孔隙率對飽和多孔二維梁動力響應的影響

盧永飛

(1.西北民族大學土木工程學院，甘肅 蘭州730030；2.甘肅省新型建材與建筑節能重點實驗室，甘肅 蘭州 730030)

孔隙率對飽和多孔二維梁動力響應的影響

盧永飛1，2

(1.西北民族大學土木工程學院，甘肅 蘭州730030；2.甘肅省新型建材與建筑節能重點實驗室，甘肅 蘭州 730030)

基于飽和多孔介質理論模型，考慮了固體顆粒和流體的可壓縮性，以及孔隙流體的粘滯性，分析了在均布簡諧荷載作用下孔隙率對飽和多孔二維梁動力響應特性的影響，重點分析了孔隙率對飽和多孔二維梁的固體骨架應力、流體壓力，以及固相位移和流體位移等物理量的影響。

飽和多孔介質；二維梁；孔隙率

0　引言

自Biot[1]提出了描述飽和多孔介質動力特性的基本方程以來，飽和多孔介質理論在各種工程領域中被廣泛應用，并成為地震工程、巖土工程研究中的重要問題。

在含液飽和多孔介質板殼結構方面，已有的研究工作主要基于 Biot三維固結理論，根據Kirchhoff假定建立數學模型，并進行相關的分析。其中，考慮流體橫向擴散，基于Biot模型，Taber[2]、Niskos和 Theodorakopoulos[3]、Anke和 Heinz[4]等都基于Biot多孔介質理論討論了多孔彈性梁和板的動力響應。基于線彈性理論和Biot多孔介質模型，其中考慮了固體顆粒和流體的可壓縮性，以及孔隙流體的粘滯性，周鳳璽[5]等分析了含液飽和多孔二維簡支梁的動力響應。通過常微分方程組的求解和Fourier級數的展開，得到了含液飽和多孔二維梁動力響應問題的解。所有以上的工作都建立了動力響應列式，但他們只討論研究了頻率、上下表面透水邊界、滲透系數等因素對梁動力響應的影響，卻對孔隙率對飽和多孔二維梁動力響應特性的影響沒有討論。

因此，基于Biot多孔介質理論，本文根據文獻[5]建立的含液飽和多孔二維梁動力響應問題的計算列式，在透水邊界條件下，研究了在梁中點處均布簡諧荷載作用下孔隙率對兩端簡支的含液飽和多孔梁的動力響應的影響，重點分析了孔隙率對飽和多孔二維梁的固體骨架應力、流體壓力，以及固相位移和流體位移等物理量的影響。

1　數學模型以及計算列式

基于Biot多孔介質理論，飽和土動力響應問題的控制方程為：

式中：ui和wi表示固體骨架位移和流體的相對位移和μ為固體骨架Lame彈性常數表示固體骨架的應變表示滲透系數和M為考慮二相材料壓縮性的Biot參數，其中K、Ks和Kf分別為固體骨架、固體顆粒和孔隙流體的體積模量表示與孔隙水的質量密度及孔隙幾何特征有關的參數為混合物介質的質量密度，其中，n為孔隙率，ρs和ρf分別為固相和液相的密度。

考慮如圖1所示的高度為h，跨度為l的含液飽和簡支梁，上表面受到頻率為ω的動荷載qeiωt作用。

圖1　含液飽和多孔二維簡支梁示意圖

考慮滿足邊界條件和荷載形式的固體骨架位移和孔隙中的流體相對位移的解為如下形式:

式中：U1，U3，W1和W3分別為關于坐標x3的待定函數。

考慮梁上下表面為自由透水的情形，則其上表面受到荷載作用時的邊界條件如下：

在x3=0處：

在x3=h處：

把方程（3）、（4）代入控制方程中，根據文獻[4]可知，整理后可得到位移關于x3的矩陣方程，因為要使矩陣方程有非零解，則其系數行列式必須為零，最后得到了各位移和應力。將集中荷載按正弦級數展開，根據梁上下表面的邊界條件，包括應力邊界和透水邊界，整理后最后可得在均布簡諧荷載作用下梁的動力響應計算式。

2　數值算例及分析

為了分析含液飽和多孔二維梁在均布簡諧荷載作用下的動力響應，選取如下飽和多孔材料的物理力學參數見文獻[5]。當動荷載幅值為q=200 Pa，簡諧荷載頻率為f=50 Hz時，孔隙率n=0.1，0.3，0.5時，分析了透水條件下不同孔隙率對梁跨中固體骨架應力σ33、流體壓力p，以及固體豎向位移u3和豎向流體位移w3沿梁高度的變化曲線（見圖2～圖5）。

從圖2～圖5中可以看出：上下表面為自由透水情況時，跨中截面的固體骨架應力幅值隨著孔隙率的增大變化很明顯；流體壓力幅值隨著孔隙率的增大而減小；豎向固體位移隨著孔隙率的增大而增大；說明孔隙率對固體骨架應力、流體壓力和豎向固體位移的影響很大。而豎向流體位移隨著孔隙率的增大幾乎沒有變化，說明孔隙率對豎向流體位移的影響不大。

3　結語

基于Biot多孔介質理論，本文根據文獻建立的含液飽和多孔二維梁動力響應問題的計算列式，在透水邊界條件下，研究了在梁中點處均布簡諧荷載作用下孔隙率對兩端簡支的含液飽和多孔梁的動力響應的影響，重點分析了孔隙率對飽和多孔二維梁的固體骨架應力、流體壓力，以及固相位移和流體位移等物理量的影響。數值計算表明孔隙率對固體骨架應力、流體壓力,以及固相位移

圖2　透水時σ33在梁厚度分布隨n的變化曲線圖

圖3　透水時P在梁厚度分布隨n的變化曲線圖

圖4　透水時U33在梁厚度分布隨n的變化曲線圖

圖5　透水時W33在梁厚度分布隨n的變化曲線圖

的影響很大，而對流體位移的影響很小。

[1]Biot M A.General theory of three-dimensional consolidation[J]. Journal of Applied physics,1941,12(2):155-164.

[2]Taber L A,Puleo A M.Poroelastic Plate and Shell Theories[J]. Solid Mechanics and its Applications,1996,（35）:323-338.

[3]D.Niskos,D.Theodorakopoulos,Flexural vibrations of poroelastic plate,Acta Mechanica 103(1994)：191-203.

[4]B.Anke,Martin,A.Heinz,A poroelastic mindlin-plate,PAMM Applied Mathematics and Mechanics 3(2003)：260-261.

[5]周鳳璽，馬強，宋瑞霞.含液飽和多孔二維梁動力特性分析[J].工程力學,2015，（05）:198-207.

TU43

A

1009-7716（2016）02-0157-02

10.16799/j.cnki.csdqyfh.2016.02.043

2015-10-16

盧永飛（1982-）,男，甘肅甘谷人，在讀博士生，講師，從事道路橋梁的研究與教學工作。