垂尾抖振主動控制的壓電作動器布局優化

梁力， 楊智春， 歐陽炎， 王巍

西北工業大學 航空學院 結構動力學與控制研究所， 西安 710072

垂尾抖振主動控制的壓電作動器布局優化

梁力， 楊智春*， 歐陽炎， 王巍

西北工業大學 航空學院 結構動力學與控制研究所， 西安 710072

為了提高壓電作動器垂尾抖振主動控制系統的控制性能，提出一種基于輸出可控性的壓電作動器優化準則。使用壓電驅動載荷等效方法建立壓電纖維復合材料(MFC)壓電作動器力學模型，并建立了帶MFC壓電作動器垂尾結構模型的動力學方程。在模態可控性和模態價值理論的基礎上，提出考慮剩余模態影響的壓電作動器優化目標函數。針對垂尾結構的前5階模態使用遺傳算法優化得到壓電作動器的布局方案，使用線性二次高斯(LQG)最優控制方法控制垂尾的抖振響應。仿真結果表明，本文優化得到的布局方案比用其他方法能更好地均衡系統的模態可控性，減小剩余模態的影響，獲得更好的垂尾抖振響應控制。

壓電作動器； 智能結構； 布局優化； 抖振； 可控性

雙垂尾布局的高性能飛機在大迎角飛行時，機翼和邊條翼產生的脫體分離渦通常會在到達垂尾前破裂，并形成非定常脈動擾流，激發垂尾抖振，從而對飛機的安全性和垂尾結構的疲勞壽命產生嚴重影響[1]。為此，研究人員采用結構振動主動控制的方法控制垂尾抖振，Moses[2]和Chen[3]等使用壓電作動器對F/A-18的縮比垂尾模型進行了抖振控制的實驗研究，Chen等[4]采用液壓舵面和壓電材料混合作動器對F/A-18垂尾模型進行了研究。在使用壓電作動器控制垂尾抖振時，壓電作動器布局對抖振控制效果有著至關重要的影響。不合理的作動器布局輕則降低控制系統效能，重則造成控制系統失效。因此，有必要對垂尾抖振壓電主動控制系統的壓電作動器布局優化展開研究。

Gupta等[5]對壓電作動器的布局優化方法作了詳細總結。目前對于壓電作動器的布局優化方法研究大多集中在Arbel[6]、Hac和Liu[7]提出的基于系統可控/可觀性Gramian矩陣的方法，其中包括Collet[8]提出的考慮系統溢出不穩定問題的優化指標、Bruant等[9-10]提出的歸一化系統可控性能最大指標以及王軍等[11]提出的能量吸收速率指標。這種方法雖然能夠保證系統的可控性最大，但對于大阻尼和存在密集模態的結構并不適用。

Sadri等[12-13]使用Hamdan和Nayfeh[14]提出的模態可控性指標對壓電板模型進行了優化，并對比了可控性Gramian矩陣和模態可控性兩種方法，研究表明模態可控性方法能得到更好的優化結果，并且不受結構阻尼和模態的限制。Junkins和Kim[15]使用模態價值分析方法，結合系統響應，提出作動器最大輸出可控性方法，該方法直接將作動器的布局和系統的輸出聯系，能更好地指導作動器布局優化。

上述研究中，對壓電作動器的布局研究大多集中在簡單的梁模型[6-9]和矩形板模型[10-13]，并且由于壓電作動器的幾何外形限制，這類優化問題通常是根據作動器尺寸將結構劃分為若干離散區域進行優化的[10,16-17]。對于飛機垂尾這種形狀和邊界相對復雜的結構，尤其對于壓電纖維復合材料(MFC)這一新型壓電作動器的布局優化研究較少。相比于傳統的壓電陶瓷作動器，MFC壓電作動器具有更好的力電耦合特性和對不同外形結構的適應能力，并且由于MFC特殊的結構和各向異性的材料特性，使得這種作動器的驅動具有一定的方向性，因此，采用MFC壓電作動器控制垂尾結構抖振響應時，需要對MFC壓電作動器的布置位置和布置方向進行優化，從而達到更好的抖振控制效果。

