的距離定義：

比較式(6)和式(7)可知，對任意的控制點及節點向量，都有，。以下分別按這兩種情況確定形狀參數來構造四次Hermite樣條插值曲線。

(1) 一階導矢距離最小。為了使曲線Si( t)是Ci+2( t )形狀的最佳近似，將優化目標定義為二者一階導矢曲線間的距離最小，即尋找Qi使得最小，等價于求。由函數求極值的必要條件有：

下面討論如何求解式(10)。整理式(1)可得：

其中，

而

將式(11)～(15)代入式(10)整理得：

其中，

化簡式(16)后求解得到：

由于

式(17)可進一步整理化簡為：

(2) 二階導矢距離最小。通過最小化曲線間的二階導矢距離來保證Si(t)在形狀上近似Ci+2( t )，則需要尋找合適的Qi值使得最小。利用函數求極值的必要條件有：

需求解式(19)，將式(11)升階后得：

直接計算可得：

其中，

整理化簡式(25)有：

3　應用實例

表1中給出了例1～ 4的控制頂點和節點向量，實例中采用式(3)計算節點導矢。

根據例1中的數據，構造了逼近三次B樣條曲線一階導矢的四次Hermite樣條插值曲線如圖1點劃線所示，逼近三次B樣條曲線二階導矢的四次Hermite樣條插值曲線如圖1細點曲線所示。將這兩條四次Hermite插值曲線與圖1實線所示的三次B樣條曲線對比，從圖形結果來看，逼近一階導矢的四次Hermite插值曲線在峰值附近上升時變化率較緩，曲線下降后波動幅度較小，形狀上更接近三次B樣條所建議的形狀。

在例2、3中，應用本文的新方法構造了逼近三次B樣條曲線一階導矢的四次Hermite樣條插值曲線(見圖2(b)與圖3(b)中的實線曲線)。通過與標準的三次Herm ite樣條曲線(見圖2(a)與圖3(a)中的虛線曲線)進行對比，在例2中構造的四次Herm ite樣條曲線波動處幅度較小，例3中四次Hermite樣條曲線整體上更接近插值數據點所形成的控制多邊形。

例4中的控制點P2, P3, P4, P5用于構造閉合的四次Hermite插值曲線，可令 P1處的切矢T1與 P5處的切矢T5相等以保證閉合曲線的C1連續性。利用逼近三次B樣條一階導矢來構造的曲線如圖4所示。從實例的細節效果來看，新方法構造的插值曲線對三次Hermite樣條曲線的折疊程度有所改善。

表1　例1～4控制點及節點數據

圖1　數據點的樣條插值曲線

圖2　數據點的樣條插值曲線

圖3　數據點的樣條插值曲線

圖4　數據點的樣條插值曲線

4　結　論

本文以四次多項式為基函數構造的1C連續Hermite樣條插值曲線，即具有三次樣條曲線結構簡單易于計算的優點，又提供了額外的自由度用以調整曲線曲面的形狀。由于三次B樣條幾何性質好，且形狀上接近插值數據點形成的控制多邊形，因此本文利用逼近三次B樣條導矢曲線來優化自由度參數，給出了構造可調整的四次Hermite樣條插值曲線的顯式表達式。實例表明，新方法生成的四次Hermite樣條曲線比標準三次Hermite樣條曲線更接近插值數據點所建議的形狀。

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Quartic Herm ite Interpolation Sp line Determ ined by Approximating the Derivative of Cubic B-Sp line Curve

Guo Xiao1, 2,Han Xuli1,Huang Lin2

(1. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha Hunan 410083, China; 2. Changsha Normal University, Changsha Hunan 410083, China)

A method is developed to construct adjustable quartic Hermite interpolating spline curves. The extra degree of freedom can be used to adjust the quartic curve to a reasonable shape. The interpolation based on the approximation of derivatives is discussed to make quartic Hermite spline with similar shape feature of cubic B-spline. The degree freedom is determined by minimizing the proximity, which is defined by the squared difference of the derivatives of the curves. The shape of the proposed quartic spline can be adjusted to satisfy the shape-preserving requirement by changing the values of degree of freedom. Four numerical examples are presented to compare the proposed quartic Hermite spline with the standard cubic Herm ite spline.

Hermite interpolating spline; shape-preserving interpolation; shape adjustable

TP 391.72

10.11996/JG.j.2095-302X.2016020149

A

2095-302X(2016)02-0149-06

2015-09-24；定稿日期：2015-10-11

郭嘯(1982–)，女，湖南張家界人，講師，博士研究生。主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：guoxiao@csu.edu.cn

韓旭里(1957–)，男，湖南武岡人，教授，博士，博士生導師。主要研究方向為數值逼近、計算機輔助幾何設計等。E-mail：xlhan@csu.edu.cn