基于比例引導法對平行追擊問題的研究

曾鈺耀

摘 要：文章采用了比例導引法對平行追擊問題進行了研究，通過基于比例導引法的導彈平行追擊問題模型進行了算法設計。利用MATLAB工具對算法進行編程實現模擬，能夠直觀有效地看出導彈與目標各自的運動軌跡模型。再根據模擬仿真的結果分析，驗證了比例導引法的正確性和有效性。

關鍵詞：平行追擊；比例引導法；MATLAB

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A 文章編號：1006-8937（2016）30-0056-04

1 概 述

平行追擊問題在運動學當中，屬于比較典型的問題。隨著科學技術的發展，空戰中導彈的使用日益增多。導彈如何采用一種有效合理的攻擊方式去攻擊目標成為了研究熱點。而導彈對攻擊目標的打擊問題也就是所謂的平行追擊問題，本文就是基于此例探討平行追擊問題，通過對導彈追擊的連續模型進行離散化，設計算法達到能過MATLAB編程實現模型的地步，對平行追擊問題進行研究。

2 引導方法簡述

對于導彈平行追擊問題來說，選擇一種合適的引導方法，就能有效、充分的發揮其性能。通過選擇較為合適的引導方法，又或者通過完善現有的引導方法以及去創新一種新的引導方法，這些都是導彈發展環節重要的技術之一。人們在研究導彈的經典引導方法這一問題上得到的結論頗多、貢獻較大。常見的有追蹤法、平行接近法、比例引導法這三種基本引導方法。

在這三種方法當中，比例引導發是在追蹤法與平行接近法這兩者方法之間的一種方法。比例引導法，是指導彈在飛行的過程中，導彈的速度矢量的轉動角速度和其與追擊目標連線的轉動的角速度有一定比例的一種引導方法。它能通過自身的參數的調整，來滿足對另外兩種方法的變化。故與其他兩種方法比較起來，比例引導法有較大的優勢。本文主要應用比例引導法在導彈平行追擊問題的應用進行深層次的研究以及探討。

3 基于比例引導法的導彈追擊問題模型

3.1 模型的基本假設

在導彈平行追擊過程中，作如下基本假設：

①不考慮地球曲率以及地球自轉影響；

②不計風速等天氣狀況的影響；

③默認目標物沒有較強的機動性；

④認為導彈與追擊目標均做勻速運動；

⑤認為導彈有良好的控制系統；

⑥把導彈與追擊目標都視于做質點運動。

3.2 導彈與追擊目標相對運動模型

在導彈平行追擊問題中，導彈與追擊目標的相對運動關系，如圖1所示。

比例引導法，是指導彈在飛行的過程中，導彈的速度矢量的轉動角速度dθm/dt和目標線的轉動的角速度dq/dt有一定的比例的一種引導方法，其中引導關系式為：

導彈M與目標T的相對距離的變化率dr/dt可以表示為導彈速度矢量和目標速度矢量在目標線上分量的代數和；目標線的旋轉角速度dq/dr等于導彈和目標的速度矢量分別在垂直面上的矢量代數和再除以它們之間的相對距離r。

綜上，導彈與目標相對運動方程：

分析（1）式，我們可以發現導彈擊中目標的特性由下面幾個因素所決定：

①目標物的特性，比如速度等；

②導彈的特性，比如速度等；

③導彈飛行的時候軌跡的變化規律；

④導彈采用的引導方法，即的選取；

⑤初始時候的取值。

3.3 差分法導彈運動軌跡模型

大多數導彈運動軌跡仿真的文獻中，居多數都是只給出了導彈和追擊目標在同一平面運動的時候的軌跡的二維圖形。本文基于比例導引法的原理，對導彈和追擊目標的運動軌跡進行三維的模擬。本文采用差分法，來求得各個時刻的導彈與追擊目標各自的離散的三維坐標。通過繪出其坐標點的變化，就能得到模擬的平行追擊問題的運動軌跡，同時求出飛行時間、撞擊點的坐標。

K-1時刻到k時刻的導彈和追擊目標關系，如圖2所示。

更改了Δq值后需要將其帶入（2）式中再進行迭代差分計算一次，最后得到一系列值。

4 基于MATLAB的導彈追擊問題算法實現

4.1 算法設計

根據算法利用MATLAB軟件對導彈與目標的運動軌跡模型進行模擬。在實現模擬時，通過采取導彈與目標不同時刻的坐標點進行繪制，用每隔一段時間的三維坐標變化（當導彈與目標之間的距離r等于60時，就判斷導彈有效的擊中了目標），最終繪制出平行追擊問題的一個完整的三維的運動軌跡圖。