本文使用MFC壓電作動器控制垂尾抖振，根據輸出可控性指標，提出考慮剩余模態影響的作動器優化準則，通過對MFC壓電作動器形心位置的連續優化和布局方向角的離散優化得到壓電作動器的優化布局方案，并采用線性二次高斯(LQG)最優控制方法對某垂尾結構的前5階模態(前3階為控制模態，第4、5階為剩余模態)進行控制，通過數值算例驗證了方法的有效性。

1 MFC壓電智能結構動力學系統建模

使用壓電驅動載荷等效方法[18]對MFC壓電作動器建模，圖1所示為粘貼MFC壓電作動器的薄板模型，圖中：Nx和Ny分別為x和y方向的壓電驅動力，Mx和My分別為x和y方向的壓電驅動力矩，壓電作動器厚度tp遠小于其長度lp和寬度wp，屬于平面應力問題，法向應力σ3=0。圖1中1方向為壓電纖維排列和壓電材料極化方向，這一類型的壓電材料可在1方向提供電場強

度E1≠0，2、3方向電場強度為E2=E3=0的電場，并產生相應的壓電應變。其應力-應變關系為

(1)

圖1 MFC-薄板模型Fig.1 MFC-plate model

根據逆壓電效應原理，可得壓電材料產生的誘導應力為

(2)

式中：cij(i,j=1,2,3)為壓電材料的彈性常數；dij為壓電應變常數。

假設逆壓電效應誘導產生的載荷作用在壓電作動器中面的中心，對于圖1所示結構，可將載荷等效為作用在壓電片邊界上的力和力矩，從而得到作動器輸入電壓與驅動載荷之間的關系為

F=DE1

(3)

式中：D為壓電作動器的力電轉換矩陣，其表達式為

根據有限元方法，可建立帶有p個壓電作動器薄板結構的動力學方程，其表達式為

(4)

式中：x為節點位移向量；M、C和K分別為質量、阻尼和剛度矩陣；fi(t)為第i個作動器的等效載荷向量；Di為離散后第i個作動器的力電轉換矩陣。引入模態振型矩陣Φ，并令x(t)=Φη(t)，η(t)為n×1維的模態坐標向量，將模型動力學方程轉換到模態坐標系，得到

(5)

其中：ωi和ζi(i=1,2,…,n)分別為第i階模態頻率和模態阻尼比。定義2n×1維的狀態向量

(6)

式(5)可以改寫為

(7)

式中：

(8)

從上面的推導可以看出，作動器布局直接影響到系統的輸入矩陣B，進而影響系統的可控性。

2 模態可控性與模態價值理論

可控性是系統輸入對系統狀態控制性能的描述，這里使用系統可控性描述多組作動器對壓電結構的控制性能，由此建立多作動器的布局優化模型。根據Popov、Belevitch和Hautus(PBH)提出的系統可控性判據[19]，如果系統的第i階模態可控，則矩陣B的任意列向量不與矩陣A的第i個左特征向量正交。PBH判據雖然能夠判斷系統的可控性，但只能定性描述系統能否控制，不能對系統的控制性能做出準確的描述，為此Hamdan和Nayfeh[14]通過PBH判據的幾何學解釋，提出模態可控性指標，使用系統矩陣A的左特征向量和輸入矩陣B的列向量之間的夾角，來定量描述作動器對系統第i階模態的控制性能，第j個作動器對系統第i階模態的控制性能為

(9)

式中：qi為矩陣A的左特征向量；bj為矩陣B的第j列。由式(9)可知，當θij=0°時，第j個作動器對系統第i階模態可控性最大。當θij=90°時，第j個作動器對系統第i階模態不可控。所有作動器對第i階模態的可控性βi可表示為

