一種稀布矩形平面陣的多約束優化方法

劉恒 趙宏偉 李維梅 劉波

(中國空間技術研究院西安分院,西安 710100)

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一種稀布矩形平面陣的多約束優化方法

劉恒 趙宏偉 李維梅 劉波

(中國空間技術研究院西安分院,西安 710100)

針對矩形孔徑平面稀布陣的多約束優化問題(包括陣元數、陣列孔徑和最小陣元間距約束),提出了一種基于矩陣映射的差分進化算法. 該方法把差分進化算法的優化變量與陣元位置坐標按照特定的關系進行矩陣映射,使含有多約束的陣元分布優化問題轉換為僅含差分進化算法優化變量上、下限約束的優化問題,從根本上避免了進化過程中的不可行解. 通過抑制陣列峰值副瓣電平進行仿真實驗,結果顯示了該算法的高效性和穩健性,且能獲得比現有方法更好的優化結果.

陣列天線;稀布陣;峰值副瓣電平;差分進化算法;約束優化

DOI 10.13443/j.cjors.2015070101

引 言

稀布陣列因具有高分辨率和低成本受到廣泛的研究,已成功應用于抗干擾衛星接收天線、高頻地面雷達、射電天文學中的干涉陣等領域. 由于稀布陣列天線的設計是一個復雜的非線性過程[1-3],如果對均勻間隔陣列簡單地進行稀疏設計,可以形成陣元間距為某個基本量的整數倍的稀疏陣[2],從而極大地簡化了設計過程[4-5]. 相對于稀疏列的綜合問題,陣元在孔徑內隨機分布的稀布陣由于具有更多的設計自由度,在同等陣元數和陣列孔徑約束條件下能獲得更優的輻射特性,近年來已受到廣泛的關注[6-10].

為了減少陣元之間的互耦以及消除柵瓣,通常約束相鄰陣元間距不小于半波長,所以含約束的稀布陣設計是陣列天線的重要課題.

稀布陣是一個有陣元數、陣列孔徑和陣元間距約束的多約束優化問題. 現有的文獻針對直線稀布陣已經做了大量的研究工作[6-9],并得到了多種不同的優化方法. 考慮實際工程應用,目前少有文獻對稀布平面陣進行研究,僅有對矩形平面稀布陣[10]和圓形平面稀布陣[11]的分析,以抑制陣列的峰值副瓣電平PSLL為目的. 在文獻[10-11]中,采用的遺傳算法都是通過引入帶約束的矩陣變換、設計廣義交叉和變異算子的改進遺傳算法,雖然在優化過程中有效地避免了不可行解的產生,但在引入遺傳操作預處理和遺傳操作后處理的同時,必然導致優化算法的計算量成倍增加. 因此,尋找一種高效率的稀布平面陣的優化方法就顯得格外重要.

差分進化(Differential Evolution,DE)算法是Storn和Price兩位學者提出的[12],由于其高效、快速、隨機并行搜索方式,且操作簡單、搜索能力強等原因,已經在陣列天線綜合等電磁優化問題得到了廣泛的應用[13-16]. 楊仕文教授[16]在時間調制天線陣列和幅度激勵的方向圖綜合中應用DE算法進行優化,取得了比遺傳算法更快的收斂速度. 本文針對矩陣平面稀布陣的多約束優化問題(包括陣元數、陣列孔徑和最小陣元間距約束),提出一種基于矩陣映射的差分進化算法. 通過特殊的矩陣映射關系,將陣元坐標矩陣轉換為僅含差分進化算法優化變量的上、下約束問題,消除了優化過程中的不可行解,降低了算法的尋優空間,與現有的文獻方法相比,大幅度地降低了稀布陣優化的計算量.

1 矩形稀布陣優化問題模型

設優化稀布陣模型為圖1所示的對稱結構的矩形平面陣,陣元數為4N(N為正整數),位于xoy平面上,關于x軸和y軸對稱. 任一陣元的坐標|xi|≤L且|yi|≤H,可保證陣列孔徑約束為2L×2H.

圖1 對稱稀布陣在第一象限的示意圖

設(xn,yn)為第n陣元在xoy平面內的坐標,記In為第n個陣元的激勵值. 由于陣列的對稱性,可以通過圖1中N個陣元得到其他3N個陣元的坐標和激勵,則矩形平面陣列的陣因子為

ejk(xnu-ynv)+ejk(-xnu+ynv)+ejk(-xnu-ynv)].

(1)

式中: k=2π/λ,λ為自由空間波長; u=sin θcos φ,v=sin θsin φ為方向余弦,θ、φ分別為球坐標系下的俯仰角和方位角. 假設陣元是理想點源,且等幅同相激勵,即In=1. 為保持陣列孔徑為2L×2H,設置xN=L,yN=H.

