隨機變系數(shù)混料試驗?zāi)Ｐ偷腣-最優(yōu)設(shè)計

張小峰，張崇岐

（廣州大學a.數(shù)學與信息科學學院；b.經(jīng)濟與統(tǒng)計學院，廣東 廣州 510006）

隨機變系數(shù)混料試驗?zāi)Ｐ偷腣-最優(yōu)設(shè)計

張小峰a，張崇岐b*

（廣州大學a.數(shù)學與信息科學學院；b.經(jīng)濟與統(tǒng)計學院，廣東 廣州 510006）

將隨機變系數(shù)的混料模型轉(zhuǎn)化為混合效應(yīng)模型，從而可以得到固定效應(yīng)的信息矩陣及其逆矩陣，同時證明如果一個設(shè)計在固定效應(yīng)部分是V-最優(yōu)，則這個設(shè)計在整個模型也是V-最優(yōu).給出在V-最優(yōu)準則下的一階q分量和二階2分量隨機變系數(shù)混料模型的V-最優(yōu)設(shè)計.

混料試驗設(shè)計；混合效應(yīng)模型；隨機系數(shù)回歸模型

0 引 言

混料試驗設(shè)計是最近幾十年發(fā)展的一門新的學科，它廣泛應(yīng)用于食品制造、生物制藥及農(nóng)業(yè)上.混料試驗設(shè)計不同于其他試驗設(shè)計，對于一個q分量的回歸響應(yīng)值不依賴于在混料中總數(shù)的多少，而是僅僅與每個分量所占的比例有關(guān).在一個（q-1）維單純形利益區(qū)間內(nèi)必須滿足：

q階SCHEFFE線性模型為

SCHEFFE提出了多重線性模型［1-2］、單純形格子設(shè)計、單純形中心設(shè)計和其他相關(guān)的多項式模型，最優(yōu)準則也陸續(xù)應(yīng)用到混料試驗設(shè)計［3-4］，見圖1～3.

圖1 一階3分量D-最優(yōu)設(shè)計點Fig.1 First-order 3 vaviables of D-optimal design point

圖2 二階3分量D-最優(yōu)設(shè)計點Fig.2 Second-order 3 vaviables of D-optimal design point

LAAKE提出了V-最優(yōu)準則［5］，積分方差必須達到最小，同時LAAKE詳細地討論SCHEFFE模型二階和三階V-最優(yōu)，并得到最優(yōu)配置比.LIU等用矩陣分塊法得到q階q分量的SCHEFFE模型V-最優(yōu)［6］.最近幾年內(nèi)，隨機變系數(shù)回歸模型在試驗設(shè)計領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用，但在混料試驗設(shè)計的方向還處于起步階段［7-9］，蔣瓊首次討論了混料試驗設(shè)計的隨機變系數(shù)回歸模型的V-最優(yōu)［10］，但是只給出一階2分量及3分量的最優(yōu)配置.對于一個一般的多元線性回歸模型：

圖3 三階3分量D-最優(yōu)設(shè)計點Fig.3 Third-order 3 vaviables of D-optimal design point

其中f′（x）＝（x1，x2，…，xq，x1x2，…），β是未知參數(shù)，β＝（β1，β2，…，βq）′.

根據(jù)V-最優(yōu)準則：min（W），V-最優(yōu)等價定理［11］如下：

隨機系數(shù)回歸模型是為了表示未知參數(shù)在某個區(qū)域上發(fā)生變化的特征提出來的，在農(nóng)業(yè)、生物醫(yī)學等科學研究中有著非常廣泛的應(yīng)用.隨機變系數(shù)回歸模型為

n表示試驗次數(shù)，yi是試驗單元上的向量，Xi是ni×p設(shè)計矩陣，βi是p×1隨機系數(shù)向量，βi～N（bi，D），bi為未知帶估參數(shù)向量；εi為ni×1隨機誤差向量εi～N（0，Ri），其中bi和εi互不相關(guān)，D和Ri分別為正定的p×p和ni×ni已知矩陣，則有

1 隨機系數(shù)混料回歸模型向混合效應(yīng)模型的轉(zhuǎn)換

在混料試驗中一階q變量隨機系數(shù)模型為

其中xiJ表示第i次試驗，第J個分量的值.

隨機變系數(shù)模型（2）可以表示為

其中Xb是固定效應(yīng)，Xb*是隨機效應(yīng)，可以得到b*的期望與協(xié)方差陣，分別是：

為了便于討論，又不失一般性，設(shè)σ2＝1，設(shè)一個一般的設(shè)計形式如下：

其中ωi是第i個設(shè)計點的測度，而且滿足由式（4）可以得到模型（3）的信息矩陣

對于混料試驗二階2變量隨機系數(shù)模型為

2 V-最優(yōu)設(shè)計

該引理的證明［12］.

證明 對于隨機變系數(shù)回歸模型信息矩陣的逆可以表示為M-1＝M0-1+D，根據(jù)V-最優(yōu)準則有：

定理2

是模型（1）的V-最優(yōu)設(shè)計.

證明 在這里的證明分兩步，首先求出V-最優(yōu)配置，再證明該配置在整個單純性利益區(qū)域內(nèi)是最優(yōu)的.

先求最優(yōu)配置，根據(jù)引理1得到：

由Lagrange乘子法得到：

再證明該配置在整個單純性利益區(qū)域內(nèi)是最優(yōu)的，運用V-最優(yōu)等價定理：

定理3

是模型（5）的V-最優(yōu)設(shè)計.

證明 對于模型（5）的固定效應(yīng)部分是中心設(shè)計，因此同一類點的測度是相同的，可以得到固定效應(yīng)部分的信息矩陣的逆：

等價定理（1），因此根據(jù)定理1可得到式（7）是模型（5）的V-最優(yōu)設(shè)計.

3 結(jié)束語

將隨機變系數(shù)混料模型轉(zhuǎn)換成混合效應(yīng)模型，證明了只要一個設(shè)計在固定效應(yīng)部分V-最優(yōu)，則這個設(shè)計在整個隨機變系數(shù)混料模型也是V-最優(yōu).同時得出一階q分量和二階2分量隨機變系數(shù)混料模型的V-最優(yōu)設(shè)計.在未來的研究中可以探討二階q分量，三階以及q階隨機變系數(shù)混料模型的V-最優(yōu)設(shè)計，同樣的也可以研究隨機變系數(shù)混料模型的D-最優(yōu)，A-最優(yōu)，G-最優(yōu)，E-最優(yōu).

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V-optimal designs for m ixture experiment model w ith random coefficients

ZHANG Xiao-fenga，ZHANG Chong-qib
（a.School of Mathematics and Information Sciences；b.School of Economics and Statistics，Guangzhou University，Guangzhou 510006，China）

This paper studies mixture model with random coefficients that can be transformed into a mixed effects model.We obtain the information matrix and its inverse matrix of fixed effects.We prove that mixture design is V-optimal in the whole model if it is V-optimal in the fixed effect part.The V-optimal designs for firstorder q components and second-order two components'mixture model with random variable coefficients are given.

mixture experimental design；mixed-effects models；random coefficient regression models

O 212.6

A

1671-4229（2016）01-0027-05

【責任編輯：周 全】

2015-05-18；

2015-11-10

國家自然科學基金資助項目（11271094）

張小峰（1989-），男，碩士研究生.E-mail：978584115＠qq.com

*通信作者.E-mail：cqzhang＠gzhu.edu.cn