(10)

使用模態可控性來判斷系統的可控性時，通常是以最小的模態可控性βi作為系統可控性的指標。但在實際應用中，直接使用該準則存在一定的局限性，例如，對于線性系統，假設系統第k階模態可控性βk最小，系統的優化目標是使得βk最大。但是如果系統第k階模態在系統的實際輸出中并不占主導因素地位，這時使βk最大作為可控性指標就不再合適。將模態可控性和模態價值分析方法[20]結合起來，就可以解決這一問題。

模態價值可以定義為系統在特定的擾動下，各階模態對系統輸出的貢獻。它可以用來表示特定輸入下系統各階模態對輸出影響的重要性[21]。

(11)

(12)

引入模態坐標轉換矩陣Φ，有

(13)

這時V表示系統的動能與勢能之和。

(14)

(15)

式中：

其中：[·]ij為矩陣·的第i行第j列元素。模態價值Vi表示第i階模態對總模態價值V的貢獻。在此使用模態價值比Vi/V來表示系統在特定擾動下各階模態對系統性能的貢獻。

3 優化指標

優化指標是對作動器布局好壞的評價依據，通過前述模態可控性原理，建立作動器布局和模態可控性的關系，模態價值分析給出了系統各階模態對系統實際輸出的影響。Junkins和Kim[15]提出如下可控性指標：

(16)

Aldraihem等[22]認為總的模態可控性βi總是大于零，因此取如下優化指標：

(17)

上述優化指標保證了作動器傳遞給系統的能量最大，使得對n階模態的總控制性能最大，但不能確保每階模態的控制性能，甚至造成某些模態不可控。因此，本文提出如式(18)所示的優化指標。

(18)

連續系統具有無限自由度，在實際分析時通常使用有限自由度系統來近似描述。在對振動進行主動控制時，這種簡化會因截斷的剩余模態造成系統的控制溢出問題[23]。這可以通過優化作動器的位置，使得剩余模態的輸出可控性最小來解決，但同時又會造成系統控制性能的損失，因此需要在這兩者之間做出權衡。

對于N階振動系統，對前n階模態進行控制(n

(19)

式中：權值γ可用來調節控制模態和剩余模態之間的輸出可控性。在實際應用中可以通過計算作動器在初始優化位置時，系統的輸出可控性αi，選取權值使得式(19)右端第1項與第2項的數值在同一量級來確定γ，并且γ越大最終優化結果的剩余模態的輸出可控性越小，而式(18)可以看做式(19)在γ=0時的特例。

4 算例分析

4.1 MFC作動器布局優化

圖2 垂尾模型Fig.2 Vertical tail model

計算粘貼MFC前后結構的固有頻率，結果如表2所示，表中未粘貼MFC結構的固有頻率和模態阻尼比為試驗測試所得。

相對于傳統的優化算法，遺傳算法具有良好的全局搜索能力并能夠解決復雜的目標函數和約束條件下的優化問題。不少學者已經將遺傳算法用于作動器和傳感器位置的優化，并得到了理想的優化結果[10-13,16-17]。

表1 垂尾模型與MFC的材料屬性Table 1 Material properties of vertical tail model and MFC

表2模型前5階固有頻率和阻尼比

Table2Thefirstfivenaturalfrequenciesanddampingratios

ModeNaturalfrequency(withoutMFC)/HzNaturalfrequency(with2MFCs)/HzDampingratio/%110．2810．230．35230．2231．750．18356．4558．140．24475．2776．360．145110．11115．050．17

(20)

式中：約束條件(a)為壓電作動器布局角度約束；約束條件(b)～(e)為壓電作動器形心的位置約束；約束條件(f)為兩個壓電作動器之間的約束。具體的優化計算流程如圖3所示。在優化時通過每次迭代過程中的有限元網格更新，保證壓電作動器形心位置的連續優化，并使用MATLAB全局優化工具箱下的遺傳算法，計算得到全局最優解。

