分數階和整數階混沌系統的投影同步

邵克勇 馬 迪 陳柏全 張婷婷 徐 向

(東北石油大學電氣信息工程學院，黑龍江 大慶 163318)

分數階和整數階混沌系統的投影同步

邵克勇 馬 迪 陳柏全 張婷婷 徐 向

(東北石油大學電氣信息工程學院，黑龍江 大慶 163318)

介紹了一種新的三維分數階混沌系統，通過理論解析、Lyapunov指數與維數求解以及變換分數階混沌系統階數時，系統相圖和吸引子的變化情況驗證了該系統是混沌的。通過研究追蹤信號的理念和模擬整數階混沌同步控制器的原理，發現了一個新的非線性控制器。理論推導和Matlab實例仿真結果表明：該非線性控制器可使分數階混沌系統與同維整數階混沌系統之間具有良好的投影同步效果。

分數階混沌系統 整數階混沌系統 投影同步 非線性控制器 Matlab

20世紀60年代初，美國氣象學家洛倫茲在分析天氣預報問題時，發現一個微小的誤差隨著時間的不斷推移能夠造成巨大的后果，從而首次提出了空氣動力學中的混沌現象，即“蝴蝶效應”[1]。混沌這只“小蝴蝶”從此便影響了整個非線性控制領域[2]。由于混沌在工程技術方面的重大研究價值及其在各個領域中的巨大應用前景[3]，混沌控制和同步問題作為混沌應用的關鍵環節已成為研究熱點[4]。混沌控制的主要方法有線性反饋法、周期擾動與激勵控制法和參數擾動法[5]。

混沌現象的本質是對系統初值的高度依賴性與外部擾動的極端敏感性[6]。近年來，在混沌同步研究中，相同階數的混沌同步占據主導地位[7]，不同維數整數階混沌系統的同步已成為大多數學術論文的核心思想[8,9]。但針對分數階混沌系統的探討卻很少，尤其是整數階與分數階混沌系統之間的同步[10]。而發展分數階混沌理論的應用領域與范圍將會拓寬人們在非線性分數階系統認知方面的視野[11]。為此，筆者通過對以往混沌系統性質、定義等方面的整理總結，提出了一個新的三維分數階混沌系統，并基于分數階穩定性理論特性和追蹤控制思想優化了其控制器，使分數階混沌系統與整數階混沌系統達到更好的同步效果，最后依據理論推導和Matlab實例仿真證明了系統非線性控制器的可行性和有效性。

1 分數階混沌系統①

考慮如下分數階混沌系統：

(1)

其中，a、b、c、h為實常數；qi(i=1,2,3)為相應狀態變量的階數，且0

a. 狀態軌跡

b. 吸引子圖1 q1=q2=0.9、q3=0.8時 分數階混沌系統的狀態軌跡和吸引子

a. 狀態軌跡

b. 吸引子圖2 q1=q2=q3=0.9時 分數階混沌系統的狀態軌跡和吸引子

a. 狀態軌跡

b. 吸引子圖3 q1=q2=q3=0.8時 分數階混沌系統的狀態軌跡和吸引子

式(1)在(x,y,z)→(-x,-y,-z)變換下具有不變性，即式(1)關于z軸具有對稱性，并且這種系統的對稱性對于不同的系統參數都滿足。由此可知，z軸本身也是系統的一條軌跡線。

(2)

即：

s0=(0,0,0)

s1=(8.299398,8.299398,24.6)

s2=(-8.299398,-8.299398,24.6)

其中，si(i=0,1,2)為系統的平衡點。則與s0對應的Jacobian矩陣為：

由det(J0-λI)=0可知，其特征值為：

λ1=-27.3736

λ2=17.9736

λ3=-2.800

通過Jacobian矩陣求得的Lyapunov指數分別為：

λ1.1=2.3554

λ1.2=0

λ1.3=-14.5561

系統的Lyapunov維數為：

2 整數階混沌系統

考慮如下整數階混沌系統：

(3)

當(a,b,c)=(20,14,10.6)時，式(3)存在混沌。因而式(1)可以改寫成：

(4)

令同步誤差e=y-λx，其中e=(e1,e2,…,en)T,ei=yi-λxi(i=1,2,…,n),λ為比例因子。

因而式(4)可改寫為：

(5)

其中，β(x(t))為補償器，?(y(t),x(t))為自適應控制器。

引理2[15]驅動系統為：

學生進行自學活動的過程中，或許會產生一些新問題，有一些新想法，可能超出教師當初編寫學案時所考慮的范圍，教師在上課前對學生的這些問題進行收集、匯總、分析，在課堂上進行有效解答，對教師教學和學生學習都有利。

(6)

響應系統為：

(7)

其中，G為任意一個控制器；t為時間；矢量X,Y∈Rn，分別具有n維分量(x1,x2，…,xn)、(y1,y2,…,yn)。令X(t,t0；X0)、Y(t,t0；Y0)分別為式(6)、(7)的解，當存在一個子集D(t0)∈Rn時，則在初值X0,Y0∈D(t0),t→∞時存在的關系為：

則根據同步原理，可以將同步誤差定義為：

ei=yi-λxi,i=1,2,3；λ≠0

或：

(8)

3 數值模擬

采用向響應系統中加入控制器的方法來觀察式(3)、(4)能否實現投影同步，即驗證所設計的控制器的可行性。選取式(2)作為驅動系統，為使驅動系統達到混沌狀態，選取控制參數a=20，b=14,c=10.6,h=2.8,(q1,q2,q3)=(0.9,0.9,0.8)。初始點x1(0)=1,y1(0)=1,z1(0)=1,x2(0)=2,y2(0)=1,z2(0)=3。時間步長t=0.01，λ=2。選取式(3)作為響應系統。

加入控制器前后的系統同步誤差曲線如圖4、5所示。比較圖4、5能夠得出，當同步控制器u開始作用時，系統同步誤差很快趨近于零，系統同步誤差達到穩定，說明兩個系統可以實現投影同步且同步效果良好。

圖4 加入控制器之前的系統同步誤差曲線

圖5 加入控制器后的系統同步誤差曲線

4 結束語

筆者介紹了一種新的三維分數階混沌系統，該分數階混沌系統與混沌系統相比，其動力學行為、拓撲結構更為復雜，動態行為更加難以預測、更難被破解。通過解析該三維分數階混沌系統的理論參數、特性、相圖和吸引子，以及分析當改變分數階混沌系統的階數時系統運動軌跡的變化情況等，證實了該系統是混沌的。數值模擬仿真結果表明，筆者所提控制器的控制效果較好，能夠使系統同步誤差穩定于零，擁有廣闊的應用前景。

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(Continued on Page 1084)

ProjectiveSynchronizationbetweenFractional-orderChaoticSystemandInteger-orderChaoticSystem

SHAO Ke-yong, MA Di, CHEN Bai-quan, ZHANG Ting-ting, XU Xiang

(CollegeofElectricalEngineeringandInformation,NortheastPetroleumUniversity,Daqing163318,China)

TH865

A

1000-3932(2016)10-1060-06

2016-04-07(修改稿)

東北石油大學研究生創新科研項目(YJSCX2015-031NEPU )