能量在多物體系統中的“乾坤大挪移”

陳偉平

多物體系統的能量轉移在高考中考查的頻率非常高，是高考的重中之重。在解答這一題型時首先要清楚系統能量守恒的判斷方法，厘清能量轉化或轉移的路徑，然后尋找這些量之間的等量關系，最后準確列出相應的方程式求解。

在解決此類型題目時要注意三點：正確選取研究對象、合理選取物理過程、正確選取能量守恒定律常用的表達形式列式求解。下面分五種不同的典型系統類型加以分析。

一、彈簧和物體組成系統類

應用機械能守恒定律必須準確地選擇系統，系統選擇得當，機械能守恒；系統選擇不得當，機械能不守恒。彈簧和物體組成的系統中若只有彈力和重力做功，系統的機械能守恒，但系統中單個物體的機械能不守恒。

例1 如圖所示，輕質彈簧的一端與固定的豎直板P連接，另一端與物體A相連，物體A置于光滑水平桌面上（桌面足夠大），A右端連接一細線，細線繞過光滑的定滑輪與物體B相連。開始時托住B，A處于靜止且細線恰好伸直，然后由靜止釋放B，直至B獲得最大速度。下列有關該過程的分析正確的是（ ）

A. A物體與B物體組成的系統機械能守恒

B. A物體與彈簧所組成的系統機械能的增加量等于細線拉力對A做的功

C. B物體機械能的減少量小于彈簧彈性勢能的增加量

D.當彈簧的拉力等于B物體的重力時，A物體的動能最大

【解析】A物體、彈簧與B物體組成的系統機械能守恒，但由于彈簧的彈力參與做功，彈性勢能參與了機械能的變化，所以A物體與B物體組成的系統機械能不守恒，選項A錯誤；A物體與彈簧組成的系統只有細線拉力這一個外力做功，所以機械能的變化只與這個外力做的功有關，選項B正確；因為A物體、彈簧以及B物體組成的系統機械能守恒，所以B物體機械能的減少量等于A物體機械能的增加量與彈簧彈性勢能的增加量之和，故B物體機械能的減少量大于彈簧彈性勢能的增加量，選項C錯誤；當彈簧的拉力等于B物體的重力時，B物體速度最大，且B物體與A物體速度是一樣的，所以此時A物體的動能最大，選項D正確。【答案】BD

【小竅門】

1.如果多物體系統中有彈簧，一般彈簧的彈力會在整個運動過程中做功，彈性勢能參與機械能的轉換；

2.彈簧彈力對物體做功時，彈簧和物體組成的系統機械能守恒，但物體的機械能不守恒；

3.彈力做功與彈性勢能變化的關系類似于重力做功與重力勢能變化的關系，用公式表示：W=-ΔEp。

二、輕桿連體類

當輕桿連體系統內部的相互作用力是輕桿的彈力時，彈力只是使系統的機械能在相互作用的兩個物體之間進行等量的轉換，并沒有其他形式的能參與機械能的轉換，所以系統的機械能守恒。

例2 （2015·全國Ⅱ卷）如圖所示，滑塊a、b的質量均為m，a套在固定直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接。由靜止開始運動，不計摩擦，a、b可視為質點，重力加速度大小為g。則（ ）

A. a落地前，輕桿對b一直做正功

B. a落地時速度大小為

C. a下落過程中，其加速度大小始終不大于g

D. a落地前，當a的機械能最小時，b對地面的壓力大小為mg

【解析】滑塊b一直在沿桿運動且滑塊b的初速度為零，末速度也為零，所以輕桿對b先做正功，后做負功，選項A錯誤；以滑塊a、b及輕桿為研究對象，系統的機械能守恒，當a剛落地時，b的速度為零，則mgh=mva2+0，得va=，選項B正確；a、

b的先后受力分析如圖甲、乙所示，由a的受力情況可知，a下落過程中，其加速度大小先小于g后大于g，選項C錯誤；由于整個系統機械能守恒，當a的機械能最小時，b的機械能必定最大，且b的重力勢能沒有變化，即b的動能在此時最大，根據受力分析可知b在做加速度減小的加速運動，所以當b的速度最大時，b的加速度為零，輕桿與滑塊b之間沒有相互作用力，滑塊b只受重力和地面的支撐力作用，所以它對地面的壓力大小為mg，選項D正確。【答案】BD

