隨機波動率Hull-White模型參數估計方法

江　良,林鴻熙

(1.莆田學院數學學院,福建莆田351100;2.莆田學院商學院,福建莆田351100)

隨機波動率Hull-White模型參數估計方法

江良1,林鴻熙2

(1.莆田學院數學學院,福建莆田351100;2.莆田學院商學院,福建莆田351100)

構建隨機波動率的兩因子模型,應用兩階段半參數方法估計模型中的常系數參數,使用核估計方法估計長期均值函數,給出了兩階段估計方法的相容性和參數的漸近性性質.實證結果表明了對比常系數模型,引入長期均值函數模型將會改善似然函數估計值,而且也能夠很好地解釋中央銀行和政府已實施政策的有效性.此外,可以在不增加維數的條件下,使用該模型對利率衍生品進行更有效地定價.

長期均值;隨機波動率;短期利率模型;半參數估計;核估計方法

1　引　言

利率是金融市場中非常重要的一個指標,幾乎所有的金融現象和活動都和利率相關.因此構建合適的短期利率模型變得尤為重要.構建短期利率模型可分為兩類:單因子模型;多因子模型.雖然實證表明了單因子模型也能很好地擬合市場的數據[1,2],但是單因子模型無法產生較復雜的收益率曲線的形狀.因此,多因子短期利率模型應運而生[3,4].

Litterman等[5]基于實證方法論述了隨機波動率模型的必要性.Kim等[6]應用多因子模型對日本債券收益率數據進行分析發現當瞬時利率很小時,兩因子高斯模型擬合效果較好.Cheridito等[7]和Pierre等[8]基于橫截面數據相應給出多因模型的參數估計方法及實證的結果.雖然,上述的研究結果表明了可以通過引入狀態變量改善模型的擬合效果,但是相應的衍生品定價的維數也增加從而導致數值方法也變得更加困難,而且相應的參數估計問題也變的困難.如Duffee等[9]指出了由于多因子模型的復雜性,相應的參數估計識別問題也變得困難.因此,為了給出最優的統計方法,選擇了狀態變量相互獨立的仿射性結構模型.

為了給出簡約的模型,Andersen等[10],Fong等[11],Longstaff等[12]及Surya[13]構建了隨機波動率兩因子模型,并通過實證分析說明了引入隨機波動率是必要的.然而在上述的模型中,長期均值均是常數.因此,Balduzzi等[14,15],和Chen[16]研究了引入長期均值作為狀態變量的短期利率模型,并通過實證和數值分析說明了該模型不僅改變了短期利率期限結構的形狀而且也改善了擬合效果.范龍振等[17]在漂移項中引入了儲蓄存款利率作為狀態變量來改善擬合效果.但是,由于引入新的狀態變量,相應的衍生品定價偏微分方程的維數也會增加,從而導致數值方法變得比較復雜.另一方面,在文獻[14,15]中,長期均值幾乎和瞬時利率呈現一樣的震蕩,這種現象很難精確地刻畫長期預期利率的趨勢.江良[18]也通過核估計方法估計了Hull-White模型中的參數,但該作者考慮的模型是單因子模型.

基于上面分析的原因,本文用時間函數描述長期均值的變化,考慮了隨機波動率的短期利率模型,并相應地給出了半參數估計方法.該模型既能改善數據的擬合效果也不增加衍生品定價的維數,并兼顧隨機波動率良好的特性.而且實證分析也表明了引入均值函數能更好地刻畫中央銀行和政府已實施政策的有效性(詳細的分析見本文第4節).此外,考慮均值函數的模型也可改善衍生品的定價.如Hull等[2]研究了時間變量系數的單因子模型衍生品定價時,他們發現其衍生品的定價和常數系數的兩因子模型沒有顯著的差異. Grzelak等[19]引入Hull-White模型給出債券定價過程,并指出引入Hull-White模型是必要的.

