多元函數極值和條件極值的判定方法

葛培運

鶴壁職業技術學院 458030

多元函數極值和條件極值的判定方法

葛培運

鶴壁職業技術學院 458030

多元函數極值和條件極值判定方法主要包括代入消元法、拉格朗日乘數法、幾何模型法、參數方程法、借助重要不等式法。將其應用到研究活動中，能化復雜為簡單、拓展研究思維、提高研究效率。高等數學研究活動中，應該結合具體內容合理選擇相應的方法，促進研究工作效率提升，為提升高等數學研究工作效率創造良好條件。

多元函數極值；條件極值；判定方法；代入消元法

一、引言

多元函數是高等數學的重要組成內容，為研究人員所普遍重視和關注。對很多研究人員來說，該部分內容的研究難度大，理解起來比較困難，也難以靈活應用多種方法判定極值，制約研究人員的研究效率提升，甚至讓他們產生畏難情緒，降低研究的自信心，不利于調動研究人員開展研究活動的主動性。為彌補這些缺陷與不足，應該采取有效方法，加強相關研究工作，讓研究者正確判定極值，從而更為有效的融入研究活動，提高研究效果和效率。文章探討分析多元函數極值和條件極值判定方法的意義，并提出具體的應用對策，希望能為研究活動開展和研究效率提升提供借鑒與啟示。

二、多元函數極值和條件極值判定方法的意義

多元函數極值和條件極值的內容比較復雜，解題難度大。為有效實現解題的目的，促進研究工作效率的提升，綜合采取有效的判定方法是必要的，其重要作用體現在以下方面。

（一）化復雜為簡單。整個多元函數研究活動中，極值和條件極值是關鍵內容，同時又是比較難的內容，很多研究者研究起來感到比較困難，存在畏難情緒，缺乏研究該部分內容的自信心。為有效破解研究中遇到的這些困難，應該結合具體內容，加大輔導力度，讓研究者有效融入研究活動，掌握正確的判斷方法。進而將復雜的內容轉化為簡單，有效融入研究活動，深化對多元函數極值的了解，激發研究興趣，從而取得更好的研究效果。

（二）拓展研究思維。高等數學知識研究中，除了研究基本的理論知識外，還要善于把握正確的方法，能有效拓展思維，讓研究者更好投入研究活動，激發研究興趣，促進研究效果提升。多元函數極值和判定的研究過程中，由于自變量增加，加大解題難度，采用一般研究方法難以有效掌握相關內容，也加大解題難度。在這樣的背景下，應該加強指導，讓研究者掌握正確的極值判定方法，有效融入研究活動之中，進而破解困難，拓展研究人員的思維。例如，在整個研究過程中，對極值存在的必要或充分條件的理解、求極值方法存在的陷阱和解決方法、求穩定點過程的繁瑣計算等內容，都加大研究難度，導致一些研究人員難以把握正確的研究方向。也影響解題思路，難以拓展思維。在這樣的背景下，更應該努力把握極值判定方法，拓展思維空間，掌握正確的方法，提高多元函數極值判定的研究效率。

（三）提高研究效率。通過對極值判定方法的研究，能拓展研究人員的思維，讓他們有效融入研究活動。并根據多元函數的具體內容，掌握正確的解題方法，迅速而快捷的解答疑惑，提高研究工作效率，起到事半功倍的效果，對高等數學研究的作用也是十分明顯的。

三、多元函數極值和條件極值判定方法的應用

為更好判定極值，促進研究效果和效率提升，結合高等數學的基本內容，在多元函數研究過程中，可以綜合采取以下有效方法。這些方法各有自己的特點和優勢，整個研究過程中，應該根據題目的具體內容，靈活選擇相應的方法，實現提高研究工作效果，提升研究效率的目的。

（一）代入消元法。該方法在多元函數極值判定中十分常見，具體研究過程中，能讓復雜的問題簡單化，使之轉化為普遍的求極值形式，方便問題的解答，有利于促進研究工作效果提升。使用前要考察約束條件的一階偏導數，選擇需要消去的變量，進而把握正確的解題方法。還可以通過多元函數的隱函數存在定理，找到多元函數所需條件，從而正確應用消元法解題，提高解題正確性。

例1：

求z=x2+y2在約束條件x2+y-1=0下的極值。

利用代入消元法求解，將x2=1-y代入z=x2+y2，得出z=1-y+y2，令z=-1+2y=0，得可能極值點，進而求出極小值為3/4。

（二）拉格朗日乘數法。教材對該方法有相應的介紹，研究人員在研究過程中，應該注重深入理解，掌握該方法的應用策略，從而順利求出多元函數極值，取得更好的研究效果。結合隱函數存在定理，應用該方法判定極值的條件是，函數都連續，并且偏導數存在。這樣有利于把握正確的解題方法，讓研究人員更好融入研究活動，有效判定函數極值。該方法應用范圍廣，可以推廣到目標函數為多元函數，條件為多個方程的情形。有利于提高解題效果，正確判定函數極值。

（三）幾何模型法。幾何模型法也是判定極值的重要方法，具體應用中越來越受到重視和關注。借助多元函數微分學的幾何應用，得到多元函數條件極值的求解方法。從而正確解答， 滿足研究工作的需要，取得更好的效果，正確判定函數極值。

（四）參數方程法。由于每個方程的條件極值存在差異，并非每個條件極值都能轉化為無條件極值，為提高解題效果，可以采用參數方程法。從條件中解出單值函數相對容易，才能利用該方法轉換。如果能從條件中解出多值函數，效果更佳，實現順利判定極值的目的。

例2：

求z=x2+y2在約束條件下的最小值與最大值。

分析可以得知，函數在圓內的可能極值點。令zx=0，zy=0，解得點（0,0），z（0,0）=0為函數的最小值。

（五）借助重要不等式法。例如，根據多元函數基本情況，借助柯西不等式、均值不等式。從而順利判定函數極值，方便解題，提高判定準確性，提升研究效果。

四、結束語

綜上所述，整個高等數學研究過程中，函數極值求法和判定是非常關鍵的內容，對研究活動開展和研究效率提升具有重要作用。應該明確其重要作用，結合函數極值判定的具體內容，采取有效的研究方法，推動研究活動順利進行，提高解題效率，營造輕松愉快的氛圍。作為研究人員，要善于總結經驗，提高研究效率，注重對相關方法的研究。從而在解題中能熟練應用方法判定極值，促進研究效果和研究效率提升，為高等數學研究順利進行創造良好條件。

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