【小竅門】

1.要注意機械能守恒的條件不是合外力做的功等于零，更不是合外力為零；

2.只有重力做功不等于只受重力作用；

3.對于有輕桿關聯的系統機械能是否守恒，可以根據能量的轉化進行判斷。

三、輕繩連體類

這一類系統中除重力以外的其他力對系統都不做功。系統內部的相互作用力是輕繩的拉力，而拉力只是使系統的機械能在相互作用的兩個物體之間進行等量的轉換，并沒有其他形式的能參與機械能的轉換，所以系統的機械能守恒。

【小竅門】

1.注意尋找用繩相連接的物體間的速度關系和位移關系；

2.若繩子由松弛狀態變為拉緊狀態，系統動能損失最大。

四、在水平面上可以自由移動的光滑圓弧類

光滑的圓弧放在光滑的水平面上，物體在光滑的圓弧上滑動，如果不受任何水平外力的作用，系統機械能守恒。

例4 （2015·福建卷）如圖所示，質量為M的小車靜止在光滑水平面上，小車AB段是半徑為R的四分之一圓弧光滑軌道，BC段是長為L的水平粗糙軌道，兩段軌道相切于B點。一質量為m的滑塊在小車上從A點由靜止開始沿軌道滑下，重力加速度為g。

（1）若固定小車，求滑塊運動過程中對小車的最大壓力。

（2）若不固定小車，滑塊仍從A點由靜止下滑，然后滑入BC軌道，最后從C點滑出小車。已知滑塊質量m=，在任一時刻滑塊相對地面速度的水平分

量是小車速度大小的2倍，滑塊與軌道BC間的動摩擦因數為μ，求：

①滑塊運動過程中，小車的最大速度大小vm；

②滑塊從B到C運動過程中，小車的位移大小s。

【小竅門】

1.系統內部的相互作用力是圓弧和球之間的彈力，彈力對m做負功，對M做正功，但這種做功只是使機械能在系統內部進行等量的轉換，不會改變系統的機械能，故系統機械能守恒；

2.要注意使用系統水平方向動量守恒這一默認條件。

五、 多物體碰撞類

此類問題涉及多個物體、多個運動過程，并且物體間還存在相對運動，所以準確求出各物體在各個運動過程中的加速度（注意兩過程的連接處加速度可能突變）和找出物體之間的位移（路程）關系或速度關系是解決該類型題目的突破口。

例5 （2013·山東卷）如圖所示，光滑水平軌道上放置長板A（上表面粗糙）和滑塊C，滑塊B置于A的左端，三者質量分別為mA=2 kg、mB=1 kg、mC=2 kg。開始時C靜止，A、B一起以v0=5 m/s的速度勻速向右運動，A與C發生碰撞（時間極短）后C向右運動，經過一段時間，A、B再次達到共同速度一起向右運動，且恰好不再與C碰撞。求A與C發生碰撞后瞬間A的速度大小。

【解析】因碰撞時間極短，A與C在碰撞過程中動量守恒，設碰后瞬間A的速度為vA，C的速度為vC，以向右為正方向，由動量守恒定律得mAv0=mAvA+mCvC。

A與B在摩擦力作用下達到共同速度，設共同速度為vAB，由動量守恒定律得mAvA+mBv0=（mA+mB）vAB。

A與B達到共同速度后恰好不再與C碰撞，應滿足vAB=vC。

聯立解得vA=2 m/s。