為了說明本文模型的有效性,將使用似然函數來診斷模型.由于模型中含有時間函數的參數,因此將提出一種半參數估計方法來計算似然函數值.根據H¨ardle等[20]和Ramsay等[21]對于半參數模型的估計方法一般可分為如下兩類:核估計方法;正則化方法.本文將選擇核估計方法,其主要原因是均值函數可通過核函數在每個節點上加權平均近似,其近似的函數僅依賴于給定窗口.此外,由于瞬時波動率是不可觀測的,因此將通過兩組不同到期日債券的線性組合來近似波動率過程[16,22].本文模型是在風險中性測度下所構建的,這就使得對利率衍生品的定價時可直接使用這些參數的估計值.

2　隨機波動率Hull-White短期利率模型

首先,假設在風險中性測度下短期利率滿足下面的模型(SVHW)

在該模型中瞬時波動率滿足CIR模型[23]以至于使得波動率是非負的(假設Feller條件滿足),而且長期波動率是一個常數.一個似乎更合理的假設是式(1)滿足CIR隨機過程,然而歸咎于相關系數ρ,此時債券價格無仿射性結構解[24].但是相關系數又是一個非常重要的指標.如,Balduzzi等[15]發現了利率和隨機波動率水平變化是正相關的.Cheridito等[7]通過債券數據發現了相關系數也是正的(幾乎接近1).基于這些原因,不考慮對于隨機利率滿足CIR動態過程的模型.

注意到,SVHW模型包含一些其它的模型.當波動率是常數時,就是眾所周知的HW模型[2];當θ(t)是常數時,模型變化為FV模型[11];當波動率Vt和θ(t)都是常數時,其模型為Vasicek模型[25].

根據計價單位轉換原理[24],如果選取銀行賬戶作為計價單位,則是一個鞅,其微分為

根據鞅的性質,可得以下偏微分方程.

其終端條件為P(T,T)=1.

根據Duffie等[4]研究的結果,方程式(3)存在仿射性結構解,即P(t,T)=exp(A(t,T)-rB(t,T)-V C(t,T)),其中A=A(t,T),B=B(t,T)及C=C(t,T)滿足下面的常微分方程組,即

其終端條件為A(T,T)=B(T,T)=C(T,T)=0.顯然在給定終端條件下B(t,T)的解析解為B(t,T)= (1-e-a(T-t))/a.而常微分方程(4)是一個眾所周知的Riccati方程.由于該方程的系數是關于時間變量的函數,因此一般沒有解析解,所以將使用數值方法求解.若給定C和B的解,則A的解為

3　參數校正方法

不失一般性,假設債券價格是從當前時刻開始觀察.為了能給出參數估計方法,首先需要處理隱含狀態變量Vt.對于本文的問題,將利用不同到期日可觀測的債券價格數據近似隨機波動率.

設R(t,T)為在t時刻到期日為T的零息債券收益率,則

假設R(t,T1)和R(t,T2)是兩個不同到期日收益率(T1/=T2),可得

從式(5)和式(6)可得

其中Am=A(t,Tm),Bm=B(t,Tm)及Cm=C(t,Tm),m=1,2.

為了簡化,在實際應用中對于表達式(7)通過線性組合來近似其動態的過程,即

其中α0和α1是常數.顯然式(8)僅依賴于參數α0,α1及a.比較動態過程(2),輔助過程(8)簡化參數估計過程.

下面將通過式(1)和輔助過程式(8)建立似然函數并給出半參數估計方法.

設Δt=ti-ti-1(i=1,2,...,N),其中tN是最大的觀察值及t0=0.式(1)的歐拉離散形式為

其中ri=rti,Vi=V(ti),θi=θ(ti)及zi+1是一個服從標準正態分布的隨機數.若給定Vi,式(9)的離散式是有偏的.盡管在給定V的條件下,隨機微分方程(1)有解析表達式[24],但是,如果Δt足夠小,有偏的現象將會減少.實際上,Glasserman[26]論述了式(9)的離散式是可行的.相應式(8)的離散過程為

根據式(9)和式(10),似然函數為

其中c是不依賴于θi和η的常數,η=(a,α0,α1),f(·|·,·,·)是條件密度函數,ri是r=(r0,r1,...,rN)的分量,i=0,1,2...,N.

