一元函數分部積分法探析

【摘要】由分部積分法計算過程中選取u，v遇到的問題，通a過對分部積分法的基本原理的分析和實際計算中出現的現象分析，從而得出用分部積分法解題的步驟“先湊微分，再交換位置”，最后得出湊微分的優先原則。

【關鍵詞】分部積分 湊微分 優先次序

一、問題提出

在不定積分計算中，常遇到不定積分的被積函數是有任意的兩類基本初等函數乘積的情形，形如：不定積分的求解問題。針對這類積分的求解，如果用直接積分法、湊微分、換元積分的方法求解往往比較困難，因此需要引進另一種基本積分方法，就是分部積分的方法。但是在這類積分的分部計算中，學生往往分不清楚到底把那部分設成u（x）那一部分設成v′（x）。如果設被積函數為u（x），v′（x）不恰當，就會使得計算過程更加復雜，浪費了計算的時間和精力，也沒有得出正確答案。因此，需要有一個簡潔的方法使得學生便于掌握，解題過程更加簡潔明快。

二、分部積分法基本原理分析

在求導四則運算法則中有兩函數乘積的形式求導公式：

對上式兩邊同時取不定積分∫得：

由“被積函數先求導后不定積分的性質”與“兩函數代數和的不定積分等于兩函數不定積分兩函數的性質”得：

移項得

或

則稱（※）這個公式為分部積分公式。分部積分法其基本思想是把兩個函數的乘積的求導法則反過來用于求不定積分。其實這個方法也可以這么理解：對于不定積分，其被積函數的原函數比較難求，但求的積分可以轉化成求u（x）v（x）-的積分，其要比簡單易求，亦是把難求的積分矛盾轉化成易求的積分。

三、實踐應用得出結論

應用分部積分的原理計算幾個實例。

例1 求∫x cos xdx

解：若取，代入分部積分公式

比求原積分還復雜難求。

若改取，代入分部積分公式

例2 求

解：若在公式中取u=ex，v=2，則

而右端積分=比左端積分更難求，

因此改取u=x，v=ex，則

由此可知，在用分部積分公式計算積分時，u（x），v（x）的選擇不是隨意的，選擇哪個作為u（x），選擇哪個作為v（x），需要適當選取，否則有可能使得計算很復雜甚至計算不出來。

同時，由以上兩例也說明，如果被積函數是冪函數和正（余）弦函數或冪函數和指數函數的乘積，可考慮用分部積分法，且在分部積分公式中取冪函數為u.

例3 求

解 取u=lnx，v=x，則

例4 求.

解 取u=arctanx，v=x2，則

以上兩例說明，如果被積函數是冪函數和對數函數或冪函數和反三角函數的乘積，可考慮用分部積分法，并在公式中取對數函數或反三角函數部分為u.

從以上四個實例可以得出以下幾點結論：對分部積分法較熟悉后，可不必明顯寫出公式中的u，v，只需做到“心中有數”；分部積分法解題步驟“先湊微分，再交換位置”；u，v的選取以∫vdu比∫udv易求為原則；被積函數為兩個基本初等函數乘積時，基本初等函數取為v′（x）有優先次序。在解題過程中，第一步“先湊微分”，既是∫vdu比∫udv易求為原則，那么把那個函數看成v′（x），把v′dx湊成dv？是以被積函數中兩個基本初等函數乘積“指數函數（優先）、三角函數（次之）、冪函數（可以）、對數函數和反三角函數（不動，始終為u）”的優先次序原則“先湊微分”；第二步“再交換位置”是指：如等式，先湊微分把v′dx湊成dv即第一步計算結果，然后照抄u（x）乘以v（x）減去∫u（x）dv（x）的u（x），v（x）交換位置后的結果∫v（x）du（x）。

四、結束語

分部積分法的解法可以總結為“先湊微分，再交換位置”分兩個步驟完成，只有理解“先湊微分”的原則（優先次序）和“再交換位置”是交換誰的位置（即u（x），v（x）位置）的含義，使得解題會更加的方便快捷。

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作者簡介：常安成（1979-）男，漢族，山東定陶人，現為湖南信息學院基礎課部數學教研室主任、碩士、講師。主要研究方向：神經網絡與動力系統、大學數學教育。主持湖南省教育科學“十二五”規劃課題。在國際SCI刊源雜志上發表研究論文3篇。