淺論數形結合思想及其應用

胡爾軒

摘要：數學研究的對象是現實世界的數量關系（數）和空間形式（形）。“數”和“形”常按照一定的條件相互轉化，數形結合思想是數學重要思想方法之一，并蘊于數學基礎知識和基本技能之中，在數學解題中應用十分廣泛。數形結合思想的實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，發揮“數”與“形”兩種信息的轉化、互補與整合，使邏輯思維與形象思維完美地統一起來。

關鍵詞：數形結合；思想方法；空間形式；數量關系

數學的研究對象主要是數量關系和空間形式，因而數形結合是一種極富數學特點的信息轉換。在中學數學教材中，我們可以看到處處滲透著數形結合的思想。如研究函數的性質，往往借助于函數的圖象；研究不等關系往往借助于“數軸”；研究三角函數借助于單位圓等等，這些都直接體現了數形結合的思想。運用數形結合思想解題，不僅非常直觀，而且也易于尋找解題途徑，還能避免繁雜的計算和推理，簡化解題過程，收到事半功倍的效果。數形結合的解題方法具有直觀性、靈活性的特點。可以說，數形結合思想是中學數學中最常見、最有效的思想方法之一。但學生在平時的學習中不易把握，而它的應用卻又十分的廣泛。

一、數形結合思想的內涵

何謂數形結合？數與形是現實世界中客觀事物的抽象和反映，是數學的基石。恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的數量關系與空間形式的科學。”數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。“數”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數”和“形”的矛盾的統一。關于數形結合，華羅庚先生也曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事休；切莫忘，幾何代數流一體，永遠聯系切莫分離。”

數形結合思想是通過數、形間的對應與互助來研究問題并解決問題的思想。“形”中的一些量（如距離、角度、面積、體積等等）在一定單位制中可分別對應一些確定的“數”。通過這種對應，可使一些抽象的概念、復雜的數量關系借助其背景圖形的性質，變得直觀，便于找到解決問題的思路及方法。

二、數形結合思想的應用

（一）在方程與不等式中的應用

1.方程問題

判定一個二次方程根的個數時，通常用根的判定式“△”。然而，當一個二次方程中的未知數的取值范圍受限制時，用“△”值判定根的個數就困難了，用數形結合法則可避免。

例：方程 有且只有一個實數根，求實數 的值；若該方程有兩個不等的實數根，求 的取值范圍。

分析 設方程左邊為 ，其圖形為半圓 ；方程的右邊為 ，其圖形為恒過點 的直線，研究方程 根的個數問題就可以轉化成研究半圓與直線交點個數的問題。

解（1）建立如圖1所示的坐標系，過點 作半圓的切線 ，則 與 軸平行且斜率為0.又 .由圖知，直線 與半圓 只有一個交點時，即方程 只有一個實根時， ，或 或 .

（2）由圖知，當 時，直線 與半圓 有兩個交點，即方程 有兩個實數[4].

2.不等式問題

含絕對值不等式的解法：

解含絕對值的不等式，把它轉化成等價的圖形，觀察其結果比較簡單.對于含參數的絕對值不等式問題，用數形結合，能以一種動態的眼光來看待靜止的畫面，并通過操作和觀察來領會其中的關系。

例：已知關于 的不等式 的解集為 的子集，求 的范圍.

分析 構造出圖形后，讓 繞點 旋轉，通過旋轉得出正確的結論.

解 設方程左邊為 ，右邊為 做草圖，由圖2可知 >-1.

一元二次不等式，一元高次不等式和分式不等式的解法：

我們知道一元二次函數 的圖像是一條拋物線，當 時，拋物線的開口向上；當 時，拋物線的開口向下.當 時，方程 有實根，表示該拋物線與 軸有交點；當 0時，方程 沒有實根，表示該拋物線與 軸無交點.如何運用數形結合法求解不等式 的解集呢？

其內容和步驟是：（1）分別將一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式中分子和分母的最高次項系數“若負化正”.（2）判別相應的方程是否有根，有根則解出方程的根.（3）將根在平面直角坐標系中標出來.（4）從右向左，從上向下將根用一條曲線一一串起來.（5）判斷解集.以最高次項系數為正的不等式為準，若該不等式為大于0的不等式則看 軸上方的曲線；若該不等式為小于0的不等式，則看 軸下方的曲線。

例：解不等式

解 因為 ，所以不等式可以變形為 ，而方程 的 ，所以方程有實根 .這說明拋物線 與 軸有交點.如圖3所示：

因為 ，所以應看 軸上方的圖象，即 或 ，所以不等式 的解集為 .