為了估計θ(t)(其離散值為θi),引入眾所周知Nadaraya-Watson核函數估計[20].那么θ(t)可近似為

下面將給出基于時間序列數據的兩因子模型極大似然估計方法.基于式(11)和式(12),似然函數近似為

其中Vi用式(10)來近似計算.

注意到,若直接最大化似然函數式(13),其過程比較復雜,因此基于Simar等[27]的思想,采用兩階段估計方法.其核心思想是把上述問題化為兩個簡單的問題:一個非參數問題;一個全參數問題,其算法如下:

步驟1給定一個初值η0;

步驟2求優化問題(13),即

其中Ω(η)是參數η所在的領域;

步驟4重復步驟2和步驟3直到收斂.

顯然,在給定參數η條件下,優化問題(14)轉化為一個標準的非參數估計問題,即

接下去部分,將回答這兩個問題.首先考慮算法步驟2,若給定真實的η?,當h→0,θh(t,η?)能否依概率收斂到相應的真實值θ?.為了證明其相容性,需要下面的假設.

假設1在給定η條件下,假設Yi的真實密度函數為f(Y|η),其均值和方差滿足下面的條件,即

其中Var(·)表示方差.

假設1說明了在使用數據時,相應的均值和方差是有界的.現實中,瞬時利率的時間序列數據的均值和方差一定是可滿足上面條件的.而且從假設1可以得出二階矩是有界的,即E[Y2]=Var(Y)+(E[Y])2＜∞.這個條件保證θ(η,t)是均方收斂的,從而可以得到定理1的結果.根據假設1,給出下面相容性定理,其證明過程可參考文獻[28]中的性質3.1.1.

定理1假設1成立.如果Nh→∞和h→0那么有

定理1說明了,若給定真實值η?,通過優化問題(14)所得θ值將概率收斂到θ?.因此,需要進一步考慮優化問題(15)的相容性問題.此時,需要一些正則性假設.

假設2假設Ω(η)是緊的.θ?=θ?(t)及η?是最大似然函數(13)的真實解且是Ω(η)的內點.

假設2表明了在算法中對于常系數取值必須是有界的,而在實際應用中取有界的常系數是顯然的.另一方面假設解是Ω(η)的內點是數學上技術處理.

假設3定義下面的極限存在且一致收斂,即

進一步假設,當θ=θ?,d(η;θ?)=0解是唯一,即η=η?.

假設3,實際是Kullback等[29]相對熵的概念.若假設?(η?,θ?)的真實密度函數為f(r|η?,θ?)＞0,根據中心極限定理直接獲得

基于文獻[29]中引理3.1,d(η)≤0,而且等號成立當且僅當η=η?.

假設4假設給定η,?(η,θ)關于θ(t)是Lipschitz連續且Fr′echet導數存在并有界.另一方面,給定θ,??(η,θ)向量的每個元素存在且Lipschitz連續.矩陣?2?(η,θ)每個元素有定義并Lipschitz連續,而且該矩陣是可逆的.

在上面的正則性假設條件下,下面定理說明了算法中式(15)的相容性性質.

若假設3成立,那么有下面相容性估計

證明根據定義

根據假設4及定理1,顯然式(18)成立.基于文獻[30]中定理5.7,式(18)成立隱含著式(19)成立.證畢.最后,給出算法中式(15)漸近性.首先,需要給出Fisher信息矩陣.

定理3設假設1～ 假設5成立,那么有下面的漸近性,

證明根據極大似然估計方法,優化問題(13)在極值點上梯度為零,即

其中?η∈U(θ?)?Ω(η).

通過簡單的代數運算,重寫上面等式為

為了證明上面等式依分布收斂,需要分開處理這個問題.首先,有

最后依概率收斂是根據定理1結論.根據極大似然定義及中心極限定理,上面極限是服從零均值方差為I(η?,θ?)的正態分布.

現在給出Hesse矩陣的估計,即

顯然根據定理1及定理2,上面等式依概率收斂到I(η?,θ?).證畢.

