用正交變換化實二次型為標準形的初等變換方法

林琳

【摘要】正交變換法是將實二次型化為標準形常用的方法之一.本文介紹了一種利用初等變換求一個正交變換化實二次型為標準形的新方法，并進行了方法應用實例分析.

【關鍵詞】實二次型；標準形；正交變換；初等變換

求一個正交變換將實二次型化為標準形通常采用的方法是，先求二次型矩陣的特征值，再對每一個特征值求出全部線性無關的特征向量，即求解與特征值對應的方程組（λE-A）X=0的基礎解系，并將其進行施密特正交化，再單位化.由正交單位化的特征向量構成一個矩陣，此矩陣即為將二次型化為標準形的正交變換矩陣.這種方法的不足是需要解特征方程多次求解線性方程組，且施密特正交化公式較易忘記.本文介紹一種用正交變換化二次型為標準形的初等變換方法.

一、幾個相關定理

定理1設A為n×n矩陣，秩（A）=r，且An×nEn×n→Bn×r0n×（n-r）*Pn×（n-r）其中對A做初等變換對E做相應的初等列變換即得右邊的矩陣，且這里B是秩為r的列滿秩矩陣.則矩陣P所含的n-r個列向量就是齊次線性方程組AX=0的一個基礎解系.

定理2n階矩陣A的特征矩陣F（λ）=λE-A等價于其等價標準形B（λ），即存在可逆矩陣S（λ）與T（λ），使S（λ）（λE-A）T（λ）=B（λ）其中B（λ）=diag（φ1（λ），φ2（λ），…，φn（λ））. φi（x）∣φi+1（x），i=1，2，…，n-1.

定理3實對稱陣A必與對角陣相似.

二、新的計算方法

設F（λ）=λE-A，且F（λ）E

→B（λ）P（λ）

，其中對F（λ）做初等變換對E做相應的初等列變換即得右邊矩陣，且這里B（λ）為對角陣.B（λ）的主對角線上的全部元素的λ多項式的全部根恰為矩陣A的全部特征值.對于矩陣A的每一特征值λi，矩陣B（λ）中非零向量的列必構成列滿秩矩陣.矩陣P（λi）中和B（λi）中零列向量對應的列向量是屬于特征值λi的全部線性無關的特征向量.

設所求出的特征向量為α11，…，α1k1，…，αi1，…，αiki，…，αs1，…，αsks，它是一組線性無關的向量，以α′ij為列向量構造矩陣B=（aij），則B′B是一個n階正定矩陣，必與單位矩陣E合同，即存在n階可逆矩陣Q，使Q′（B′B）Q=E（1），即 （BQ）′（BQ）=E（2）.

（1）式說明，對矩陣B′B施行一系列的初等列變換（相應的初等矩陣的乘積為Q）及一系列的初等行變換（相應的初等矩陣的乘積為Q′），可成為單位矩陣；（2）式說明BQ的列向量組是一個標準正交基，BQ可以通過對矩陣B施行與對矩陣B′B所施行的相同的初等列變換求出.

于是得到求正交矩陣的初等變換的初等變換法：BB

B

→E

BQ

，其中對B′B做初等變換對B做相應初等列變換即得右邊矩陣.

三、方法應用舉例

例求一個正交變換將二次型f（x1，x2，x3）=2x21+5x22+5x23+4x1x2-4x1x3-8x2x3

化為標準形.

解 二次型矩陣

A=2[]2[]-2

2[]5[]-4

-2[]-4[]5

.

λE-A

E=λ-2[]-2[]2

-2[]λ-5[]4

2[]4[]λ-5

1[]0[]0

0[]1[]0

0[]0[]1

→

-2[]0[]0

0[]λ-1[]0

0[]0[]1[]2（λ-1）（10-λ）

1[]1[]2（λ-5）[]1[]2（9-λ）

0[]1[]-1

0[]0[]1

.

因此

B（λ）=-2[]0[]0

0[]λ-1[]0

0[]0[]1[]2（λ-1）（10-λ）

，P（λ）=1[]1[]2（λ-5）[]1[]2（9-λ）0[]1[]-1

0[]0[]1

.

顯然A的特征值為λ1=1（二重），λ2=10.

當λ1=1時，B（λ1）P（λ1）

=-2[]0[]00[]0[]0

0[]0[]0

1[]-2[]4

0[]1[]-1

0[]0[]1

.

非零向量的列構成滿秩矩陣，對應列向量的向量為：α1=（-2，1，0）′，α2=（4，-1，1）′.

當λ2=10時，同理求出對應特征向量α3=-12，-1，1′.

這里α1，α2，α3是線性無關的.以α1，α2，α3為列向量構成矩陣B，再求出B′B.

于是，得B′BB=5-90-91800094-24-121-1-1011→100010001-255235-1355435-2305323 ，即得P=-25[]5[]2[]35[]-1[]3

5[]5[]4[]35[]-2[]3

0[]5[]3[]2[]3

.

則P即是使二次型變為標準形的正交變換矩陣.因此得正交變換X=PY，使f=y21+y22+10y23.

【參考文獻】

[1]丘維聲.高等代數[M].北京：科學出版社，2013.

[2]汪慶麗.用矩陣的初等變換化實二次型為標準形[J].新疆教育學院學報，2001，17（2）.

[3]張釗.化二次型為標準形的幾種方法[J].和田師范專科學校學報，2012，31（1）.

[4]李延敏，張力.用正交變換化實二次型為標準形的同步求解問題[J].大學數學，2011，27（5）.