具體的比例導引法的算法流程圖，如圖3所示。

4.2 仿真結果

本例采用的初始參數，見表3。

將以上參數帶入MATLAB，對應的三維運動軌跡圖如圖4所示。

經過計算，得到導彈擊中目標時導彈運行時間為48.3 s；導彈與目標的最終撞擊點A的坐標為（2423.060，9992.971，

25129.392）。

4.2.1 比例導引系數K對導彈軌跡的影響

當采取不同導引系數K值的時候，導彈攻擊目標三維運動軌跡圖，如圖5所示。

從圖中我們可以清楚地看到，當K=1的時候，導彈軌跡彎曲是最大的，當K=7時，導彈軌跡彎曲時最小的，基本趨于直線，由此可以得出結論：

當K較小時，導彈運動軌跡越彎曲；K越大時，越接近平行接近法，導彈運動軌跡幾乎是平直的，這一點就證明了比例導引法的理論的觀點是正確的。

4.2.2 比例導引導彈的速度對導彈軌跡的影響

當設定不同的導彈速度的初始值時，導彈攻擊目標三維運動軌跡圖，如圖6所示。

從圖中可以看出，對于不同的導彈初始速度，仿真得到的導彈運動軌跡也有所不同，主要表現在以下方面：導彈初始速度越小，導彈運動軌跡初始段半徑越大，軌跡相應就會較為平直；反之，速度比p越大，軌跡初始段曲率半徑越小，軌跡就會變得越彎曲；導彈初始越大，相遇距離越近，相遇時間越短；反之，距離越遠，時間越長。

4.3 算法優缺點分析

4.3.1 優點

可以得到較為平直的導彈運動軌跡，在與追蹤法和平行接近法相比，它沒有對發射初始條件有嚴格的要求，從而能夠在技術上得以實施。

4.3.2 缺點

比例導引法還存在明顯的缺點，即命中點導彈需用法向過載受導彈速度和攻擊方向的影響。為了消除比例導引法的缺點，多年來人們一直致力于比例導引法的改進，研究出了很多形式的比例導引方法。例如，需用法向過載與目標視線旋轉角速度成比例的廣義比例導引法。

4.4 結果分析

本節根據設計意圖繪制出設計流程圖，進行比例引導法的算法設計，用MATLAB繪制出導彈與目標的運動軌跡圖。

通過以上結果可以清楚地看見導彈與追擊目標各自的運動軌跡以及他們之間的運行時間、導彈與追擊目標相撞時坐標點的數據情況。這些數據都表明了本次設計初步到達了對平行追擊問題的算法設計的要求。

5 結 語

本文通過結合一定的數學知識，通過對平行追擊問題的模型進行了連續的離散化，對追擊問題進行了經典方式方法的探討，基于MATLAB軟件，對平行追擊問題繪制出三維的導彈追擊目標模擬運動軌跡圖，進一步驗證了比例導引法這一導引律的正確性。得出在平行追擊問題的關鍵技術就是對導彈的導引技術。

參考文獻：

[1] 姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2011，01.

[2] 李慶揚，王能超，易大義.數值分析[M].北京：清華大學出版社，2008，12.

[3] 張德豐.MATLAB數值計算方法[M].北京：機械工業出版社，2010.1.

[4] 成葉紅.基于Matlab/simulink 的地空導彈制導控制系統動態仿真[J].

戰術導彈控制技術，2003，（3）：44-48

[5] 張中南，童幼堂，張衛峰.比例導引法導引彈道仿真研究[J].戰術導彈技 術，2005（2）：56-59

[6] 文仲輝.導彈系統分析與設計[M].北京：北京理工大學出版社，

1989.179-189

[7] 王建成.簡明軍事科技發展史[M].北京：國防工業出版社，2005.2-33

[8] 谷良賢，溫炳坤.導彈總體設計原理[M].西安：西北工業大學出版社，

2004.73-75

[9] 孟秀云.導彈制導與控制原理[M].北京：北京理工大學出版社，2004.

[10] 黃德慶.防空導彈控制與制導[M].西安：陜西人民教育出版社，1989.

[11] 李忠應.空空導彈全向攻擊最優制導規律研究[J].北京航空航天大學

學報，1990，16（10）：110-116.

[12] 胡建和，李忠應.地-空導彈自適應最優制導律初探[J].北京航空航天 大學學報，1991，17（3）：101-110

[13] George Voulgaris. Book Reviews： A Guide to MATLAB for Beginn

ers and Experienced Users by Brian R. Hunt， Ronald L. Lipsman，

and Jonathan M. Rosenberg with Kevin R. Coombes， John E.

Osborn， and Garret J. Stuck. Data Analysis in the Earth Sciences

Using MATLAB by Gerard V. Middleton[J]. Mathematical Geology，

2004，360-364.

[14] Denis Talay. Model Risk in Finance： Some Modeling and Numeric

al Analysis Issues[J].Handbook of Numerical Analysis，2009，15.25

-30.

[15] Bezick S.Guidance of a homing missile via nonlineear geometric

control method[J]..Control and Dynamics，1995，18（3）：441-448.