4　實證分析

由于我國債券數據的不完整性,因此將使用美國債券數據.根據Durham[31]的結果,選取每周交易3個月到期日的債券收益率近似無風險短期利率,其時間從2000–01–07—2011–12–30,總的數據為629(數據來源于http://www.ustreas.gov).Balduzzi等[15]論述了使用不同的期限債券近似波動率是沒有顯著的差別,因此本文將使用到期日為1年和2年的債券數據,時間步長為1/52.圖1描述了市場數據.江良[18]使用同樣的數據來比較Vasicek模型和Hull-White模型的似然函數值,而且也得出了Hull-White模型的似然函數值稍微地改善的結果,但為了比較模型的有效性,這些結果也將列出來.

基于H¨ardle等[20]的結果,通過拇指原則,對于高斯核函數,最優寬度h=ˉσ(4/(3N))1/5,其中ˉσ是分布函數的標準方差,而且ˉσ可近似為

為了區分不同h值所對應估計值,設h1,h2分別表示通過式(20)及式(21)近似獲得,而且也設h3為ˉσ= 1近似.

圖1　2000–01–07—2011–12–30市場數據.Fig.1 Market data from 2000–01–07 to 2011–12–30.

表1列出了不同模型的參數估計值.對Vasicek模型和FV模型,長期均值分為θ/a=0.005 1和θ/a= 0.022 8.當考慮均值函數時,基于HW模型,顯然窗口h=h1時,似然值最大;對于SVHW模型,選取h=h2時,似然函數值最大.對比表1中的似然函數值,Vasicek模型擬合效果最差,SVHW(h=h2)擬合效果最好.而且觀察表1中的數據,基于FV模型的似然函數值明顯比單因子模型的似然函數值要大.這一結果表明了兩因子模型比單因子模型能更好地刻畫市場數據;另一方面,對于單因子模型考慮隨機波動率比考慮均值函數影響要大,如FV模型與Vasicek模型的似然值比較,其似然比值為1.378 7;HW模型與Vasicek模型的似然比值為1.140 8.而對于FV模型,考慮均值函數是必要的,如:當h=h2,SVHW模型的似然函數值比FV模型的似然函數值要大,大約為1 700.

表1　不同模型的參數估Table 1 Parameters estimates for the different model

圖2描述了HW模型和SVHW 對于不同窗口h選取所對應θ(t)的數值結果.觀察圖2中的圖形,若長期均值過度地擬合,導致數值結果出現激烈震蕩.這種現象很難給出參數的預測值和相應的衍生品定價,而且業界也不喜歡不穩定的數值結果.結合表1中的數據,顯然對于單因子模型,若考慮數值結果的穩定性,均值函數的模型對于擬合效果只是稍微地改善.這就意味著對于實踐者若使用單因子模型,就應該權衡擬合的效果和數值穩定性.進一步觀察圖2可知,有一些數值解是負的.對于高斯模型,短期利率取負的概率是大于零,因此負的θ(t)值是有可能的.而且負的值表明了投資者對已實施政策的態度是消極的.

觀察圖2,考慮均值函數有力地解釋了2008年發生次貸危機前后,投資者對于政府和美聯儲救市行為的態度變化.但是對于常系數模型,這種現象是很難解釋的.如在2008年發生次貸危機時,不管美聯儲不斷下調利率,但是投資者的長期預期利率還是下降.而在2008年10月份,通過美國政府救市,投資者的長期預期利率值有明顯的上升,這種現象持續到2009年年初,投資者對整個預期收益率又回落.而后聯邦儲備局通過購買國債救市,這就導致投資進一步對將來的預期收益率恢復了信心.因此,考慮均值函數不僅對數據擬合效果有了改善,而且為中央銀行和政府對于實施政策的有效性提供了較好的參考依據.

圖2　基于 HW模型和SVHW模型對于不同窗口h的θ(t)數值結果Fig.2 The numerical results θ(t)for the different bandwidth h based on HW model and SVHW model

觀察表1中的數據和圖2,當h=h1時,基于SVHW模型,θ(t)函數的擬合效果最好,但是不穩定,其似然函數值明顯比h=h2時似然函數值要小.這就說明了引入隨機波動率和均值函數是有必要的.