為了方便優化,將陣元位置向量[x1,x2,…,xn]和[y1,y2,…,yn]變形為矩陣形式,則稀布平面陣列的坐標可以用P行Q列的矩陣X和Y來描述,P和Q通過以下計算得到:

(2)

當陣元數N=P×Q時,陣元坐標矩陣X和Y為滿陣;當陣元數N

(3)

這是一個非線性的多約束優化問題,陣元間距可簡單地取為切比雪夫距離:

d=max{|xij-xkl|,|yij-ykl|}.

(4)

容易證明,若陣列滿足切比雪夫距離約束,則滿足最小陣元間距約束. 若為了抑制兩個主面的PSLL,可以依據φ=0和φ=π/2面的PSLL之和構造適應度函數,即

(5)

若要使所有φ平面的PSLL盡量低,適應度函數可定義為

(6)

式中: Fmax是陣列方向圖的主瓣峰值; θ,φ的取值為方向圖的副瓣區域.

2 矩陣映射的DE算法

2.1 種群的生成方法

(7)

式中: αij、βij(1≤i≤P, 1≤j≤Q)為[0,1]之間的隨機數; xiQ(1≤i≤P)為第i行第Q列陣元的x坐標; yPj(1≤j≤Q)為第P行第j列陣元的y坐標. 為了滿足陣元間距的約束,每一行第一列陣元的坐標Δxi1應該滿足Δxi1≥0.5d0,其他列的陣元間距應滿足Δxij≥d0(2≤j≤Q),令Δd=[0.5d0, d0,…,d0]為陣元間距最小約束向量. 那么在x方向有Q個陣元,xiQ的取值范圍為[(Q-0.5)d0, L]. 同理可得在y方向,第P行第j列陣元的y坐標yPj的取值范圍為[(P-0.5)d0, H]. 則陣元間距矩陣ΔX和ΔY可以通過以下特殊的映射關系得到:

(8)

(9)

下面證明,對于任意矩陣A和B映射得到的陣元坐標矩陣X和Y均滿足陣元間距約束和陣列孔徑約束,且滿足間距和孔徑約束的任何X和Y都可以通過矩陣A和B映射得到.

同理可證,B與Y之間的映射關系. 所以陣元坐標矩陣X和Y的所有可行解都可以通過矩陣A和B的映射得到. 通過矩陣A和B映射得到的陣元坐標矩陣X和Y,如果陣元數N

2.2 DE算法優化流程圖

對于平面稀布陣的多約束問題,通過映射把陣元坐標矩陣X和Y轉換為矩陣A和B僅含單個變量上、下限約束的連續優化問題. 從矩陣映射DE算法的流程圖(圖2)可以看出,在優化過程中,作為計算適應度函數時的陣元坐標矩陣X和Y不參與DE算法的變異、交叉、選擇操作,這樣不需對算法進行改進,就可以保證在進化過程中的X和Y都是可行解,避免了為不可行解而設置懲罰函數. 同時DE算法的收斂性由可行解空間范圍的封閉性得到了保證.

圖2 矩陣映射DE算法流程圖

3 計算機仿真性能比較

文獻[10]運用改進的遺傳算法對陣列孔徑2L×2H=9.5λ×4.5λ的陣列進行綜合,在陣元間距不小于0.5λ約束下,分別實現了陣元數4N=108和4N=100的稀布矩形平面陣設計. 為了驗證本文方法的有效性和穩健性,在同樣的約束下,通過仿真實驗對比兩例矩陣平面稀布陣的綜合結果.

3.1 仿真實例1(4N=108)

陣元數4N=108的對稱矩形平面陣,陣元間距不小于0.5λ,總孔徑2L×2H=9.5λ×4.5λ,為了進行算法性能的對比,采用相同的采樣點數,即在u=sinθ區間[0,1]內的采樣點數為100,同樣取式(5)作為適應度函數,P=3,Q=9來表示陣元位置矩陣X和Y,可知本文中矩陣A和B的變量個數為2PQ+P+Q-2=64,個體采用64位的實數編碼.DE算法的參數采用文獻[17]推薦的DE/rand/1/bin,變異概率為0.5,交叉概率為0.9,種群數為50,進化代數為300,為了檢驗本文方法的穩健性,獨立隨機地運行5次仿真程序. 在文獻[10]中,其適應度最優個體為-45.456dB(在φ=0面,PSLL=-29.597dB;在φ=π/2面,PSLL=-15.859dB).

在本文算法仿真結果中,最好的適應度值為-51.424dB(在φ=0面,PSLL=-34.998dB;在φ=π/2 面,PSLL=-16.426dB,兩個主面的結果都優于文獻[10]),最差的一次為-49.269dB. 比文獻[10]中最好優化結果分別低了5.968dB和3.308dB. 圖3給出了DE算法單次和5次平均收斂曲線,圖4是最優稀布陣在φ=0和φ=π/2截面的方向圖. 表1給出了最優個體的陣元坐標矩陣X和Y,對應的陣元分布圖與文獻[10]的對比如圖5所示.