例：解不等式

解 由題設知，原不等式可變形為 ，方程 有實根為 .說明曲線 與 軸有交點，如圖4所示：

因 ，所以看 軸下方的圖象，該圖象有兩部分：一部分在-1和2之間，另一部分在3和3之間，所以不等式 的解集為 .

（二）在集合中的應用

圖示法是集合的重要表示法之一，對一些比較抽象的集合問題，在解題時若借助韋恩圖或用數軸、圖象等數形結合的思想方法，往往可以使問題直觀化、形象化，從而靈活、直觀、簡捷、準確地獲解。

而在討論集合之間的關系時常見的有兩種情況，一種是沒有寫出具體元素的集合，另一種是給出具體條件的集合。對第一種情況要具體考察它們之間的關系比較困難，只需按題設作出集合的圖示（韋恩圖）即可解決；而第二種情況可先求不等式的解集，將各個集合的取值范圍在數軸上表示出來，觀察它們之間的關系，這樣就可以化抽象為具體，化難為易。

例：設 為全集， 是 的三個非空子集，且 ，則下面論斷正確的是（）

分析 這是一種沒有寫出具體元素的集合，所以可按照題設作出集合的圖示（韋恩圖）即可.

解 因為 所表示的部分是圖7中的陰影部分， 所表示的是圖7中除去 的部分，所以 ，故選 .

例：已知集合 ，若 ，求實數 的取值范圍[7].

分析 這類集合用不等式表示，由圖8所示，這時利用數形結合的方法解決形如 的問題，可避免分類討論，解法新穎，巧妙.

解 設 ，由 ，可得： ，即 ，解得： ，所以 的取值范圍是 .

（三）在函數中的應用

函數是中學數學中的重要內容之一，也是學習中的重難點。同時又是“數形結合”思想方法體現得最充分的章節。利用函數的圖象既有利于掌握一次函數、二此函數、反比例函數、指數函數、對數函數的性質，又能運用”數形結合”的方法去解決某些問題。

運用數形結合方法求函數問題，主要是通過分析代數式的含義來揭示其幾何意義，探尋解題的切入點，從而使問題獲得解決。

1.求函數的最值

例：求函數 的最小值，并求相應的 值[4].

分析 將函數關系整理得： 將其看成點 的距離和最短的問題.

解 如圖9所示，根據函數關系式的幾何意義，將此問題轉化為在 軸上求一點 ，使 最短.由于 在 軸的同側，作出點 關于 軸的對稱點 ，易得 的坐標為 ，則 三點共線時 最短.此時 ，可求得直線的方程為 .

聯立方程 解得 .所以當 時， .

2.求參數的取值范圍

例：設定義在 上的偶函數 在 上單調遞減，若 ，求實數 的取值范圍.

分析 利用偶函數圖象關于 軸對稱，以及偶函數的定義： ，有 .

解 如圖10，根據題設條件可知： ，解得 的范圍： .

3.求解方程轉化成圖像來解

例：若方程 有兩根 ，且 ，求 的取值范圍.

分析 若按照一元二次方程的知識來解，要列出兩個不等式： ，容易出現計算錯誤，而且又費時，反之，根據圖象來解既直觀又簡單.

解 根據題意知 ，圖象開口向上，且與 軸有兩個交點，分布在原點的兩側，由此畫出示意圖（圖11），從圖上可知拋物線與 軸的交點必在 軸的負半軸，也就是說，當 時， 即 ，所以 的取值范圍是 .

數形結合思想在應用過程中，主要從兩方面著手：一方面，可以“以形助數”，從“形”入手，通過對圖形的觀察處理，實現抽象概念與具體形象的聯系與轉化，化抽象為直觀，化難為易；另一方面，“以數解形”，可以由“數”入手，將有些涉及圖形的問題轉化為數量關系來研究，對圖形作精細的分析，從而使人們對直觀圖形有更精確、理性的理解。