作為對比，使用Aldraihem等[22]提出的式(17)為目標函數，優化得到優化布局1，兩片MFC的位置分別為(117°。128.6，57.6)和(139°，85.2，202.0)，具體布局如圖4虛線所示。使用本文提出的目標函數式(20)計算得到優化布局2，兩片MFC的位置分別為(92°，98.7，56.2)和(137°，71.2，193.4)，具體布局如圖4實線所示。兩種優化結果的模態輸出可控性列于表3中，可以看出，Aldraihem的目標函數會造成第2階輸出可控性過大，第1、3階模態輸出可控性偏小；而本文提出的目標函數的優化結果顯著提高了第1、3階模態的輸出可控性，并且考慮控制溢出后，第4、5階剩余模態的輸出可控性顯著減低。

圖3 優化流程圖Fig.3 Flowchart of optimization process

圖4 作動器優化布局方案Fig.4 Optimal configuration of actuators

表3 輸出可控性對比Table 3 Comparison of output controllability

ModeOutputcontrollabilityαi/10-7CriterionαACriterionαpr10．2907．240230810532．95044．30040．3330．19158．0000．078

4.2 垂尾抖振響應控制

為了驗證本文提出的優化指標計算所得作動器布局能有效控制垂尾的抖振響應，使用LQG最優控制方法來控制垂尾在抖振載荷激勵下的振動響應。如圖2所示，選擇垂尾梢部前、后緣的P1和P2兩點的位移響應作為反饋信號。

LQG控制最優指標為

(21)

式中：權矩陣Q為對稱的半正定矩陣，R為對稱正定矩陣，權值Q反映系統的輸出誤差，R反映系統的輸入能量，通常Q越大控制器性能越好，R越大控制器能量消耗越小(控制電壓越小)，因此權衡控制性能與控制電壓可以選擇合適的Q與R，計算得到LQG控制器參數。

圖5所示為抖振載荷的功率譜密度(PSD)。載荷PSD峰值分布在0～40 Hz頻帶內，該抖振載荷能夠有效激勵出垂尾結構的前3階模態，因此選取系統前3階為控制模態，同時考慮到在實際應用中，控制系統回路不可避免地存在高頻噪聲，有可能因控制激發起第4、5階模態的高頻振動，為此選取第4、5階模態為剩余模態來防止系統的控制溢出。

使用同一控制器，分別針對圖4中的兩種布局方案進行控制仿真，對比開環和閉環系統反饋點P1和P2處位移響應，如圖6和圖7所示，計算控制前后P1和P2處0～70 Hz帶寬位移響應的均方根(RMS)值可知：采用布局1，響應分別降低92%和89%。而采用布局2，響應可分別降低96%和94%。每階模態的峰值降低值如表4所示。

圖5 垂尾根部抖振載荷功率譜密度(PSD)Fig.5 Power spectral density (PSD) of buffet loads on root of vertical tail

圖6 位移響應PSD(布局1)Fig.6 PSDs of displacement response (Configuration 1)

從控制結果的對比可以看出，兩種布局方案均能降低垂尾的前3階抖振響應，布局1的第2階模態控制最好，可使兩反饋點響應峰值分別降低65 dB和58 dB，第1、3階模態控制較差，反饋點P1的第4、5階剩余模態的響應峰值分別降低了17 dB和32 dB，反饋點P2的第4、5階剩余模態的響應峰值分別降低了17 dB和24 dB，由于在抖振控制中更關心低階模態振動的控制效果，因此布局1不能有效利用系統的控制能量；使用本文提出的目標函數進行優化得到的布局2，能夠改善控制能量的利用，其反饋點P1的第1、3階模態的響應峰值分別降低了35 dB和46 dB， 反饋點P2的第1、3階模態的響應峰值分別降低了36 dB和47 dB，并且反饋點P1的第4、5階剩余模態的響應峰值只降低了10 dB和12 dB，反饋點P2的第4、5階剩余模態的響應峰值只降低了13 dB 和11 dB，布局2能夠有效地將控制能量集中到前3階模態的控制上，提高了垂尾抖振控制效果，降低了剩余模態的控制能量，降低了控制溢出風險，控制仿真結果驗證了4.1節得到的輸出可控性對比結果。