圖3 DE算法單次和5次平均收斂曲線

圖4 φ=0和φ=π/2面的方向圖

圖5 第一象限內文獻[10]與本文稀布陣分布圖

3.2 仿真實例2(4N=100)

陣元數4N=100,最小陣元間距約束、陣列孔徑以及DE算法的參數設計與實例1一樣. 采用式(6)作為適應度函數,對所有φ平面的副瓣進行抑制. 根據式(2)計算得到P=3,Q=9,與實例1不同,經過矩陣映射后的陣元位置矩陣X和Y有兩個元素需要被剔除掉(第3行第9列的元素必須保留). 在文獻[10]中,最優個體的適應度為-18.84 dB.

在本文算法優化結果中,最好的適應度值為-20.384 dB,最差的結果為-20.272 dB,比文獻[10]中最好優化結果分別低了1.54 dB和1.43 dB. 圖6是最優稀布陣的歸一化遠場方向圖. 表2列出了最優個體的陣元坐標稀疏矩陣X和Y,其中被剔除的位置用“X”標示,對應的陣元分布圖與文獻[10]的對比如圖7所示.

通過上述兩例的數值結果分析,證實了本文提出優化算法的優化效率,且具有好的收斂性和穩健性.

圖6 歸一化遠場方向圖 圖7 第一象限內文獻[10]與本文得到的稀布陣分布圖

列 1列 2列 3列 4列 5列 6列 7列 8列 9行10254，02540757，02671259，02511763，02502271，02542808，02513478，02604210，02504745，0264行20251，07690756，08141259，07521767，07512285，08442872，07523582，08704241，07514750，1708行30251，17650752，15411253，12531759，12512267，22482901，12523542，16074190，12524750，2250

表2 最優陣4N=100的第一象限陣元坐標矩陣X和Y(第一、第二個數分別為x,y坐標,單位λ)

4 結 論

本文針對矩形平面稀布陣綜合中的多約束優化問題(包括陣元數,陣列孔徑和最小陣元間距約束),提出了一種基于矩陣映射的差分進化算法,通過精心設計參數變量矩陣,將差分進化算法中的變量與陣元位置按照特定的關系進行映射. 在保持可行解空間不變的前提下,將多約束優化問題轉換為僅含變量上、下限約束的優化問題,從而避免了算法在優化過程中的不可行解. 與現有公開發表的方法相比,本文提出的方法在變量數上有所增加,但避免了進化過程中復雜的后期處理,極大地提高了算法優化效率. 且本文提出的方法具有好的通用性,可用于差分進化算法外的多種算法.

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趙宏偉 (1982-),男,山東人,中國空間技術研究院博士研究生,研究方向為空間譜估計、智能優化算法.

李維梅 (1986-),女,甘肅人,中國空間技術研究院工程師、博士研究生,研究方向為衛星射頻系統關鍵技術.

劉波 (1963-),男,湖南人,中國空間技術研究院研究員、博士生導師,研究方向為衛星總體設計.

An optimum method of sparse planar arrays with rectangular boundary

LIU Heng ZHAO Hongwei LI Weimei LIU Bo

(China Academy of Space Technology, Xi’an 710100, China)

This paper proposes an array antenna synthesis technique based on differential evolution(DE) with matrix mapping for sparse rectangular planar arrays with multiple constraints. The constraints include the number of elements, the array aperture, and the minimum spacing between adjacent elements. With a novel matrix mapping between the element spacings and the variables of DE, the strong constrained optimization problem is simply transformed to an optimization problem with only lower and upper limit, and the infeasible solutions are naturally avoided. Simulation results confirm the great efficiency and the robustness of the proposed method and show that our method can achieve better results than the existing methods.

array antenna; planar sparse array; sidelobe level; differential evolution; constraint optimization

10.13443/j.cjors.2015070101

2015-07-01

國家自然科學基金(No.61201089)； 國家重點實驗室基金(9140C530101130C53013)

TN820.1

A

1005-0388(2016)03-0522-06

劉恒 (1986-),男,湖南人,中國空間技術研究院博士研究生,研究方向為陣列天線設計與優化.

劉恒, 趙宏偉, 李維梅, 等. 一種稀布矩形平面陣的多約束優化方法[J]. 電波科學學報,2016,31(3):522-527.

LIU H, ZHAO H W, LI W M, et al. An optimum method of sparse planar arrays with rectangular boundary [J]. Chinese journal of radio science,2016,31(3):522-527. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2015070101

聯系人： 劉恒 E-mail: liuheng@mail.nankai.edu.cn