數形結合在數學中的應用淺議

李旭東 李 娟

(山西省晉中師范高等專科學校 山西 晉中 030600)

數形結合在數學中的應用淺議

李旭東 李 娟

(山西省晉中師范高等專科學校 山西 晉中 030600)

數學是空間形式和數量關系的科學，數形結合也是重要的數學思想方法之一，從數的概念的形成和發展，到微積分的產生及現代數學各分支學科的形成，都是與數形的完美結合分不來的。“數”與“形”也是貫穿整個數學分析教材的兩條主線，把握好數形結合的思想方法對于教師教學有重要意義，也有利于學生學習數學分析。

數形結合;數學分析;數學思想;教學方法

數形結合的定義：數形結合是一種數學方法，它是一種極富數學特點的信息轉換。許多數量關系方面的抽象概念和解析式，若賦之以幾何意義，往往變得非常直觀形象，并使一些關系明朗化、簡單化；而一些圖形的性質又可以賦予數量意義，尋找恰到表達問題的數量關系，既可以使幾何問題代數化，以數助形，用代數方法使問題得到解決。這種將數與形融為一體的方法，叫做數形結合數學方法。

所謂數形結合思想，就是在研究問題時把數和形結合起來考慮。數學的研究對象大致可以分成兩類：一類是研究數量關系的：一類是研究空間形式的。整個數學，不論是初等數學還是高等數學，都是以數和形作為研究對象的。數和形是數學的兩個基本概念，全部數學大體上就是圍繞這兩個概念的提煉、演變、深化、發展而逐步展開的。在數學的原始時期，人們在計算長度、面積和體積時，就已經將數和形聯系起來了。數形結合作為數學教學中非常重要的思想，始終貫穿于整個數學的學習與探究中。美國圖論學者哈里有一句名言：“千言萬語不及一張圖”。結合圖形，形象、直觀地向學生展示定義、定理等，會有意想不到的收獲。

著名數學家華羅庚曾指出：“數缺少形時少直觀，形少數時難入微。”這句話說明了“數”和“形”是精密聯系的。我們在研究“數”的時候，往往要借助于“形”，在探討“形”的時候，又往往離不開“數”。這就要求在研究數學問題的時把數形知識結合起來，引導學生從數的方面進行抽象思維；從形的方面進行逆向思維。數形結合思想方法貫穿數學分析的全部內容.例如, 由形到數, 從幾何性質出發, 建立直線與平面的方程;從柱面、錐面、旋轉曲面的形狀或曲面的形成規律出發建立其代數方程.由數到形, 從平面、直線方程出發, 探求點、線、面之間的位置關系和度量關系;從橢球面、雙曲面、拋物面的方程出發, 探求其所代表的幾何圖形的形狀和性質;從二次曲線的方程出發, 探究其所代表的線的形狀, 包括漸進方向、中心(頂點)、主直徑, 不僅從直觀上了解線的大致形狀, 而且為進一步化簡作了準備.“數形結合”溝通了代數與幾何最基本對象之間的聯系, 使幾何的概念得以用代數方式表示, 幾何目標得以用代數方法達到.反之, 代數語言可得到幾何解釋而變得直觀、易懂。可以說, 數形結合的思想方法是數學分析的一個重要思想方法，掌握好數形結合的思想方法對大學教學的展開、學生對數學的學習有重要意義。

通過不同的途徑途徑培養學生數形結合的思想，(一)重學生數學審美能力的培養，激發學生對數學的興趣，數學直覺思維常常可以通過跳躍性的想象和迅速敏銳的識別判斷，而直接達到對數學對象的本質規律的認識，因而富于創造性。數學美集中表現在數學本身的簡單性、對稱性、相似性、和諧性和奇異性等。數學的美體蘊含在數與形的相互結合中。對數學美感因素的審視與挖掘是直覺思維的重要源泉。在教學中，應經常讓學生從精煉準確、簡明深刻、富有說服力和美感性的數學語言中，從工整規范的圖形與和諧有序的式子中感受和發現數學美,使學生在數學美愉悅中，深化理解知識。(二)要培養學生有意識地用數學美的思想方法指導解題：追求簡潔美，探索解題捷徑；構造對稱美，簡化解題過程；運用相似美，總結解題規律；利用和諧美，啟迪解題思路；發現奇異美，突破解題常規；應用普遍美，拓廣解題結論。運用數形結合的思想方法教學，有助于培養學生的數學審美能力，能夠有效地發展學生的直覺思維，從而較快地提高學生的數學素養和創新能力。(三)通過具體而經典的事例，培養學生數形結合思想，首先，教師在教學過程中要注重引導學生領略數學本身所蘊涵的數形美感。比如，教學中可以列舉一些有關數學美的經典事例，如黃金分割、勾股定理、還有混沌等，讓學生感知“數”與“形”結合的客觀美感，以此激發學生的學習興趣。其次，重視“數形結合”基礎階段的引導。數學學習自始至終都貫穿著數形結合的思想。比如初大一結合“數軸”所學的區間和鄰域等，就是“數形結合”思想的初步滲透，在數形結合能力培養過程中起到重要的奠基作用。通過具體的例子，讓學生領略“數”與“形”的和諧統一，并在不知不覺中逐漸形成了運用數形結合思想的意識。

因此，認真研究國外教材特點，可以在我國的教材上做一些改進。應認真研究并充分吸收現代科技成果和現代科技方法教材建設，加強教材的時代性,使教材具有一定的先進性。同時，要注意國外教材取材的豐富性和鮮明特色、學習外國教材整合數學知識的成功經驗,這是我國數學專業的課程體系做比較深刻的改革的重要借鑒。

[1] 唐文利 多媒體教學的誤區及解決措施 中國教育技術設備 2012年7月上 第19期

[2] 王霞、夏國坤 高等數學中的數學思想方法的范例教學 大學數學 第26卷第6期

[3] 王豐霞 構造數形結合培養創新思維 勝利油田師范專科學校學報

[4] 張艷梅(邳州市新橋中學，江蘇徐州)通過不同途徑培養學生數形結合思想 基礎教育 2013.12

[5] 顧亞萍(南京師范大學)數形結合思想方法之教學研究

[6] 薛有才、張少林 中美數學分析教材比較分析與思考 高等理科教育

李旭東(1981.09—)，男，漢族，山西晉中人，碩士，晉中師范高等專科學校，講師。李娟(1982.09—)，女，漢族，山西榆次人，晉中師范高等專科學校，助教，山西師范大學碩士研究生。

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1672-5832(2016)02-0051-01