圖3顯示了SVHW模型對不同窗口選取所對應的瞬時波動率.

圖3基于SVHW 模型對于不同窗口h所對應的瞬時波動率(V)Fig.3 The spot volatilities(V)by the different bandwidth h based on SVHW Model,

圖4畫出了FV模型的瞬時波動率.觀察圖3和圖4,當h=h1,h3時,其瞬時波動率沒有明顯的差異,這種現象和表1中的似然函數值保持一致,因此當選取h=h1,h3時,考慮長期均值是沒有必要的.然而當h=h2時,其圖像有著顯著的差異,而且似然函數值也明顯改善.比較SVHW(h=h2)模型的瞬時波動率,FV模型的瞬時波動率被高估了.

表2列出了水平短期利率和波動率的相關系數估計值.觀察表2中數據,對于SVHW模型,當h= h1,h3時,相關性系數估計值和FV模型所得的估計值沒有顯著的差異.對于SVHW(h=h2)模型,相關性系數估計值最小,但所對應的似然值是最大的(看表1中的數據).此外,觀察圖1、圖3和圖4,瞬時利率和波動率運動的趨勢是相同的.這種現象表明它們之間的相關系數一定為正的(參考表2中的數據).

圖4　基于FV模型的短期波動率Fig.4 Spot volatility for FV Model

表2　短期利率和短期波動率水平相關性估計值Table 2 Correlation coefficient estimates between the short interest rate and the spot volatility

5　結束語

眾所周知,不斷地合理引入狀態變量,其相應的模型擬合效果將變得更好.但是基于模型的衍生品定價的維數也會增加,這就導致衍生品定價數值方法變得更加困難.因此本文考慮隨機波動率和均值函數的兩因子模型.為了表明模型的合理性,本文選取時間序列數據,采用核函數估計方法并對隨機波動率通過一個輔助的過程近似進行參數估計.進一步給出了估計方法的相容性和漸近性性質.

實證分析表明了,考慮隨機波動率和均值函數是必要的,而且均值函數的假設對于系數校正效果有明顯的改善.但是對于單因子模型可能考慮均值函數需要根據實際應用的情況而定.另一方面,考慮均值函數能夠很好地解釋一些金融市場的行為,特別是給政府和中央銀行對已實施政策的有效性提供了很好的參考依據.因此可以斷言,SVHW模型比單因子模型及FV模型更加有效.對于業界,可以在不增加狀態變量的情況下,使用更好的模型進行衍生品定價.在進一步研究中,將考慮基于債券價格數據(橫截面數據)兩因子的參數估計方法并給出SVHW模型的衍生品定價.

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Parametric estimation of Hull-White model for stochastic volatility

Jiang Liang1,Lin Hongxi2
(1.School of Mathematics,Putian University,Putian 351100,China; 2.School of Business,Putian University,Putian 351100,China)

A two-factor model of stochastic volatility is established.A two-stage semi-parameter method is applied to estimate constant coefficient parameters of this model.Moreover,kernel estimator method is developed to estimate the long-term mean value function,by this method the consistency of the two-stage method and the asymptotic normality of parameters are obtained.The empirical results show that the likelihood function can be improved in the long-term mean value model rather than the constant coefficient model.Also,the model provides a good explanation for the effective policies implemented by the central bank and the government. Besides,the industries can use the above model for valuing interest-rate-derivative securities without increasing the dimension.

long-term average value;stochastic volatility;short term interest rate model;semi-parameter estimation;kernel estimation method

F830.9;O212.7

A

1000-5781(2016)05-0633-10

10.13383/j.cnki.jse.2016.05.008

2013-12-20;

2014-05-02.

國家自然科學基金資助項目(11471175);福建省自然科學基金資助項目(2015J05012;2016J01677);莆田學院育苗基金資助項目(2014060;2014061).

江良(1978—),男,福建莆田人,博士,副教授,研究方向:金融工程和金融計算,Email:ptjliang@163.com;

林鴻熙(1969—),男,福建莆田人,碩士,教授,研究方向:演化博弈論及其應用,Email:linhongxi@163.com.