圖7 位移響應PSD(布局2)Fig.7 PSDs of displacement response (Configuration 2)

表4 控制結果對比Table 4 Comparison of response control

Configu?rationReductionofpeakvalue/dBMode1Mode2Mode3Mode4Mode5P1P2P1P2P1P2P1P2P1P2120216558383917173224235365548464710131211

5 結 論

1) 本文提出的壓電作動器連續布局優化方法所得布局方案能夠有效控制垂尾抖振響應。

2) 本文提出的壓電作動器連續布局優化方法能提高抖振開環控制系統控制模態的輸出可控性，使控制能量集中在所關心的抖振控制模態，提高了抖振響應的控制效果。

3) 本文提出的壓電作動器連續布局優化方法，能降低抖振開環控制系統剩余模態的輸出可控性，降低系統對剩余模態的能量輸入，從而降低了系統控制溢出的風險。

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梁力男，碩士研究生。主要研究方向：結構振動主動控制。

Tel.: 029-88460461

E-mail: lil1991.0@163.com

楊智春男，博士，教授，博士生導師。主要研究方向：氣動彈性力學、 結構動力學及結構健康監測。

Tel.: 029-88460461

E-mail: yangzc@nwpu.edu.cn

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160122.1408.002.html

Optimizationofpiezoelectricactuatorconfigurationonaverticaltailforbuffetingcontrol

LIANGLi,YANGZhichun*,OUYANGYan,WANGWei

InstituteofStructuralDynamicsandControl,SchoolofAeronautics,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China

Inordertoimprovethecontrolperformanceofthetailbuffetcontrolsystemusingpiezoelectricactuators,anewoptimizationcriterionisusedtooptimizetheconfigurationofpiezoelectricactuatorsbasedonoutputcontrollability.Macro-fibercomposite(MFC)piezoelectricactuatorismodeledbyaloadsimulationmethodofpiezoelectricactuator.DynamicequationsoftheverticaltailincorporatingMFCactuatorsareobtainedbyfiniteelementmethod.Anobjectivefunction,usingmodalcontrollabilityandmodalcosttheory,issuggestedwiththeconsiderationofresidualmodestolimitthespillovereffect.Inordertocontrolthefirstfivemodesoftheverticaltail,geneticalgorithmisusedtofindtheoptimalconfigurationandlinear-quadraticGaussian(LQG)controllerisadoptedtocontroltheresponseoftheverticaltail.SimulationresultsshowthattheoptimalconfigurationofMFCactuatorsnotonlyimprovesthecontrolperformancebutalsobalancessystemcontrollabilityandreducestheinfluenceofresidualmodes.

piezoelectricactuators;smartstructures;optimizationofconfiguration;buffeting;controllability

2015-09-18；Revised2015-11-22；Accepted2016-01-05；Publishedonline2016-01-221408

NationalNaturalScienceFoundationofChina(11502208)

.Tel.：029-88460461E-mailyangzc@nwpu.edu.cn

2015-09-18；退修日期2015-11-22；錄用日期2016-01-05； < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2016-01-221408

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160122.1408.002.html

國家自然科學基金 (11502208)

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梁力， 楊智春， 歐陽炎， 等．垂尾抖振主動控制的壓電作動器布局優化J．航空學報,2016,37(10):3035-3043.LIANGL,YANGZC,OUYANGY,etal.OptimizationofpiezoelectricactuatorconfigurationonaverticaltailforbuffetingcontrolJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(10):3035-3043.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0005

V211.47; TB535

A

1000-6893(2016)10-3035-09